قانون جيب التمام: فارمولا، ثبوت اور مسائل

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

ایک بڑے مثلث کے ساتھ میسکٹ جیومیٹر، جس کا ایک زاویہ قوس سے نمایاں ہے

قانون جيب التمام مثلث کی تین اطراف اور اس کے ایک زاویے کو جوڑتا ہے: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$۔ یہ کسی بھی مثلث میں کام کرتا ہے، اس لیے کلاس 9 میں یہ فیثاغورس کے نظریے کی جگہ لیتا ہے جہاں کوئی سیدھا زاویہ نہیں ہوتا۔ اس کے ذریعے تیسری طرف معلوم کی جاتی ہے اگر دو دوسری اطراف اور ان کے درمیان کا زاویہ معلوم ہو، اور نتیجے $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ سے تین اطراف اور مثلث کی قسم معلوم کی جاتی ہے۔ صفحے پر - فارمولے کی تعریف اور تینوں شکلیں، ثبوت، کوسائن ٹیبل، 'سائن یا کوسائن' یادداشت، OGE مسائل کے تجزیے، اور خود کو جانچنے کے لیے ٹرینر۔

قانون جيب التمام: تعریف اور فارمولا

قانون جيب التمام کسی بھی مثلث میں کام کرتا ہے — اسے سیدھے زاویے کی ضرورت نہیں۔ یہ تین اطراف اور ایک زاویے کو جوڑتا ہے، اس لیے اس کے ذریعے ضلع معلوم کیا جاتا ہے اگر دو دوسری اطراف اور ان کے درمیان کا زاویہ معلوم ہو۔

تعریف۔ مثلث کے ایک ضلع کا مربع دو دوسری اطراف کے مربعوں کے مجموعے سے ان دو اطراف کے اس زاویے کے کوسائن سے ضرب شدہ دگنے کے حاصل ضرب کو گھٹانے سے حاصل ہوتا ہے۔

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\]

یہاں $a$, $b$, $c$ مثلث کی اطراف ہیں، اور $C$ اطراف $a$ اور $b$ کے درمیان کا زاویہ ہے؛ ضلع $c$ اس زاویے کے سامنے واقع ہے۔ حروف کوئی بھی لیے جا سکتے ہیں — فارمولا ہم آہنگ ہے، اس لیے اس کی تین برابر شکلیں ہیں:

\[a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A\]

\[b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B\]

سب سے اہم قاعدہ: ضرب میں شامل دو اطراف کے درمیان کا زاویہ لیں، اور اس کے سامنے والے ضلع کو معلوم کریں۔ اگر 'قریبی' زاویہ لیا جائے تو تمام اعداد شرط سے ہوں گے، اور جواب غلط ہوگا۔

c² = a² + b² − 2ab · cos C a² = b² + c² − 2bc · cos A b² = a² + c² − 2ac · cos B

The angle we take is the one between the sides in the product, and we find the side opposite to it: angle C is between a and b, side c is opposite.

فیثاغورس کا نظریہ قانون جيب التمام کا خاص معاملہ کیوں ہے

فارمولے میں سیدھا زاویہ، یعنی $C = 90°$، ڈالیں۔ سیدھے زاویے کا کوسائن صفر ہوتا ہے، اس لیے تیسرا حصہ مکمل طور پر صفر ہو جاتا ہے:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos 90° = a^2 + b^2 - 2ab \cdot 0 = a^2 + b^2.\]

بالکل وہی فیثاغورس کا نظریہ حاصل ہوا جو ہم نے کلاس 8 میں سیکھا تھا۔ اس لیے قانون جيب التمام کو اس کا تعمیم کہا جاتا ہے: فیثاغورس — '90° کے لیے خاص معاملہ' ہے، اور قانون جيب التمام تمام زاویوں کے لیے بیک وقت کام کرتا ہے۔

حصہ $-2ab\cos C$ کو زاویے کی غیر سیدھے پن کے لیے درستگی کے طور پر سمجھنا آسان ہے:

زاویہ حادہ ہے، $\cos C > 0$ — درستگی منہا کی جاتی ہے، ضلع $c$ فیثاغورس کے مطابق حاصل ہونے والے ضلع سے چھوٹا ہوتا ہے؛
زاویہ سیدھا ہے، $\cos C = 0$ — کوئی درستگی نہیں، $c^2 = a^2 + b^2$ باقی رہتا ہے؛
زاویہ مفرد ہے، $\cos C < 0$ — درستگی شامل کی جاتی ہے، ضلع $c$ لمبا ہوتا ہے۔

قانون جيب التمام لیںc² = a² + b² − 2ab · cos C

زاویہ کو سیدھا بنائیںC = 90°, cos 90° = 0 → 2ab · 0 = 0

فیثاغورس کا نظریہ باقی رہتا ہےc² = a² + b²

قانون جيب التمام کا ثبوت

سب سے مختصر اسکول ثبوت کوآرڈینیٹ والا ہے۔ ہم رأس C کو اصل میں رکھتے ہیں، اور ضلع b = CA کو x-axis پر رکھتے ہیں۔ تب راس کے کوآرڈینیٹس یہ ہوں گے:

$C(0;\ 0)$ — اصل؛
$A(b;\ 0)$ — اصل سے b فاصلے پر x-axis پر ایک نقطہ؛
$B(a\cos C;\ a\sin C)$ — اصل سے a فاصلے پر ایک رأس جو x-axis کے ساتھ C زاویہ بناتی ہے۔

ضلع c دو نکات کے درمیان فاصلے کے فارمولے سے شمار کیا جاتا ہے:

\[c^2 = (a\cos C - b)^2 + (a\sin C)^2\]

براکٹ کھولتے ہیں:

\[c^2 = a^2\cos^2 C - 2ab\cos C + b^2 + a^2\sin^2 C\]

$a^2$ والے حصوں کو گروپ کرتے ہیں اور بنیادی مثلثی شناخت $\sin^2 C + \cos^2 C = 1$ استعمال کرتے ہیں:

\[c^2 = a^2(\cos^2 C + \sin^2 C) + b^2 - 2ab\cos C = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

جو ثابت کرنا تھا۔ غور کریں: کہیں بھی یہ ضروری نہیں تھا کہ زاویہ C حادہ ہو۔ اگر یہ مفرد ہے، تو کوسائن منفی ہے، $a\cos C$ کا کوآرڈینیٹ y-axis کے بائیں جانب جاتا ہے، لیکن تمام حسابات وہی رہتے ہیں — اس لیے یہ نظریہ کسی بھی مثلث کے لیے درست ہے۔

رأس C — اصل میں، ضلع b x-axis پر ہے۔ تب رأس B کے کوآرڈینیٹس ضلع a اور زاویہ C کے ذریعے ظاہر ہوتے ہیں۔

نتیجہ: تین اطراف سے زاویہ کیسے معلوم کریں

قانون جيب التمام سے کوسائن خود نکالا جاتا ہے — یہ اس کا بنیادی نتیجہ ہے۔ اس سے زاویہ معلوم کیا جاتا ہے جب تمام تین اطراف معلوم ہوں۔

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\]

نیومریٹر میں — زاویے سے متصل دو اطراف کے مربعوں کا مجموعہ، اس کے سامنے والی طرف کے مربع کو گھٹا کر۔ ڈینومینیٹر میں — متصل اطراف کے دگنے حاصل ضرب۔ دوسرے زاویوں کے لیے فارمولے اسی طرح ہیں:

\[\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}, \qquad \cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\]

حل کا طریقہ:

مطلوبہ زاویہ منتخب کریں اور اس کے سامنے والی طرف کا تعین کریں — اس کا مربع نیومریٹر میں منفی علامت کے ساتھ جاتا ہے؛
کسر کو شمار کریں (ڈینومینیٹر ہمیشہ مثبت ہوتا ہے، علامت صرف نیومریٹر سے آتی ہے)؛
قدروں کے ٹیبل سے یا آرک کوسائن کے ذریعے خود زاویہ معلوم کریں۔

مفید طریقہ: سب سے بڑی طرف سے شروع کریں۔ اس کے سامنے سب سے بڑا زاویہ ہوتا ہے، اور صرف وہی سیدھا یا مفرد ہو سکتا ہے — مثلث کے باقی دو زاویے ہمیشہ حادہ ہوتے ہیں۔

مفرد زاویوں کے کوسائن منفی ہوتے ہیں: قدروں کا ٹیبل

اسکول کے مسائل میں، زاویے تقریباً ہمیشہ 'ٹیبل والے' ہوتے ہیں: 30°، 45°، 60°، 90°، 120°، 135°، 150°۔ حادہ زاویوں کا کوسائن مثبت ہوتا ہے، سیدھے زاویے کا صفر ہوتا ہے، اور مفرد زاویوں کا — منفی ہوتا ہے۔ مفرد زاویوں کے لیے قدریں حادہ زاویوں کی قدروں سے منتقلی کے قاعدے $\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha$ کے مطابق حاصل کی جاتی ہیں: مثال کے طور پر، $\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5$۔

عملی طور پر اس کا کیا مطلب ہے: مفرد زاویے کے لیے، حصہ $-2ab\cos C$ مثبت ہو جاتا ہے — منفی ضرب منفی۔ زاویہ $120°$ کے لیے فارمولا اس طرح لگتا ہے:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot (-0{,}5) = a^2 + b^2 + ab.\]

یہیں پر سب سے زیادہ غلطیاں ہوتی ہیں: $-0{,}5$ کی بجائے $0{,}5$ ڈال دیتے ہیں اور دی گئی دونوں اطراف سے چھوٹی طرف حاصل کرتے ہیں۔ یہ ظاہر ہے ناممکن ہے — مفرد زاویے کے سامنے مثلث کی سب سے لمبی طرف ہوتی ہے۔

زاویہ	کوسائن
30°	√3/2 ≈ 0,87
45°	√2/2 ≈ 0,71
60°	1/2 = 0,5
90°	0
120°	−1/2 = −0,5
135°	−√2/2 ≈ −0,71
150°	−√3/2 ≈ −0,87

منتقلی کا قاعدہ: cos(180° − α) = −cos α۔ سبز قدریں حادہ زاویہ دیتی ہیں، گلابی — مفرد۔

تین اطراف سے مثلث کی قسم کیسے معلوم کریں

قانون جيب التمام مثلث کی قسم کو جاننے دیتا ہے، بغیر گونیے سے زاویے ناپے ہوئے۔ کسر $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ کی علامت صرف نیومریٹر پر منحصر ہوتی ہے: ڈینومینیٹر $2ab$ ہمیشہ مثبت ہوتا ہے۔ اس کا مطلب ہے کہ سب سے بڑی طرف کے مربع کا موازنہ دو دوسری اطراف کے مربعوں کے مجموعے سے کرنا کافی ہے۔

فرض کریں c سب سے بڑی طرف ہے، تو اس کے سامنے سب سے بڑا زاویہ C ہے:

$a^2 + b^2 > c^2$ → $\cos C > 0$ → زاویہ C حادہ ہے۔ باقی زاویے اس سے چھوٹے ہیں، یعنی تمام تین زاویے حادہ ہیں — مثلث حادہ زاویہ ہے؛
$a^2 + b^2 = c^2$ → $\cos C = 0$ → $C = 90°$ — مثلث قائمہ زاویہ ہے (یہ فیثاغورس کا معکوس نظریہ ہے)؛
$a^2 + b^2 < c^2$ → $\cos C < 0$ → زاویہ C مفرد ہے — مثلث مفرد زاویہ ہے

باقی زاویوں کو جانچنے کی ضرورت نہیں: مثلث میں سیدھا یا مفرد زاویہ صرف ایک ہی ہو سکتا ہے۔ اور مثلث کی عدم مساوات کو نہ بھولیں — اگر سب سے بڑی طرف دو دوسری اطراف کے مجموعے سے کم نہیں ہے، تو ایسی طرفوں والا مثلث موجود ہی نہیں ہے۔

a² + b² > c²cos C > 0, زاویہ C حادہحادہ زاویہمثال: 5, 6, 7

a² + b² = c²cos C = 0, زاویہ C سیدھاقائمہ زاویہمثال: 8, 15, 17

a² + b² < c²cos C < 0, زاویہ C مفردمفرد زاویہمثال: 4, 7, 9

تینوں سطروں میں c سب سے بڑی طرف ہے: صرف اس کے سامنے سیدھا یا مفرد زاویہ ہو سکتا ہے۔

قانون جيب الزوايا یا کوسائن: کیسے منتخب کریں

دونوں نظریے مثلث کے نامعلوم اطراف اور زاویے معلوم کرنے کا ایک ہی کام کرتے ہیں، لیکن مختلف ڈیٹا سیٹس سے شروع ہوتے ہیں۔ قانون جيب الزوايا طرف اور اس کے سامنے والے زاویے کو جوڑتا ہے:

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R\]

یہاں سے انتخاب کا قاعدہ آتا ہے: اگر شرط میں پہلے سے 'طرف اور اس کے سامنے والا زاویہ' کا جوڑا موجود ہے — تو قانون جيب الزوايا کام کرتا ہے؛ اگر ایسا جوڑا نہیں ہے — تو قانون جيب التمام سے شروع کریں۔ چار اسکول ڈیٹا سیٹس کے لیے یادداشت — ٹیبل میں ہے۔

اکثر مسئلہ دو مراحل میں حل ہوتا ہے: پہلے قانون جيب التمام تیسری طرف دیتا ہے، اور پھر قانون جيب الزوايا باقی زاویوں کو تیزی سے معلوم کرتا ہے۔

کیا معلوم ہے	کیا استعمال کریں
ساسدو اطراف اور ان کے درمیان کا زاویہ	قانون جيب التمامتیسری طرف معلوم کریں
سسستینوں اطراف	قانون جيب التمامکوئی بھی زاویہ اور مثلث کی قسم معلوم کریں
اساسایک طرف اور دو زاویے	قانون جيب الزوايادو دوسری اطراف معلوم کریں
ساسزدو اطراف اور ان میں سے ایک کے سامنے والا زاویہ	قانون جيب الزواياسامنے والا زاویہ معلوم کریں

ساسز کے معاملے میں دو حل ہو سکتے ہیں: سائن حادہ اور مفرد زاویے میں فرق نہیں کرتا، اس لیے دونوں صورتوں کو مسئلے کی شرط کے مطابق جانچنا ضروری ہے۔

قانون جيب التمام OGE مسائل میں

ریاضی کے OGE میں، قانون جيب التمام جیومیٹری کے سوالات میں آتا ہے — پہلے حصے میں بھی اور تفصیلی جواب والے مسائل میں بھی۔ عام موضوعات یہ ہیں:

دو اطراف اور ان کے درمیان کے زاویے سے طرف معلوم کرنا — فارمولے کا براہ راست استعمال، اکثر 60° یا 120° کے زاویوں کے ساتھ۔
تین اطراف سے زاویہ یا اس کا کوسائن معلوم کرنا — نتیجہ $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$۔ اگر سوال میں لکھا ہو 'زاویہ A کا cos معلوم کریں'، تو آرک کوسائن لینے کی ضرورت نہیں: جواب وہی کسر ہے، وہی لکھنی ہے۔
متوازی الاضلاع کے وتر۔ وتر دو اطراف اور ان کے درمیان کے زاویے سے ایک مثلث بناتا ہے۔ متوازی الاضلاع کے قریبی زاویے مل کر 180° بناتے ہیں، اس لیے ان کے کوسائن مخالف ہوتے ہیں: حادہ زاویے کے سامنے چھوٹا وتر ہوتا ہے، مفرد زاویے کے سامنے بڑا۔
تین اعداد سے مثلث کی قسم — $a^2 + b^2$ کا $c^2$ سے موازنہ۔
مثلث کا وسطی خط۔ فارمولا $m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}$ دو متصل زاویوں پر قانون جيب التمام کے دو بار استعمال سے اخذ کیا جاتا ہے۔

امتحان کے لیے مشورہ: حساب کرنے سے پہلے، ڈرائنگ پر وہ زاویہ نشان زد کریں جو معلوم اطراف کے 'درمیان' ہے۔ اگر ایسا کوئی زاویہ نہیں ہے — تو قانون جيب التمام ابھی لاگو نہیں ہو سکتا، دوسرا راستہ تلاش کرنا ہوگا۔

قانون جيب التمام پر مسائل حل کرنے کی مثالیں

مثال 1. دو اطراف اور 60° کے زاویے سے طرف معلوم کرنا

مسئلہ۔ مثلث ABC میں اطراف a = 7 اور b = 15 ہیں، ان کے درمیان کا زاویہ C = 60° ہے۔ ضلع c معلوم کریں۔

مرحلہ 1۔ زاویہ C اطراف a اور b کے درمیان ہے — یہ بالکل وہی صورت ہے جس کے لیے قانون جيب التمام بنایا گیا تھا:

\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C.\]

مرحلہ 2۔ اعداد ڈالیں، $\cos 60° = 0{,}5$:

\[c^2 = 7^2 + 15^2 - 2 \cdot 7 \cdot 15 \cdot 0{,}5 = 49 + 225 - 105 = 169.\]

مرحلہ 3۔ جزر نکالیں: $c = \sqrt{169} = 13$۔

جواب: 13۔ معنی کے لحاظ سے جانچ: زاویہ 60° حادہ ہے، اس لیے اس کے سامنے والی طرف سب سے لمبی نہیں ہے — اور واقعی، 13 < 15۔

مثال 2. مفرد زاویہ: منفی ضرب منفی

مسئلہ۔ مثلث ABC میں معلوم ہے: AB = 6، BC = 10، زاویہ B = 120°۔ ضلع AC معلوم کریں۔

مرحلہ 1۔ زاویہ B اطراف AB اور BC کے درمیان ہے، اور ضلع AC اس کے سامنے ہے:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B.\]

مرحلہ 2۔ زاویہ مفرد ہے، اس لیے $\cos 120° = -0{,}5$۔ منفی علامت اور کوسائن کی منفی علامت مل کر مثبت بناتی ہیں:

\[AC^2 = 36 + 100 - 2 \cdot 6 \cdot 10 \cdot (-0{,}5) = 136 + 60 = 196.\]

مرحلہ 3۔ $AC = \sqrt{196} = 14$۔

جواب: 14۔ جانچ: مفرد زاویے کے سامنے سب سے لمبی طرف ہوتی ہے — 14، 6 اور 10 دونوں سے بڑا ہے۔

مثال 3. تین اطراف سے زاویہ معلوم کرنا

مسئلہ۔ مثلث کی اطراف 3، 5 اور 7 ہیں۔ اس کا سب سے بڑا زاویہ معلوم کریں۔

مرحلہ 1۔ سب سے بڑا زاویہ سب سے بڑی طرف، یعنی 7 کے سامنے ہوتا ہے۔ اسے C کہیں، تو c = 7، اور متصل اطراف a = 3 اور b = 5 ہیں۔

مرحلہ 2۔ نتیجہ استعمال کریں:

\[\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{9 + 25 - 49}{2 \cdot 3 \cdot 5} = \frac{-15}{30} = -0{,}5.\]

مرحلہ 3۔ کوسائن منفی ہے — زاویہ مفرد ہے۔ قدروں کے ٹیبل کے مطابق $\cos 120° = -0{,}5$، اس لیے C = 120°۔

جواب: 120°۔ ساتھ ہی یہ بھی معلوم ہوا کہ مثلث مفرد زاویہ ہے۔

مثال 4. مثلث کی قسم کا تعین

مسئلہ۔ 6، 7 اور 10 اطراف والے مثلث کی قسم متعین کریں۔

مرحلہ 1۔ مثلث کی عدم مساوات کی جانچ کریں: 6 + 7 = 13 > 10 — مثلث موجود ہے۔ سب سے بڑی طرف — 10 ہے۔

مرحلہ 2۔ دو چھوٹی اطراف کے مربعوں کے مجموعے کا سب سے بڑی طرف کے مربع سے موازنہ کریں:

\[6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85, \qquad 10^2 = 100.\]

مرحلہ 3۔ 85 < 100، اس لیے کسر کا نیومریٹر منفی ہے اور $\cos C < 0$ — 10 کے سامنے والا زاویہ مفرد ہے۔ اگر چاہیں تو خود زاویہ بھی معلوم کر سکتے ہیں:

\[\cos C = \frac{85 - 100}{2 \cdot 6 \cdot 7} = \frac{-15}{84} \approx -0{,}18 \Rightarrow C \approx 100°.\]

جواب: مثلث مفرد زاویہ ہے۔ غور کریں: یہ 'نظر سے' واضح نہیں ہے — اطراف تقریباً برابر ہیں، لیکن زاویہ پہلے ہی 90° سے تجاوز کر چکا ہے۔

مثال 5. OGE سطح کا مسئلہ: متوازی الاضلاع کا وتر

مسئلہ۔ متوازی الاضلاع کی اطراف 5 اور 8 ہیں، حادہ زاویہ 60° ہے۔ چھوٹا وتر معلوم کریں۔

مرحلہ 1۔ وتر ایک مثلث کو کاٹتا ہے جس کی دو اطراف (5 اور 8) اور ان کے درمیان کا زاویہ معلوم ہے۔ چھوٹا وتر حادہ زاویہ 60° کے سامنے ہے۔

مرحلہ 2۔ حساب کریں:

\[d^2 = 5^2 + 8^2 - 2 \cdot 5 \cdot 8 \cdot \cos 60° = 25 + 64 - 40 = 49 \Rightarrow d = 7.\]

مرحلہ 3۔ جانچ۔ دوسرا وتر زاویہ 120° کے سامنے ہے (متوازی الاضلاع کے قریبی زاویے مل کر 180° بناتے ہیں): $D^2 = 89 + 40 = 129$، یعنی $D = \sqrt{129} \approx 11{,}4$۔ وتروں کے مربعوں کا مجموعہ $49 + 129 = 178$ ہے، اور اطراف کے مربعوں کے دگنے مجموعے — $2(25 + 64) = 178$۔ مماثل ہے، اس لیے حساب درست ہے۔

جواب: 7۔

قانون جيب التمام پر مسائل میں عام غلطیاں

مفرد زاویے کا کوسائن مثبت علامت کے ساتھ لیتے ہیں۔ اطراف 4 اور 9 کے لیے جن کے درمیان زاویہ 120° ہے، وہ لکھتے ہیں $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ اور $c \approx 7{,}8$ حاصل کرتے ہیں۔

$\cos 120° = -0{,}5$، اور منفی ضرب منفی سے مثبت بنتا ہے: $c^2 = 97 + 36 = 133$، یعنی $c = \sqrt{133} \approx 11{,}5$۔ فوری جانچ: مفرد زاویے کے سامنے سب سے لمبی طرف ہوتی ہے، اس لیے جواب 9 سے بڑا ہونا چاہیے۔
دی گئی اطراف کے درمیان نہ ہونے والے زاویے کو ڈال دیتے ہیں: شرط میں ایک زاویہ دیا گیا ہے، اور اسے ڈرائنگ کو دیکھے بغیر 'جیسے ہے ویسے' لے لیتے ہیں۔

فارمولے $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$ میں اطراف a اور b زاویہ C بناتی ہیں، اور ضلع c اس کے سامنے ہوتا ہے۔ اگر معلوم زاویہ مطلوبہ ضلع سے متصل ہے، تو یہ فارمولا مناسب نہیں ہے — تین میں سے دوسری شکل یا قانون جيب الزوايا کی ضرورت ہے۔
مربع ضلع کو جزر نکالنا بھول جاتے ہیں اور جواب میں مربع لکھ دیتے ہیں: $c^2 = 225$ حاصل ہوا اور 'ضلع 225 ہے' لکھ دیتے ہیں۔

فارمولا ہمیشہ ضلع کا مربع دیتا ہے۔ آخری مرحلہ لازمی ہے: $c = \sqrt{225} = 15$۔ جواب لکھنے سے پہلے سوال کو دوبارہ پڑھیں۔
نتیجے میں حصوں کی ترتیب کو گڑبڑ کر دیتے ہیں اور $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$ لکھ دیتے ہیں۔

صحیح نیومریٹر — $a^2 + b^2 - c^2$: متصل اطراف کے مربعوں کا مجموعہ مائنس سامنے والی طرف کا مربع۔ ترتیب بدلنے سے کسر کی علامت الٹ جاتی ہے، اور مفرد زاویہ 120° کی بجائے حادہ زاویہ 60° حاصل ہوتا ہے۔
کوسائن کے ماڈیولس سے زاویہ معلوم کرتے ہیں: −0,25 حاصل ہوا، اور جواب میں حادہ زاویہ لکھ دیتے ہیں، گویا کوسائن +0,25 تھا۔

منفی کوسائن — ہمیشہ مفرد زاویہ ہوتا ہے۔ علامت کو ضائع نہیں کرنا چاہیے: cos 60° = 0,5، اور cos 120° = −0,5؛ منفی عدد کا آرک کوسائن 90° سے بڑا ہوتا ہے۔
دو اطراف اور ان کے درمیان کے زاویے والے مسئلے کو قانون جيب الزوايا سے حل کرنے کی کوشش کرتے ہیں اور پہلی سطر پر پھنس جاتے ہیں۔

قانون جيب الزوايا کو 'طرف اور اس کے سامنے والا زاویہ' کا تیار جوڑا درکار ہے۔ دو اطراف اور ان کے درمیان کے زاویے کے ساتھ ایسا کوئی جوڑا نہیں ہوتا — پہلے قانون جيب التمام تیسری طرف دیتا ہے، اور تب ہی قانون جيب الزوايا استعمال ہوتا ہے۔

سوالات اور جوابات

قانون جيب التمام کیا ہے؟

مثلث کے ایک ضلع کا مربع دو دوسری اطراف کے مربعوں کے مجموعے سے ان دو اطراف کے اس زاویے کے کوسائن سے ضرب شدہ دگنے کے حاصل ضرب کو گھٹانے سے حاصل ہوتا ہے: c² = a² + b² − 2ab·cos C۔ یہ نظریہ کسی بھی مثلث کے لیے درست ہے، نہ کہ صرف قائمہ زاویہ کے لیے۔

دو اطراف اور ان کے درمیان کے زاویے سے مثلث کی طرف کیسے معلوم کریں؟

ڈیٹا کو فارمولے c² = a² + b² − 2ab·cos C میں ڈالیں اور جزر نکالیں۔ مثال کے طور پر، 4 اور 6 اطراف اور ان کے درمیان 60° کے زاویے کے لیے: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28، اس لیے c = √28 ≈ 5,3۔

اگر مثلث کی تینوں اطراف معلوم ہوں تو اس کا زاویہ کیسے معلوم کریں؟

قانون جيب التمام کے نتیجے سے: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab)، جہاں c مطلوبہ زاویے کے سامنے والی طرف ہے۔ مثال کے طور پر، 2، 3 اور 4 اطراف کے لیے سب سے بڑے زاویے کا کوسائن (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25 ہے، یعنی زاویہ مفرد ہے، تقریباً 104°۔

فیثاغورس کا نظریہ قانون جيب التمام کا خاص معاملہ کیوں ہے؟

کیونکہ سیدھے زاویے کے لیے cos 90° = 0 ہوتا ہے، اور حصہ −2ab·cos C صفر ہو جاتا ہے۔ فارمولے سے c² = a² + b² باقی رہتا ہے — یہ قائمہ زاویہ مثلث کے لیے فیثاغورس کا نظریہ ہے۔

کیا قانون جيب التمام مفرد زاویہ مثلث میں کام کرتا ہے؟

ہاں، اور یہ بغیر کسی تبدیلی کے کام کرتا ہے۔ مفرد زاویے کا کوسائن منفی ہوتا ہے، اس لیے حصہ −2ab·cos C مثبت ہو جاتا ہے اور مربعوں کے مجموعے میں شامل ہو جاتا ہے۔ اسی وجہ سے مفرد زاویے کے سامنے والی طرف سب سے لمبی ہوتی ہے۔

قانون جيب الزوايا کب استعمال کریں، اور قانون جيب التمام کب؟

قانون جيب الزوايا کی ضرورت ہوتی ہے جب شرط میں پہلے سے 'طرف اور اس کے سامنے والا زاویہ' کا جوڑا موجود ہو — مثال کے طور پر، ایک طرف اور دو زاویے دیے گئے ہوں۔ قانون جيب التمام — جب ایسا جوڑا نہ ہو: دو اطراف اور ان کے درمیان کا زاویہ یا تینوں اطراف دی گئی ہوں۔ اکثر مسئلہ دو مراحل میں حل ہوتا ہے: پہلے کوسائن، پھر سائن۔

تین اطراف سے مثلث کی قسم کیسے متعین کریں؟

سب سے بڑی طرف کے مربع c² کا دو دوسری اطراف کے مربعوں کے مجموعے سے موازنہ کریں۔ اگر a² + b² > c² — مثلث حادہ زاویہ ہے، اگر a² + b² = c² — قائمہ زاویہ ہے، اگر a² + b² < c² — مفرد زاویہ ہے۔ اس فرق کی علامت سب سے بڑے زاویے کے کوسائن کی علامت کے ساتھ مماثل ہوتی ہے۔

قانون جيب التمام کس کلاس میں پڑھایا جاتا ہے؟

کلاس 9 میں جیومیٹری کے اسباق میں، 'مثلث کی اطراف اور زاویوں کے درمیان تعلقات' کے موضوع میں — قانون جيب الزوايا کے ساتھ۔ اس کے بعد یہ OGE اور ЕГЭ کے جیومیٹری کے مسائل اور سٹیریومیٹری میں مسلسل استعمال ہوتا ہے۔

ابھی بھی سوالات ہیں؟ چیٹ میں جاری رکھیں

میرا مسئلہ حل کریں میرا حل جانچیں مثلث کی طرف معلوم کریں تین اطراف سے زاویہ معلوم کریں سائن یا کوسائن؟ مشق کے لیے مسائل دیں

صارف #4365351

مجھے تصویر پر ٹیکسٹ ایڈیٹر بہت پسند آیا — نتیجہ ایک شاہکار نکلا۔

Web · مئی 2026

صارف #4383661

شکریہ، نیورل نیٹ ورک کے کام نے مجھے واقعی متاثر کیا۔ بہترین!

صارف #4279467

مجھے یہ بہت پسند ہے — اگر کچھ اور مفت ٹرائلز مل جائیں تو بہت اچھا ہوگا۔

Google Play · مئی 2026

صارف #4160129

مناسب قیمتوں کے ساتھ ایک شاندار ایپ۔