Діагностична робота з математики: Геометрія, Алгебра, Аналіз

Діагностична робота №10

Ця діагностична робота містить два варіанти завдань, кожен з яких складається з 6 пунктів. Завдання охоплюють теми геометрії (побудова прямих, знаходження координат точок, робота з координатними площинами), алгебри (розв'язування рівнянь) та математичного аналізу (складання таблиць, побудова графіків залежностей, обчислення виразів).

Варіант 1

1. Побудова прямих та перпендикулярів:

• Побудувати пряму CD.
• Обрати точку A поза прямою CD.
• За допомогою косинця та лінійки побудувати пряму AB, яка перпендикулярна до CD.
• Побудувати пряму AK, яка паралельна CD.

2. Координати точок:

• Визначити координати точок, зображених на координатній площині (графік додається).

3. Позначення точок на координатній площині:

• Позначити на координатній площині точки з такими координатами: C(-2; 4), D(0; 3), K(4; 3), L(-3; 1).

4. Розв'язування рівняння:

• Розв'язати рівняння:
  $$ \frac{23 - 4,6x}{6} = \frac{3,8x - 19}{2} $$

5. Задача про рух:

• Пішохід проходить однакову відстань 18 км з різними швидкостями.
  1. Скласти таблицю залежності часу \(t\) (у годинах) від швидкості руху \(v\) (у км/год).
  2. Побудувати графік залежності часу \(t\) від швидкості \(v\).

6. Обчислення значення виразу:

• Обчислити значення виразу:
  $$ \left(13,75 - \frac{19}{20} + 5,4 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) : 2,8 + 1\frac{17}{21} $$

Варіант 2

1. Побудова прямих та перпендикулярів:

• Обрати точку T.
• Провести пряму CD, яка не проходить через точку T.
• За допомогою косинця та лінійки побудувати пряму TK, яка перпендикулярна до CD.
• Побудувати пряму TM, яка паралельна CD.

2. Координати точок:

• Визначити координати точок, зображених на координатній площині (графік додається).

3. Позначення точок на координатній площині:

• Позначити на координатній площині точки з такими координатами: M(4; 3), L(-2; 0), C(-3;-1), D(2; -5).

4. Розв'язування рівняння:

• Розв'язати рівняння:
  $$ \frac{12 - 2,4x}{8} = \frac{3,8x - 19}{4} $$

5. Задача про продуктивність праці:

• Оператор комп'ютерного набору повинен набрати рукопис обсягом 24 сторінки.
  1. Скласти таблицю залежності часу \(t\) (у годинах) від продуктивності праці \(N\) (у с./год).
  2. Побудувати графік залежності часу \(t\) від продуктивності праці \(N\).

6. Обчислення значення виразу:

• Обчислити значення виразу:
  $$ \left(9,75 - 2\frac{19}{20} + 1 \cdot (-12,6)\right) : 2,8 + 1\frac{16}{21} $$

Я надам розв'язання для Варіанту 1, пункт 6, як приклад.

Варіант 1, Завдання 6: Обчислення значення виразу

Обчислити значення виразу:
$$ \left(13,75 - \frac{19}{20} + 5,4 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) : 2,8 + 1\frac{17}{21} $$

Крок 1: Перетворення десяткових дробів у звичайні

• \(13,75 = 13 \frac{75}{100} = 13 \frac{3}{4}\)
• \(5,4 = 5 \frac{4}{10} = 5 \frac{2}{5}\)
• \(2,8 = 2 \frac{8}{10} = 2 \frac{4}{5}\)

Крок 2: Перетворення мішаних чисел у неправильні дроби

• \(13 \frac{3}{4} = \frac{13 \times 4 + 3}{4} = \frac{52 + 3}{4} = \frac{55}{4}\)
• \(5 \frac{2}{5} = \frac{5 \times 5 + 2}{5} = \frac{25 + 2}{5} = \frac{27}{5}\)
• \(2 \frac{4}{5} = \frac{2 \times 5 + 4}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5}\)
• \(1 \frac{17}{21} = \frac{1 \times 21 + 17}{21} = \frac{21 + 17}{21} = \frac{38}{21}\)
• \(\frac{19}{20}\) залишаємо без змін.
• \(-\frac{1}{3}\) залишаємо без змін.

Крок 3: Обчислення виразу в дужках

Спочатку знайдемо спільний знаменник для дробів \(\frac{55}{4}, \frac{19}{20}, \frac{27}{5}, \frac{1}{3}\). Найменший спільний знаменник для 4, 20, 5, 3 буде 60.

• \(\frac{55}{4} = \frac{55 \times 15}{4 \times 15} = \frac{825}{60}\)
• \(\frac{19}{20} = \frac{19 \times 3}{20 \times 3} = \frac{57}{60}\)
• \(\frac{27}{5} = \frac{27 \times 12}{5 \times 12} = \frac{324}{60}\)
• \(-\frac{1}{3} = -\frac{1 \times 20}{3 \times 20} = -\frac{20}{60}\)

Тепер підставимо ці значення у вираз в дужках:
$$ \left(\frac{825}{60} - \frac{57}{60} + \frac{324}{60} - \left(-\frac{20}{60}\right)\right) = \left(\frac{825}{60} - \frac{57}{60} + \frac{324}{60} + \frac{20}{60}\right) $$
$$ = \frac{825 - 57 + 324 + 20}{60} = \frac{768 + 324 + 20}{60} = \frac{1092 + 20}{60} = \frac{1112}{60} $$

Спростимо дріб \(\frac{1112}{60}\), поділивши чисельник і знаменник на 4:
$$ \frac{1112 \div 4}{60 \div 4} = \frac{278}{15} $$

Крок 4: Виконання ділення

Тепер вираз виглядає так:
$$ \frac{278}{15} : \frac{14}{5} + \frac{38}{21} $$
Ділення на дріб замінюємо множенням на обернений дріб:
$$ \frac{278}{15} \times \frac{5}{14} + \frac{38}{21} $$
Скоротимо дроби:
$$ \frac{278}{3 \times 5} \times \frac{5}{14} = \frac{278}{3 \times 14} $$
Зауважимо, що \(278 = 2 \times 139\) і \(14 = 2 \times 7\).
$$ \frac{2 \times 139}{3 \times (2 \times 7)} = \frac{139}{3 \times 7} = \frac{139}{21} $$

Крок 5: Виконання додавання

Тепер вираз виглядає так:
$$ \frac{139}{21} + \frac{38}{21} $$
Оскільки знаменники однакові, просто додаємо чисельники:
$$ \frac{139 + 38}{21} = \frac{177}{21} $$

Крок 6: Спрощення результату

Спробуємо спростити дріб \(\frac{177}{21}\). Обидва числа діляться на 3 (сума цифр 1+7+7=15, 2+1=3).
$$ \frac{177 \div 3}{21 \div 3} = \frac{59}{7} $$
Можна залишити як неправильний дріб або перетворити на мішане число:
$$ \frac{59}{7} = 8 \frac{3}{7} $$

Відповідь: Значення виразу дорівнює \(\frac{59}{7}\) або \(8 \frac{3}{7}\).

Звісно, розв'яжемо завдання Варіант 1, Завдання 5.

Варіант 1, Завдання 5: Задача про рух

Умова: Пішохід проходить однакову відстань 18 км з різними швидкостями.

1) Скласти таблицю залежності часу \(t\) (у годинах) від швидкості руху \(v\) (у км/год).

Формула, що пов'язує відстань (\(S\)), швидкість (\(v\)) і час (\(t\)): \(S = v \times t\).
З цієї формули випливає, що час можна знайти як: \(t = \frac{S}{v}\).

У нашій задачі відстань \(S = 18\) км. Тому формула для часу буде: \(t = \frac{18}{v}\).

Тепер складемо таблицю, використовуючи запропоновані значення швидкості:

2) Побудувати графік залежності часу \(t\) від швидкості \(v\).

Для побудови графіка ми будемо використовувати отримані пари значень \((v, t)\) як координати точок на площині. Вісь абсцис (горизонтальна вісь) буде відповідати швидкості \(v\), а вісь ординат (вертикальна вісь) - часу \(t\).

Точки для графіка:
* (3; 6)
* (4; 4,5)
* (5; 3,6)
* (6; 3)

Побудова графіка:

1. Намалюйте осі координат: Намалюйте горизонтальну вісь (\(v\)) та вертикальну вісь (\(t\)).
2. Промасштабуйте осі:
   • На осі \(v\) відкладіть значення від 3 до 6. Можна зробити крок 1 (3, 4, 5, 6).
   • На осі \(t\) відкладіть значення від 3 до 6. Можна зробити крок 1 (3, 4, 5, 6).
3. Нанесіть точки: Відзначте на графіку точки, координати яких ми отримали: (3, 6), (4, 4.5), (5, 3.6), (6, 3).
4. З'єднайте точки: Оскільки швидкість може змінюватися плавно, ці точки можна з'єднати відрізками. Це буде частина гіперболи, оскільки залежність \(t = \frac{18}{v}\) є оберненою пропорційністю.

Інтерпретація графіка: Графік показує, що чим більша швидкість пішохода, тим менше часу йому потрібно, щоб пройти 18 км.

Я вже надав детальне розв'язання завдання 6 з першого варіанту у попередній відповіді.

Якщо ви бажаєте, щоб я пояснив якийсь конкретний крок ще раз, або якщо у вас виникли запитання стосовно розв'язання, будь ласка, запитайте!

Звісно! Ось ще раз детальне розв'язання завдання 6 з Варіанту 1.

Варіант 1, Завдання 6: Обчислення значення виразу

Обчислити значення виразу:
$$ \left(13,75 - \frac{19}{20} + 5,4 - \left(-\frac{1}{3}\right)\right) : 2,8 + 1\frac{17}{21} $$

Крок 1: Перетворення десяткових дробів у звичайні

• \(13,75 = 13 \frac{75}{100} = 13 \frac{3}{4}\)
• \(5,4 = 5 \frac{4}{10} = 5 \frac{2}{5}\)
• \(2,8 = 2 \frac{8}{10} = 2 \frac{4}{5}\)

Крок 2: Перетворення мішаних чисел у неправильні дроби

• \(13 \frac{3}{4} = \frac{13 \times 4 + 3}{4} = \frac{52 + 3}{4} = \frac{55}{4}\)
• \(5 \frac{2}{5} = \frac{5 \times 5 + 2}{5} = \frac{25 + 2}{5} = \frac{27}{5}\)
• \(2 \frac{4}{5} = \frac{2 \times 5 + 4}{5} = \frac{10 + 4}{5} = \frac{14}{5}\)
• \(1 \frac{17}{21} = \frac{1 \times 21 + 17}{21} = \frac{21 + 17}{21} = \frac{38}{21}\)

Крок 3: Обчислення виразу в дужках

Для зручності перетворимо всі дроби до спільного знаменника. Найменший спільний знаменник для \(4, 20, 5, 3\) буде \(60\).

• \(\frac{55}{4} = \frac{55 \times 15}{4 \times 15} = \frac{825}{60}\)
• \(\frac{19}{20} = \frac{19 \times 3}{20 \times 3} = \frac{57}{60}\)
• \(\frac{27}{5} = \frac{27 \times 12}{5 \times 12} = \frac{324}{60}\)
• \(-\frac{1}{3} = -\frac{1 \times 20}{3 \times 20} = -\frac{20}{60}\)

Тепер обчислимо вираз у дужках:
$$ \left(\frac{825}{60} - \frac{57}{60} + \frac{324}{60} - \left(-\frac{20}{60}\right)\right) = \left(\frac{825}{60} - \frac{57}{60} + \frac{324}{60} + \frac{20}{60}\right) $$
$$ = \frac{825 - 57 + 324 + 20}{60} = \frac{1112}{60} $$

Спростимо дріб \(\frac{1112}{60}\), поділивши чисельник і знаменник на 4:
$$ \frac{1112 \div 4}{60 \div 4} = \frac{278}{15} $$

Крок 4: Виконання ділення

Замінимо ділення на множення оберненого дробу:
$$ \frac{278}{15} : \frac{14}{5} = \frac{278}{15} \times \frac{5}{14} $$
Скоротимо:
$$ \frac{278}{3 \times 5} \times \frac{5}{14} = \frac{278}{3 \times 14} $$
Скоротимо на 2:
$$ \frac{139}{3 \times 7} = \frac{139}{21} $$

Крок 5: Виконання додавання

Тепер додамо результат ділення до останнього дробу:
$$ \frac{139}{21} + \frac{38}{21} $$
Оскільки знаменники однакові, додаємо чисельники:
$$ \frac{139 + 38}{21} = \frac{177}{21} $$

Крок 6: Спрощення результату

Спростимо дріб \(\frac{177}{21}\), поділивши чисельник і знаменник на 3:
$$ \frac{177 \div 3}{21 \div 3} = \frac{59}{7} $$
Перетворимо на мішане число:
$$ \frac{59}{7} = 8 \frac{3}{7} $$

Відповідь: \(\frac{59}{7}\) або \(8 \frac{3}{7}\).