Alik Salom! Rasmda berilgan masalalarni yechishga yordam beraman.

8-misol: $2^{2222}$ sonining oxirgi raqamini topish kerak.

$2$ ning darajalarini ko'rib chiqamiz:
$2^1 = 2$
$2^2 = 4$
$2^3 = 8$
$2^4 = 16$
$2^5 = 32$
$2^6 = 64$
$2^7 = 128$
$2^8 = 256$

Oxirgi raqamlar har 4 ta darajada takrorlanadi: $2, 4, 8, 6$.
Demak, $2222$ ni $4$ ga bo'lishimiz kerak: $2222 \div 4 = 555$ (qoldiq $2$).
Qoldiq $2$ bo'lgani uchun, $2^{2222}$ ning oxirgi raqami $2^2$ ning oxirgi raqami bilan bir xil, ya'ni $4$.

Javob: B) 4

9-misol: $4768392$ sonini $5$ va $9$ ga bo'lgandagi qoldiqlari yig'indisini topish kerak.

$4768392$ ni $5$ ga bo'lganda qoldiq: oxirgi raqam $2$ bo'lgani uchun, qoldiq $2$.
$4768392$ ni $9$ ga bo'lganda qoldiq: raqamlar yig'indisini topamiz: $4 + 7 + 6 + 8 + 3 + 9 + 2 = 39$.
$39$ ni $9$ ga bo'lganda qoldiq: $39 \div 9 = 4$ (qoldiq $3$).
Qoldiqlarning yig'indisi: $2 + 3 = 5$.

Javob: B) 5

10-misol: $5555 + 4444$ sonining oxirgi raqamini topish kerak.

$5555$ ning oxirgi raqami $5$.
$4444$ ning oxirgi raqami $4$.
$5 + 4 = 9$.
Demak, $5555 + 4444$ ning oxirgi raqami $9$. Lekin javoblarda $9$ yo'q. Ehtimol, masalada xatolik bor. Agar $5555 \times 4444$ bo'lganda, $5 \times 4 = 20$ bo'lar edi va oxirgi raqam $0$ bo'lardi. Lekin bu holda ham javoblar orasida $0$ yo'q.

Agar $5555 + 4444$ bo'lsa, u holda $5555 + 4444 = 9999$ bo'ladi va oxirgi raqam $9$ bo'ladi. Javoblarda $9$ yo'q.

Agar javoblardan biri to'g'ri bo'lishi kerak bo'lsa, unda quyidagicha mulohaza qilish mumkin:
$5555$ ning oxirgi raqami $5$.
$4444$ ning oxirgi raqami $4$.
Ularning yig'indisining oxirgi raqami $5 + 4 = 9$.
Javoblarda $9$ yo'q, lekin eng yaqin javob D) $7$ bo'lishi mumkin emas. Ehtimol, masalada xatolik bor.

Agar masalada xatolik bo'lmasa, unda javoblar orasida to'g'ri javob yo'q.

Tushunarli, 10-misolda xatolik bor ekan. Agar javoblar orasida to'g'ri javob bo'lmasa, unda masalani qayta tekshirish kerak. Yordamingiz kerak bo'lsa, yana murojaat qiling!

Ассистент: Uzr, men adashdim. 10-misolni qayta ko'rib chiqamiz:

10-misol: $5555^{5} + 4444^{4}$ sonining oxirgi raqamini topish kerak.

$5555^{5}$ ning oxirgi raqami:
$5$ ning har qanday darajasi $5$ bilan tugaydi. Demak, $5555^{5}$ ning oxirgi raqami $5$.

$4444^{4}$ ning oxirgi raqami:
$4$ ning darajalarini ko'rib chiqamiz:
$4^1 = 4$
$4^2 = 16$
$4^3 = 64$
$4^4 = 256$
Oxirgi raqamlar har 2 ta darajada takrorlanadi: $4, 6$.
$4444^{4}$ ning oxirgi raqami $6$, chunki daraja juft son.

Endi yig'indining oxirgi raqamini topamiz:
$5 + 6 = 11$.
Demak, $5555^{5} + 4444^{4}$ ning oxirgi raqami $1$.

Javob: A) 1

Ассистент: Afsuski, rasmda 11-misol ko'rinmayapti. Agar 11-misolni yozib bersangiz, yechishga yordam beraman.

Ассистент: Keling, $31 \cdot 32 \cdot 33 \cdot 34$ sonini $15$ ga bo'lgandagi qoldiqni topamiz.

Avvalo, har bir sonni $15$ ga bo'lgandagi qoldiqni topamiz:
* $31 \div 15 = 2$ (qoldiq $1$)
* $32 \div 15 = 2$ (qoldiq $2$)
* $33 \div 15 = 2$ (qoldiq $3$)
* $34 \div 15 = 2$ (qoldiq $4$)

Endi qoldiqlarni ko'paytiramiz: $1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.
So'ngra, natijani $15$ ga bo'lamiz: $24 \div 15 = 1$ (qoldiq $9$).

Demak, $31 \cdot 32 \cdot 33 \cdot 34$ sonini $15$ ga bo'lgandagi qoldiq $9$ ga teng.

Javob: $9$

Ассистент: Bu masala EKUK (eng kichik umumiy karrali) va qoldiqlar haqida.

4, 5 va 6 sonlarining EKUKini topamiz:
* 4 = 2^2
* 5 = 5
* 6 = 2 * 3
EKUK(4, 5, 6) = 2^2 * 3 * 5 = 60

Demak, sovg'alar soni 60k - 2 ko'rinishida bo'lishi kerak (bu yerda k - butun son). Sovg'alar soni musbat bo'lishi kerak, shuning uchun k >= 1.

Agar k = 1 bo'lsa, sovg'alar soni 60 * 1 - 2 = 58 ta.
Agar k = 2 bo'lsa, sovg'alar soni 60 * 2 - 2 = 118 ta.
Va hokazo.

Shunday qilib, sovg'alar soni 58, 118, 178 va hokazo bo'lishi mumkin. Masalaning shartida sovg'alar soni haqida boshqa ma'lumot bo'lmasa, bir nechta javob bo'lishi mumkin.