Розрахунок зміни тиску газу в балоні при зміні температури та кількості речовини

Name: Homiwork
Author: Homiwork

Homi

Завдання 1

Умова: У скільки разів кінцевий тиск газу в балоні буде відрізнятися від початкового, якщо 30 % газу вийде з балона, а температура газу підвищиться на 30 %?

Розв'язання:

Для розв'язання цієї задачі скористаємося рівнянням стану ідеального газу (рівняння Менделєєва-Клапейрона):

$PV = nRT$

де:
* $P$ - тиск газу
* $V$ - об'єм газу
* $n$ - кількість речовини газу (у молях)
* $R$ - універсальна газова стала
* $T$ - абсолютна температура газу

Оскільки об'єм балона залишається незмінним ($V = \text{const}$), а газова стала $R$ є константою, ми можемо записати співвідношення між початковим та кінцевим станами газу:

$\frac{P_1 V}{n_1 R T_1} = \frac{P_2 V}{n_2 R T_2}$

Скоротивши однакові величини ($V$ та $R$), отримаємо:

$\frac{P_1}{n_1 T_1} = \frac{P_2}{n_2 T_2}$

Звідси випливає співвідношення для тиску:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1}$

Тепер проаналізуємо зміни, що відбуваються:

Зміна кількості газу ($n$):
Якщо 30 % газу вийде з балона, то залишиться 70 % від початкової кількості.
Отже, $n_2 = 0.7 \cdot n_1$.
Зміна температури ($T$):
Температура підвищилася на 30 %. Це означає, що кінцева температура становить 130 % від початкової. Важливо пам'ятати, що температура в рівнянні стану газу повинна бути в абсолютній шкалі (Кельвінах). Припустимо, що початкова температура $T_1$ в Кельвінах. Тоді:
$T_2 = T_1 + 0.3 \cdot T_1 = 1.3 \cdot T_1$.

Тепер підставимо ці значення у формулу для співвідношення тисків:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{(0.7 \cdot n_1) \cdot (1.3 \cdot T_1)}{n_1 T_1}$

Скоротимо $n_1$ та $T_1$:

$\frac{P_2}{P_1} = 0.7 \cdot 1.3$

$\frac{P_2}{P_1} = 0.91$

Це означає, що кінцевий тиск газу буде в 0.91 рази меншим за початковий. Питання звучить "У скільки разів кінцевий тиск газу в балоні буде відрізнятися від початкового". Це можна інтерпретувати як знаходження відношення $P_2/P_1$.

Відповідь: Кінцевий тиск газу буде відрізнятися від початкового у 0.91 рази (тобто, він зменшиться).

1 Пояснити детальніше 1 Теорія газу 1 Перевірити розрахунок

Варіанти продовження:

1 Продовжити розв'язання 1 Вивчити тему газу 1 Схожі задачі

Розв'яжи наступне завдання з фото, якщо воно є

Homi

Завдання 1

Розв'язання:

Для розв'язання цієї задачі скористаємося рівнянням стану ідеального газу (рівняння Менделєєва-Клапейрона):

$PV = nRT$

$\frac{P_1 V}{n_1 R T_1} = \frac{P_2 V}{n_2 R T_2}$

Скоротивши однакові величини ($V$ та $R$), отримаємо:

$\frac{P_1}{n_1 T_1} = \frac{P_2}{n_2 T_2}$

Звідси випливає співвідношення для тиску:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1}$

Тепер проаналізуємо зміни, що відбуваються:

Зміна кількості газу ($n$):
Якщо 30 % газу вийде з балона, то залишиться 70 % від початкової кількості.
Отже, $n_2 = 0.7 \cdot n_1$.
Зміна температури ($T$):
Температура підвищилася на 30 %. Це означає, що кінцева температура становить 130 % від початкової. Важливо пам'ятати, що температура в рівнянні стану газу повинна бути в абсолютній шкалі (Кельвінах). Припустимо, що початкова температура $T_1$ в Кельвінах. Тоді:
$T_2 = T_1 + 0.3 \cdot T_1 = 1.3 \cdot T_1$.

Тепер підставимо ці значення у формулу для співвідношення тисків:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{(0.7 \cdot n_1) \cdot (1.3 \cdot T_1)}{n_1 T_1}$

Скоротимо $n_1$ та $T_1$:

$\frac{P_2}{P_1} = 0.7 \cdot 1.3$

$\frac{P_2}{P_1} = 0.91$

Відповідь: Кінцевий тиск газу буде відрізнятися від початкового у 0.91 рази (тобто, він зменшиться).

1 Пояснити детальніше 1 Теорія газу 1 Перевірити розрахунок

Варіанти продовження:

1 Продовжити розв'язання 1 Вивчити тему газу 1 Схожі задачі

Продовжи розв'язання наступного завдання з фото, якщо воно є

Homi

На жаль, у наданому зображенні міститься лише одне завдання, яке вже було розв'язане. Якщо у вас є інші завдання, будь ласка, надайте їх, і я з радістю допоможу вам з їх розв'язанням.

Варіанти продовження:

1 Вивчити тему газу 1 Схожі задачі

Склади 2 схожі задачі на зміну стану газу з підказками для самостійного розв'язання

Homi

Звісно, ось дві схожі задачі для самостійного розв'язання:

Завдання 1

Умова: У закритому балоні міститься певна кількість ідеального газу. Якщо 20 % газу випустити з балона, а температуру газу знизити на 10 %, то у скільки разів зміниться тиск газу в балоні?

Підказки:
1. Використовуйте рівняння стану ідеального газу: $PV = nRT$.
2. Об'єм балона ($V$) та газова стала ($R$) є сталими.
3. Визначте, яка частка газу залишиться в балоні після випускання 20 %.
4. Визначте кінцеву температуру ($T_2$) відносно початкової ($T_1$), пам'ятаючи про абсолютну шкалу температур.
5. Знайдіть відношення кінцевого тиску до початкового: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1}$.

1 Розв'язати цю задачу 1 Показати теорію

Завдання 2

Умова: Газ у закритій посудині нагріли так, що його температура збільшилася на 50 %. При цьому 15 % газу вийшло з посудини через запобіжний клапан. У скільки разів змінився тиск газу?

Підказки:
1. Запишіть рівняння стану ідеального газу для початкового та кінцевого станів.
2. Об'єм посудини ($V$) та газова стала ($R$) залишаються незмінними.
3. Визначте, яка частка газу залишилася в посудині після випускання 15 %.
4. Розрахуйте кінцеву температуру ($T_2$) в Кельвінах, якщо початкова температура була $T_1$.
5. Обчисліть відношення кінцевого тиску до початкового: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2 T_2}{n_1 T_1}$.

1 Розв'язати цю задачу 1 Пояснити відсотки

Варіанти продовження:

1 Продовжити розв'язання 1 Вивчити тему газу 1 Повернутись до попереднього

Homi

Завдання 1

Умова: Якщо швидкість вітру дорівнює 10 м/с, то краплі дощу падають під кутом 30° до вертикалі. За якої швидкості вітру краплі падатимуть під кутом 45° до вертикалі? Результат заокруглити до цілих.

Розв'язання:

Це завдання стосується векторного додавання швидкостей. Швидкість крапель дощу відносно землі є векторною сумою їхньої власної швидкості (вертикальної) та швидкості вітру (горизонтальної).

Визначимо складові швидкості:
- Нехай $v_d$ - швидкість падіння крапель дощу (вертикальна складова).
- Нехай $v_w$ - швидкість вітру (горизонтальна складова).
- Нехай $v_{res}$ - результуюча швидкість крапель відносно землі.
Розглянемо перший випадок:
- $v_w = 10$ м/с.
- Кут падіння дощу до вертикалі $\alpha = 30^\circ$.
- З тригонометрії, тангенс кута між результуючою швидкістю та вертикаллю дорівнює відношенню горизонтальної складової швидкості до вертикальної:
  $$ \tan(\alpha) = \frac{v_w}{v_d} $$
- Звідси можемо знайти швидкість падіння крапель $v_d$:
  $$ v_d = \frac{v_w}{\tan(\alpha)} = \frac{10 \text{ м/с}}{\tan(30^\circ)} $$
- Знаємо, що $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
- \[ v_d = \frac{10 \text{ м/с}}{1/\sqrt{3}} = 10\sqrt{3} \text{ м/с} \]
- Приблизне значення: $v_d \approx 10 \times 1.732 = 17.32$ м/с.
Розглянемо другий випадок:
- Кут падіння дощу до вертикалі $\beta = 45^\circ$.
- Швидкість падіння крапель $v_d$ залишається незмінною (припускаємо, що вона залежить від умов, а не від швидкості вітру).
- Нехай нова швидкість вітру буде $v'_w$.
- Застосуємо ту ж формулу:
  $$ \tan(\beta) = \frac{v'_w}{v_d} $$
- Звідси знаходимо нову швидкість вітру $v'_w$:
  $$ v'_w = v_d \times \tan(\beta) $$
- Підставимо значення $v_d = 10\sqrt{3}$ м/с та $\beta = 45^\circ$. Знаємо, що $\tan(45^\circ) = 1$.
- \[ v'_w = (10\sqrt{3} \text{ м/с}) \times 1 \]
- \[ v'_w = 10\sqrt{3} \text{ м/с} \]
Перевірка та заокруглення:
- Виникла помилка в логіці. Швидкість падіння крапель $v_d$ є сталою, а ми шукаємо нову швидкість вітру, за якої кут буде 45°.
- Повернемося до формули: $v'_w = v_d \times \tan(\beta)$.
- Ми знайшли $v_d = 10\sqrt{3}$ м/с.
- \[ v'_w = (10\sqrt{3} \text{ м/с}) \times \tan(45^\circ) \]
- \[ v'_w = (10\sqrt{3} \text{ м/с}) \times 1 \]
- \[ v'_w = 10\sqrt{3} \text{ м/с} \approx 17.32 \text{ м/с} \]
- Переосмислення умови: "За якої швидкості вітру краплі падатимуть під кутом 45° до вертикалі?" Це означає, що ми шукаємо нову швидкість вітру, а швидкість падіння крапель $v_d$ залишається тією ж.
- З першого випадку: $v_d = \frac{10}{\tan(30^\circ)} = 10\sqrt{3}$ м/с.
- У другому випадку: $\tan(45^\circ) = \frac{v'_w}{v_d}$.
- $v'_w = v_d \times \tan(45^\circ) = (10\sqrt{3}) \times 1 = 10\sqrt{3}$ м/с.
- Ще раз перевірка умови: "Якщо швидкість вітру дорівнює 10 м/с, то краплі дощу падають під кутом 30° до вертикалі." Це означає, що при швидкості вітру 10 м/с кут падіння становить 30°.
- З цього випливає: $v_d = \frac{v_w}{\tan(\alpha)} = \frac{10}{\tan(30^\circ)} = 10\sqrt{3}$ м/с. Це швидкість падіння крапель.
- Тепер питання: "За якої швидкості вітру краплі падатимуть під кутом 45° до вертикалі?"
- Ми знаємо $v_d = 10\sqrt{3}$ м/с.
- Ми знаємо новий кут $\beta = 45^\circ$.
- Шукаємо нову швидкість вітру $v'_w$.
- \[ \tan(\beta) = \frac{v'_w}{v_d} \]
- \[ v'_w = v_d \times \tan(\beta) \]
- \[ v'_w = (10\sqrt{3} \text{ м/с}) \times \tan(45^\circ) \]
- \[ v'_w = (10\sqrt{3} \text{ м/с}) \times 1 \]
- \[ v'_w = 10\sqrt{3} \text{ м/с} \approx 17.32 \text{ м/с} \]
- Висновок: Здається, що швидкість вітру має бути $10\sqrt{3}$ м/с. Але це не відповідає інтуїції, що при більшому куті падіння вітер має бути сильнішим.
- Перечитаємо умову уважно: "Якщо швидкість вітру дорівнює 10 м/с, то краплі дощу падають під кутом 30° до вертикалі."
- Це означає, що відношення швидкості вітру до швидкості падіння крапель таке, що тангенс кута до вертикалі дорівнює 30°.
- \[ \tan(30^\circ) = \frac{v_w}{v_d} \]
- \[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10 \text{ м/с}}{v_d} \]
- $$ v_d = 10\sqrt{3} \text{ м/с} $$ (Це швидкість падіння крапель, яка є сталою).
- Тепер, за якої швидкості вітру $v'_w$ краплі падатимуть під кутом $45^\circ$ до вертикалі?
- \[ \tan(45^\circ) = \frac{v'_w}{v_d} \]
- \[ 1 = \frac{v'_w}{10\sqrt{3} \text{ м/с}} \]
- \[ v'_w = 10\sqrt{3} \text{ м/с} \]
- Ще раз перевірка: Якщо швидкість вітру 10 м/с, а швидкість падіння крапель $10\sqrt{3}$ м/с, то кут падіння $\alpha$ такий, що $\tan(\alpha) = \frac{10}{10\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$, отже $\alpha = 30^\circ$. Це правильно.
- Якщо швидкість вітру $v'_w$, а швидкість падіння крапель $10\sqrt{3}$ м/с, то кут падіння $45^\circ$.
- $\tan(45^\circ) = \frac{v'_w}{10\sqrt{3}}$.
- $1 = \frac{v'_w}{10\sqrt{3}}$.
- $v'_w = 10\sqrt{3} \approx 17.32$ м/с.
- Заокруглення до цілих: $17.32$ заокруглюється до $17$.

Відповідь: За швидкості вітру приблизно 17 м/с.

1 Пояснити детальніше 1 Перевірити розрахунки 1 Теорія векторів

Варіанти продовження:

1 Продовжити розв'язання 1 Вивчити тему векторів 1 Схожі задачі

Homi

Завдання 1

Визначення проекції швидкості руху тіла на вісь Ox у момент часу 4 с.

На графіку зображено залежність координати $x$ від часу $t$. Рух вважається рівноприскореним.

Швидкість тіла є похідною від координати за часом: $v_x = \frac{dx}{dt}$. На графіку залежності $x(t)$ похідна в певній точці відповідає нахилу дотичної до графіка в цій точці.

У момент часу $t = 4$ с графік досягає свого максимуму. У точці максимуму дотична до графіка є горизонтальною, тобто її нахил дорівнює нулю.

Отже, проекція швидкості руху тіла на вісь Ox у момент часу 4 с дорівнює 0 м/с.

Відповідь: 0 м/с

1 Пояснити детальніше про похідну та нахил графіка 1 Розглянути інші моменти часу

Завдання 2

Визначення проекції прискорення на вісь Ox.

Оскільки рух є рівноприскореним, прискорення є сталою величиною. Для рівноприскореного руху координата тіла залежить від часу за законом:

$x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$

де:
* $x(t)$ - координата в момент часу $t$
* $x_0$ - початкова координата
* $v_{0x}$ - початкова проекція швидкості на вісь Ox
* $a_x$ - проекція прискорення на вісь Ox

З графіка ми можемо визначити кілька точок:
* При $t = 2$ с, $x = 9$ м
* При $t = 4$ с, $x = 11$ м (максимум)
* При $t = 5$ с, $x = 10,5$ м

Оскільки швидкість у момент часу $t=4$ с дорівнює 0 (як визначено в Завданні 1), це означає, що вершина параболи знаходиться при $t=4$ с. Для параболи $x(t) = x_0 + v_{0x}t + \frac{a_x t^2}{2}$, вершина досягається при $t = -\frac{v_{0x}}{a_x}$.

Отже, $4 = -\frac{v_{0x}}{a_x}$, звідки $v_{0x} = -4a_x$.

Тепер використаємо дві точки для складання системи рівнянь:

При $t = 2$ с, $x = 9$ м:
$9 = x_0 + v_{0x}(2) + \frac{a_x (2)^2}{2}$
$9 = x_0 + 2v_{0x} + 2a_x$
При $t = 5$ с, $x = 10,5$ м:
$10,5 = x_0 + v_{0x}(5) + \frac{a_x (5)^2}{2}$
$10,5 = x_0 + 5v_{0x} + 12,5a_x$

Підставимо $v_{0x} = -4a_x$ у перше рівняння:
$9 = x_0 + 2(-4a_x) + 2a_x$
$9 = x_0 - 8a_x + 2a_x$
$9 = x_0 - 6a_x$ (Рівняння 3)

Підставимо $v_{0x} = -4a_x$ у друге рівняння:
$10,5 = x_0 + 5(-4a_x) + 12,5a_x$
$10,5 = x_0 - 20a_x + 12,5a_x$
$10,5 = x_0 - 7,5a_x$ (Рівняння 4)

Тепер маємо систему з двох рівнянь з двома невідомими ($x_0$ та $a_x$):
3. $x_0 - 6a_x = 9$
4. $x_0 - 7,5a_x = 10,5$

Віднімемо рівняння 3 від рівняння 4:
$(x_0 - 7,5a_x) - (x_0 - 6a_x) = 10,5 - 9$
$-7,5a_x + 6a_x = 1,5$
$-1,5a_x = 1,5$
$a_x = \frac{1,5}{-1,5} = -1$ м/с²

Відповідь: -1 м/с²

1 Пояснити, чому графік є параболою 1 Перевірити розрахунки з іншими точками

Варіанти продовження:

1 Продовжити розв'язання 1 Вивчити тему рівноприскореного руху 1 Скласти схожі задачі

Графики движения

Homi

Завдання 4

Це завдання складається з двох частин. Спочатку потрібно знайти кут нахилу площини, за якого вантаж рухається вниз зі сталою швидкістю без прикладання сили тяги. Потім, використовуючи цей кут, визначити, яким має бути кут нахилу для рівномірного руху вантажу вгору під дією сили тяги.

Дано:
* Маса вантажу, $m = 100$ кг
* Коефіцієнт тертя ковзання, $\mu = 0.15$
* Сила тяги (у другому випадку), $F_{тяги} = 800$ Н
* Прискорення вільного падіння, $g \approx 9.8$ м/с²

Частина 1: Рух вантажу вниз зі сталою швидкістю

Коли вантаж рухається вниз зі сталою швидкістю, це означає, що сума всіх сил, що діють на нього, дорівнює нулю (перший закон Ньютона).

Сили, що діють на вантаж:
1. Сила тяжіння (вага): $P = mg$, спрямована вертикально вниз.
2. Сила нормальної реакції опори: $N$, спрямована перпендикулярно до площини.
3. Сила тертя ковзання: $F_{тертя}$, спрямована паралельно площині вгору (протилежно до напрямку руху).

Розкладемо силу тяжіння на дві складові:
* Паралельну до площини: $P_{\parallel} = mg \sin(\alpha)$, де $\alpha$ - кут нахилу площини.
* Перпендикулярну до площини: $P_{\perp} = mg \cos(\alpha)$.

За умовою, вантаж рухається вниз зі сталою швидкістю без прикладання сили тяги. Це означає, що сила, яка тягне вантаж вниз (складова сили тяжіння, паралельна площині), врівноважується силою тертя, яка діє вгору.

Рівняння сил, перпендикулярних до площини:
$N - P_{\perp} = 0$
$N = P_{\perp} = mg \cos(\alpha)$
Рівняння сил, паралельних до площини:
$P_{\parallel} - F_{тертя} = 0$
$mg \sin(\alpha) = F_{тертя}$

Сила тертя ковзання визначається за формулою:
$F_{тертя} = \mu N$

Підставляємо вираз для $N$:
$F_{тертя} = \mu mg \cos(\alpha)$

Тепер прирівнюємо складову сили тяжіння до сили тертя:
$mg \sin(\alpha) = \mu mg \cos(\alpha)$

Скорочуємо $mg$:
$\sin(\alpha) = \mu \cos(\alpha)$

Щоб знайти кут $\alpha$, поділимо обидві частини на $\cos(\alpha)$:
$\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} = \mu$

Це означає, що:
$\operatorname{tg}(\alpha) = \mu$

Тепер обчислимо кут $\alpha$:
$\alpha = \operatorname{arctg}(\mu)$
$\alpha = \operatorname{arctg}(0.15)$

Використовуючи калькулятор:
$\alpha \approx 8.53^\circ$

Отже, кут нахилу площини, при якому вантаж рухається вниз зі сталою швидкістю без прикладання сили тяги, становить приблизно $8.53^\circ$.

Частина 2: Рух вантажу вгору під дією сили тяги

Тепер потрібно знайти кут нахилу площини, при якому вантаж рухається вгору зі сталою швидкістю під дією сили тяги $F_{тяги} = 800$ Н. Знову ж таки, рух зі сталою швидкістю означає, що сума сил дорівнює нулю.

Сили, що діють на вантаж при русі вгору:
1. Сила тяжіння (вага): $P = mg$, спрямована вертикально вниз.
2. Сила нормальної реакції опори: $N$, спрямована перпендикулярно до площини.
3. Сила тертя ковзання: $F_{тертя}$, спрямована паралельно площині вниз (протилежно до напрямку руху вгору).
4. Сила тяги: $F_{тяги}$, спрямована паралельно площині вгору.

Розкладаємо силу тяжіння на складові, як і раніше. Нехай новий кут нахилу буде $\beta$.
* Паралельна до площини: $P_{\parallel} = mg \sin(\beta)$
* Перпендикулярна до площини: $P_{\perp} = mg \cos(\beta)$

Сила нормальної реакції опори:
$N - P_{\perp} = 0$
$N = P_{\perp} = mg \cos(\beta)$

Сила тертя ковзання:
$F_{тертя} = \mu N = \mu mg \cos(\beta)$

Умова рівноприскореного руху вгору означає, що сума сил, спрямованих вгору, дорівнює сумі сил, спрямованих вниз.
* Рівняння сил, паралельних до площини:
$F_{тяги} - P_{\parallel} - F_{тертя} = 0$
$F_{тяги} = P_{\parallel} + F_{тертя}$
$F_{тяги} = mg \sin(\beta) + \mu mg \cos(\beta)$

Підставляємо відомі значення:
$800 \text{ Н} = (100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2) \sin(\beta) + 0.15 \cdot (100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2) \cos(\beta)$
$800 = 980 \sin(\beta) + 0.15 \cdot 980 \cos(\beta)$
$800 = 980 \sin(\beta) + 147 \cos(\beta)$

Це рівняння складніше розв'язати аналітично для $\beta$. Однак, ми можемо використовувати знайдений раніше кут $\alpha$ (або значення $\operatorname{tg}(\alpha) = \mu$) для спрощення.

Ми маємо рівняння:
$F_{тяги} = mg (\sin(\beta) + \mu \cos(\beta))$

Якщо ми знаємо $\mu = \operatorname{tg}(\alpha)$, то можемо переписати рівняння:
$F_{тяги} = mg (\sin(\beta) + \operatorname{tg}(\alpha) \cos(\beta))$
$F_{тяги} = mg (\sin(\beta) + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \cos(\beta))$
$F_{тяги} = mg \frac{\sin(\beta) \cos(\alpha) + \sin(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha)}$

Використовуючи тригонометричну формулу суми кутів $\sin(A+B) = \sin(A)\cos(B) + \cos(A)\sin(B)$:
$F_{тяги} = mg \frac{\sin(\beta + \alpha)}{\cos(\alpha)}$

Звідси:
$\sin(\beta + \alpha) = \frac{F_{тяги} \cos(\alpha)}{mg}$

Спочатку знайдемо $\cos(\alpha)$. Оскільки $\operatorname{tg}(\alpha) = 0.15$, ми можемо побудувати прямокутний трикутник, де протилежний катет = 0.15, прилеглий катет = 1. Тоді гіпотенуза буде $\sqrt{1^2 + 0.15^2} = \sqrt{1 + 0.0225} = \sqrt{1.0225} \approx 1.011$.
Тоді $\cos(\alpha) = \frac{1}{1.011} \approx 0.989$.

Підставляємо значення:
$\sin(\beta + \alpha) = \frac{800 \text{ Н} \cdot 0.989}{100 \text{ кг} \cdot 9.8 \text{ м/с}^2} = \frac{791.2}{980} \approx 0.8073$

Тепер знаходимо кут $(\beta + \alpha)$:
$\beta + \alpha = \arcsin(0.8073)$
$\beta + \alpha \approx 53.85^\circ$

Оскільки $\alpha \approx 8.53^\circ$, то:
$\beta = 53.85^\circ - 8.53^\circ$
$\beta \approx 45.32^\circ$

Перевірка:
Якщо $\beta \approx 45.32^\circ$, то:
$\sin(\beta) \approx \sin(45.32^\circ) \approx 0.7099$
$\cos(\beta) \approx \cos(45.32^\circ) \approx 0.7043$

$mg \sin(\beta) + \mu mg \cos(\beta) = 980 \cdot 0.7099 + 0.15 \cdot 980 \cdot 0.7043$
$= 695.7 + 147 \cdot 0.7043$
$= 695.7 + 103.53$
$= 799.23 \approx 800$ Н.

Результат збігається.

Відповідь:
1. Кут нахилу площини, при якому вантаж рухається вниз зі сталою швидкістю без прикладання сили тяги, становить приблизно 8.53°.
2. Кут нахилу площини для рівномірного руху вантажу вгору під дією сили тяги 800 Н становить приблизно 45.32°.