Доброго дня! Зараз я допоможу вам з розв'язанням завдань.

Завдання 1

Розв'яжемо нерівність $18 < 13 - 2x$.

1. Віднімемо 13 з обох боків нерівності:
   $18 - 13 < 13 - 2x - 13$
   $5 < -2x$

2. Поділимо обидві частини на -2. Важливо пам'ятати, що при діленні на від'ємне число знак нерівності змінюється:
   $\frac{5}{-2} > x$
   $-2.5 > x$

3. Перепишемо нерівність:
   $x < -2.5$

Отже, розв'язком нерівності є проміжок $(-\infty; -2.5)$.

Відповідь: А) $(-\infty; -2.5)$

Завдання 2

Нам потрібно знайти нерівність, яка рівносильна нерівності $3x - 2 > 2(6 + 5x)$.

1. Розкриємо дужки в правій частині нерівності:
   $3x - 2 > 12 + 10x$

2. Перенесемо всі члени з $x$ в одну сторону, а числа в іншу:
   $3x - 10x > 12 + 2$
   $-7x > 14$

3. Поділимо обидві частини на -7. Знову ж таки, знак нерівності змінюється:
   $x < -2$

Відповідь: б) $x < -2$

Завдання 3

Розв'яжемо нерівність $\frac{2x-8}{3} - \frac{3x-5}{2} \geq 4$.

1. Помножимо обидві частини нерівності на 6 (спільний знаменник 3 і 2), щоб позбутися дробів:
   $6 \cdot \frac{2x-8}{3} - 6 \cdot \frac{3x-5}{2} \geq 6 \cdot 4$
   $2(2x-8) - 3(3x-5) \geq 24$

2. Розкриємо дужки:
   $4x - 16 - 9x + 15 \geq 24$

3. Згрупуємо подібні члени:
   $-5x - 1 \geq 24$

4. Перенесемо -1 в праву частину:
   $-5x \geq 25$

5. Поділимо обидві частини на -5 (змінюємо знак нерівності):
   $x \leq -5$

Отже, розв'язком нерівності є проміжок $(-\infty; -5]$.

Відповідь: А) $(-\infty; -5]$

Звісно, я допоможу!

Завдання 4

Розв'яжемо систему нерівностей:
$\begin{cases}
3x - 15 < 0 \
6x - 2 \geq 10
\end{cases}$

1. Розв'яжемо першу нерівність:
   $3x < 15$
   $x < 5$

2. Розв'яжемо другу нерівність:
   $6x \geq 12$
   $x \geq 2$

3. Зобразимо обидва розв'язки на числовій прямій та знайдемо їх перетин:
   $x < 5$ та $x \geq 2$

Отже, розв'язком системи є проміжок $[2; 5)$.

Відповідь: А) $(2;5]$

Завдання 5

Розв'яжемо подвійну нерівність $-6 \leq 2x + 3 < 5$.

1. Віднімемо 3 з усіх частин нерівності:
   $-6 - 3 \leq 2x + 3 - 3 < 5 - 3$
   $-9 \leq 2x < 2$

2. Поділимо всі частини на 2:
   $-\frac{9}{2} \leq x < 1$
   $-4.5 \leq x < 1$

Отже, розв'язком нерівності є проміжок $[-4.5; 1)$.

Відповідь: А) $[-4,5;1)$

Завдання 6

Нам потрібно знайти найменше ціле число, яке задовольняє умову $-6 < 3a \leq 0$.

1. Поділимо всі частини нерівності на 3:
   $-2 < a \leq 0$

2. Найменше ціле число, яке задовольняє цю умову, це -1.

Відповідь: В) -1

Ассистент: Звісно, продовжуємо розв'язувати завдання!

Завдання 7

Нам потрібно знайти, при яких значеннях $y$ вираз $\frac{2y+3}{4}$ належить проміжку $(-4; 3)$.

1. Запишемо умову у вигляді подвійної нерівності:
   $-4 < \frac{2y+3}{4} < 3$

2. Помножимо всі частини нерівності на 4:
   $-16 < 2y + 3 < 12$

3. Віднімемо 3 з усіх частин нерівності:
   $-19 < 2y < 9$

4. Поділимо всі частини на 2:
   $-9.5 < y < 4.5$

Отже, $y$ належить проміжку $(-9.5; 4.5)$.

Відповідь: $y \in (-9.5; 4.5)$

Завдання 8

Розв'яжемо нерівність $|2x+5| \leq 10$.

1. За означенням модуля, нерівність $|a| \leq b$ еквівалентна $-b \leq a \leq b$. Отже, маємо:
   $-10 \leq 2x + 5 \leq 10$

2. Віднімемо 5 з усіх частин нерівності:
   $-15 \leq 2x \leq 5$

3. Поділимо всі частини на 2:
   $-7.5 \leq x \leq 2.5$

Отже, розв'язком нерівності є проміжок $[-7.5; 2.5]$.

Відповідь: $[-7.5; 2.5]$

[Пояснити докладніше]|Поясни розв'язання цієї нерівності з модулем максимально докладно, з усіма кроками та поясненнями
[Перевірити іншим способом]|Розв'яжи цю ж нерівність іншим способом, наприклад, розглянувши два випадки: $2x+5 \geq 0$ і $2x+5 < 0$
[Показати теорію]|Поясни основні правила розв'язання нерівностей з модулем, наведи приклади

Завдання 9

Розв'яжемо нерівність $(x-3)(x+6) < 0$.

1. Знайдемо нулі функції $f(x) = (x-3)(x+6)$:
   $x-3 = 0 \Rightarrow x = 3$
   $x+6 = 0 \Rightarrow x = -6$

2. Використаємо метод інтервалів. Розставимо нулі на числовій прямій: -6 і 3.

3. Визначимо знаки функції на кожному з інтервалів:

   • $(-\infty; -6)$: нехай $x = -7$, тоді $(-7-3)(-7+6) = (-10)(-1) = 10 > 0$
   • $(-6; 3)$: нехай $x = 0$, тоді $(0-3)(0+6) = (-3)(6) = -18 < 0$
   • $(3; +\infty)$: нехай $x = 4$, тоді $(4-3)(4+6) = (1)(10) = 10 > 0$

4. Нам потрібні інтервали, де функція від'ємна, тобто $(-6; 3)$.

Відповідь: $(-6; 3)$