🎄 🎄

✦ ★ ✧ ✦ ⭐ ★ ✧ ✦ ✦ ✧ ★ ✦

تصویر، ویڈیو، موسیقی اور متن کی تخلیق

اکاؤنٹ

بیلنس 0

کیٹلاگ

مطالعہ کی مثالیں تعلیمی مواد

ترتیبات

ڈارک موڈ

Select Language

سپورٹ

سسٹم

ایپ اور سوشل

ایپ انسٹال کریں ایپ انسٹال کریں ایپ انسٹال کریں

قانونی

ہمارے پروجیکٹس

Тригонометрические уравнения

Основные понятия и определения

Тригонометрическое уравнение — это уравнение, в котором неизвестная величина входит под знак тригонометрической функции (синус, косинус, тангенс, котангенс).

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид:
- $\sin x = a$
- $\cos x = a$
- $\tan x = a$
- $\cot x = a$

Где $a$ — некоторое число.

Решение простейших тригонометрических уравнений

1. Уравнение $\sin x = a$

Решение:
- Если $|a| > 1$, то уравнение не имеет решений
- Если $|a| \leq 1$, то $x = (-1)^n \arcsin a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Частные случаи:
- $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
- $\sin x = -1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2. Уравнение $\cos x = a$

Решение:
- Если $|a| > 1$, то уравнение не имеет решений
- Если $|a| \leq 1$, то $x = \pm \arccos a + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Частные случаи:
- $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
- $\cos x = 1 \Rightarrow x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
- $\cos x = -1 \Rightarrow x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

3. Уравнение $\tan x = a$

Решение:
- $x = \arctan a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Частный случай:
- $\tan x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

4. Уравнение $\cot x = a$

Решение:
- $x = \arccot a + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Частный случай:
- $\cot x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Методы решения тригонометрических уравнений

1. Метод приведения к простейшим уравнениям

Суть метода заключается в преобразовании исходного уравнения к одному или нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям.

Пример: Решить уравнение $2\sin^2 x - \sin x - 1 = 0$.

Решение:
1. Сделаем замену $t = \sin x$
2. Получим квадратное уравнение: $2t^2 - t - 1 = 0$
3. Решаем: $t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$, откуда $t_1 = 1$ и $t_2 = -\frac{1}{2}$
4. Возвращаемся к переменной $x$:
- $\sin x = 1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
- $\sin x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

2. Метод разложения на множители

Если уравнение можно представить в виде произведения нескольких выражений, то достаточно решить уравнения, в которых каждый множитель равен нулю.

Пример: Решить уравнение $\sin x \cdot \cos x = 0$.

Решение:
1. Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю
2. $\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
3. $\cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

3. Метод универсальной подстановки

Замена $t = \tan \frac{x}{2}$ позволяет выразить основные тригонометрические функции через $t$:
- $\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$
- $\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$
- $\tan x = \frac{2t}{1-t^2}$

Пример: Решить уравнение $\sin x + \cos x = 1$.

Решение:
1. Сделаем замену $t = \tan \frac{x}{2}$
2. Получим: $\frac{2t}{1+t^2} + \frac{1-t^2}{1+t^2} = 1$
3. Преобразуем: $\frac{2t + 1 - t^2}{1+t^2} = 1$
4. Умножим обе части на $1+t^2$: $2t + 1 - t^2 = 1 + t^2$
5. Упростим: $2t - 2t^2 = 0$
6. Вынесем общий множитель: $2t(1 - t) = 0$
7. Решаем: $t = 0$ или $t = 1$
8. Возвращаемся к переменной $x$:
- $t = 0 \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = 0 \Rightarrow \frac{x}{2} = \pi n \Rightarrow x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
- $t = 1 \Rightarrow \tan \frac{x}{2} = 1 \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

4. Метод введения вспомогательного угла

Применяется для решения уравнений вида $a\sin x + b\cos x = c$.

Вводим вспомогательный угол $\varphi$ такой, что $\sin \varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ и $\cos \varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$
Преобразуем исходное уравнение к виду $\sqrt{a^2+b^2} \sin(x + \varphi) = c$

Пример: Решить уравнение $\sin x + \sqrt{3}\cos x = 2$.

Решение:
1. $\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = 2$
2. $\sin \varphi = \frac{1}{2}$, $\cos \varphi = \frac{\sqrt{3}}{2}$, откуда $\varphi = \frac{\pi}{6}$
3. Уравнение принимает вид: $2\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 2$
4. Упрощаем: $\sin(x + \frac{\pi}{6}) = 1$
5. Решаем: $x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2} + 2\pi n \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$

Отбор корней тригонометрических уравнений

Часто требуется найти корни уравнения, принадлежащие определенному промежутку. Для этого:

Найдите общее решение уравнения
Определите, какие значения параметра $n$ дают корни в заданном промежутке

Пример: Найти корни уравнения $\sin x = \frac{1}{2}$ на промежутке $[0; 2\pi]$.

Решение:
1. Общее решение: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ или $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$
2. Для $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$ на $[0; 2\pi]$:
- При $n = 0$: $x = \frac{\pi}{6} \in [0; 2\pi]$
- При $n = 1$: $x = \frac{\pi}{6} + 2\pi > 2\pi$ (не подходит)
3. Для $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$ на $[0; 2\pi]$:
- При $n = 0$: $x = \frac{5\pi}{6} \in [0; 2\pi]$
- При $n = 1$: $x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi > 2\pi$ (не подходит)

Ответ: $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$

Типичные ошибки при решении тригонометрических уравнений

Потеря решений — возникает при необоснованном делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестную
Появление посторонних решений — возникает при возведении обеих частей уравнения в четную степень
Ошибки при отборе корней — неправильное определение принадлежности корней заданному промежутку
Неверное использование формул — ошибки при применении тригонометрических формул