Розв'язання нерівностей та систем нерівностей. Підготовка до ДПА

Доброго дня! Зараз я допоможу вам з розв'язанням завдань.

Завдання 1

Розв'яжемо нерівність \(18 < 13 - 2x\).

1. Віднімемо 13 з обох боків нерівності:
   \(18 - 13 < 13 - 2x - 13\)
   \(5 < -2x\)

2. Поділимо обидві частини на -2. Важливо пам'ятати, що при діленні на від'ємне число знак нерівності змінюється:
   \(\frac{5}{-2} > x\)
   \(-2.5 > x\)

3. Перепишемо нерівність:
   \(x < -2.5\)

Отже, розв'язком нерівності є проміжок \((-\infty; -2.5)\).

Відповідь: А) \((-\infty; -2.5)\)

Завдання 2

Нам потрібно знайти нерівність, яка рівносильна нерівності \(3x - 2 > 2(6 + 5x)\).

1. Розкриємо дужки в правій частині нерівності:
   \(3x - 2 > 12 + 10x\)

2. Перенесемо всі члени з \(x\) в одну сторону, а числа в іншу:
   \(3x - 10x > 12 + 2\)
   \(-7x > 14\)

3. Поділимо обидві частини на -7. Знову ж таки, знак нерівності змінюється:
   \(x < -2\)

Відповідь: б) \(x < -2\)

Завдання 3

Розв'яжемо нерівність \(\frac{2x-8}{3} - \frac{3x-5}{2} \geq 4\).

1. Помножимо обидві частини нерівності на 6 (спільний знаменник 3 і 2), щоб позбутися дробів:
   \(6 \cdot \frac{2x-8}{3} - 6 \cdot \frac{3x-5}{2} \geq 6 \cdot 4\)
   \(2(2x-8) - 3(3x-5) \geq 24\)

2. Розкриємо дужки:
   \(4x - 16 - 9x + 15 \geq 24\)

3. Згрупуємо подібні члени:
   \(-5x - 1 \geq 24\)

4. Перенесемо -1 в праву частину:
   \(-5x \geq 25\)

5. Поділимо обидві частини на -5 (змінюємо знак нерівності):
   \(x \leq -5\)

Отже, розв'язком нерівності є проміжок \((-\infty; -5]\).

Відповідь: А) \((-\infty; -5]\)

Звісно, я допоможу!

Завдання 4

Розв'яжемо систему нерівностей:
\(\begin{cases} 3x - 15 < 0 \\ 6x - 2 \geq 10 \end{cases}\)

1. Розв'яжемо першу нерівність:
   \(3x < 15\)
   \(x < 5\)

2. Розв'яжемо другу нерівність:
   \(6x \geq 12\)
   \(x \geq 2\)

3. Зобразимо обидва розв'язки на числовій прямій та знайдемо їх перетин:
   \(x < 5\) та \(x \geq 2\)

Отже, розв'язком системи є проміжок \([2; 5)\).

Відповідь: А) \((2;5]\)

Завдання 5

Розв'яжемо подвійну нерівність \(-6 \leq 2x + 3 < 5\).

1. Віднімемо 3 з усіх частин нерівності:
   \(-6 - 3 \leq 2x + 3 - 3 < 5 - 3\)
   \(-9 \leq 2x < 2\)

2. Поділимо всі частини на 2:
   \(-\frac{9}{2} \leq x < 1\)
   \(-4.5 \leq x < 1\)

Отже, розв'язком нерівності є проміжок \([-4.5; 1)\).

Відповідь: А) \([-4,5;1)\)

Завдання 6

Нам потрібно знайти найменше ціле число, яке задовольняє умову \(-6 < 3a \leq 0\).

1. Поділимо всі частини нерівності на 3:
   \(-2 < a \leq 0\)

2. Найменше ціле число, яке задовольняє цю умову, це -1.

Відповідь: В) -1

Ассистент: Звісно, продовжуємо розв'язувати завдання!

Завдання 7

Нам потрібно знайти, при яких значеннях \(y\) вираз \(\frac{2y+3}{4}\) належить проміжку \((-4; 3)\).

1. Запишемо умову у вигляді подвійної нерівності:
   \(-4 < \frac{2y+3}{4} < 3\)

2. Помножимо всі частини нерівності на 4:
   \(-16 < 2y + 3 < 12\)

3. Віднімемо 3 з усіх частин нерівності:
   \(-19 < 2y < 9\)

4. Поділимо всі частини на 2:
   \(-9.5 < y < 4.5\)

Отже, \(y\) належить проміжку \((-9.5; 4.5)\).

Відповідь: \(y \in (-9.5; 4.5)\)

Завдання 8

Розв'яжемо нерівність \(|2x+5| \leq 10\).

1. За означенням модуля, нерівність \(|a| \leq b\) еквівалентна \(-b \leq a \leq b\). Отже, маємо:
   \(-10 \leq 2x + 5 \leq 10\)

2. Віднімемо 5 з усіх частин нерівності:
   \(-15 \leq 2x \leq 5\)

3. Поділимо всі частини на 2:
   \(-7.5 \leq x \leq 2.5\)

Отже, розв'язком нерівності є проміжок \([-7.5; 2.5]\).

Відповідь: \([-7.5; 2.5]\)

[Пояснити докладніше]|Поясни розв'язання цієї нерівності з модулем максимально докладно, з усіма кроками та поясненнями
[Перевірити іншим способом]|Розв'яжи цю ж нерівність іншим способом, наприклад, розглянувши два випадки: \(2x+5 \geq 0\) і \(2x+5 < 0\)
[Показати теорію]|Поясни основні правила розв'язання нерівностей з модулем, наведи приклади

Завдання 9

Розв'яжемо нерівність \((x-3)(x+6) < 0\).

1. Знайдемо нулі функції \(f(x) = (x-3)(x+6)\):
   \(x-3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
   \(x+6 = 0 \Rightarrow x = -6\)

2. Використаємо метод інтервалів. Розставимо нулі на числовій прямій: -6 і 3.

3. Визначимо знаки функції на кожному з інтервалів:

   • \((-\infty; -6)\): нехай \(x = -7\), тоді \((-7-3)(-7+6) = (-10)(-1) = 10 > 0\)
   • \((-6; 3)\): нехай \(x = 0\), тоді \((0-3)(0+6) = (-3)(6) = -18 < 0\)
   • \((3; +\infty)\): нехай \(x = 4\), тоді \((4-3)(4+6) = (1)(10) = 10 > 0\)

4. Нам потрібні інтервали, де функція від'ємна, тобто \((-6; 3)\).

Відповідь: \((-6; 3)\)