Задание 1

Серед наведених тверджень оберіть невірне:

• А Для будь-яких точок А і В $|AB| = |BA|$
• Б Для будь-яких точок А і В $\vec{AB} = \vec{BA}$
• В Ненульові вектори $\vec{AB}$ і $\vec{BA}$ протилежно направлені.
• Г Якщо точки А і В співпадають, то $|AB| = \vec{0}$.

Пояснення:

• Твердження А: Довжина вектора (модуль) завжди дорівнює довжині протилежного вектора. Це твердження вірне.
• Твердження В: Протилежно направлені вектори мають протилежні напрямки. Це твердження вірне.
• Твердження Г: Якщо точки співпадають, то вектор є нульовим, а його довжина дорівнює 0. Це твердження вірне.
• Твердження Б: Вектор $\vec{AB}$ має напрямок від точки А до точки В, а вектор $\vec{BA}$ - від точки В до точки А. Ці вектори є протилежно направленими, тому $\vec{AB} = -\vec{BA}$. Вони рівні лише тоді, коли є нульовими (тобто точки А і В співпадають). Отже, це твердження невірне для будь-яких точок А і В.

Відповідь: Б

Задание 2

Знайдіть довжину вектора $-2\vec{a}$, якщо $|\vec{a}| = 4$.

• А $-8$
• Б $8$
• В $-2$
• Г $2$

Пояснення:

Довжина вектора, помноженого на число, дорівнює добутку модуля цього числа на довжину вектора.

Формула: $|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

У нашому випадку $k = -2$ та $|\vec{a}| = 4$.

1. Підставляємо значення у формулу: $|-2\vec{a}| = |-2| \cdot |\vec{a}|$.
2. Обчислюємо модуль числа: $|-2| = 2$.
3. Підставляємо довжину вектора: $|\vec{a}| = 4$.
4. Обчислюємо результат: $|-2\vec{a}| = 2 \cdot 4 = 8$.

Відповідь: Б

Задание 3

На рисунку зображено паралелограм ABCD. Вкажіть вектор, рівний вектору $\vec{CB}$.

• А $\vec{AD}$
• Б $\vec{DA}$
• В $\vec{BC}$
• Г $\vec{CD}$

Пояснення:

У паралелограмі протилежні сторони паралельні та рівні за довжиною.
Вектор $\vec{CB}$ має напрямок від точки C до точки B.
Вектор, рівний $\vec{CB}$, повинен мати такий самий напрямок та довжину.

Розглянемо вектори, вказані в варіантах відповідей:
* $\vec{AD}$: Цей вектор має напрямок від A до D. У паралелограмі $\vec{AD}$ паралельний $\vec{BC}$ і має той самий напрямок. Отже, $\vec{AD} = \vec{BC}$.
* $\vec{DA}$: Цей вектор протилежно напрямлений до $\vec{AD}$, а отже, і до $\vec{BC}$.
* $\vec{BC}$: Цей вектор має напрямок від B до C. Вектор $\vec{CB}$ має напрямок від C до B, тобто протилежний до $\vec{BC}$.
* $\vec{CD}$: Цей вектор має напрямок від C до D.

Зверніть увагу, що $\vec{CB} = -\vec{BC}$.
У паралелограмі ABCD, $\vec{AD}$ паралельний $\vec{BC}$ і $\vec{AD} = \vec{BC}$.
Також, $\vec{AB}$ паралельний $\vec{DC}$ і $\vec{AB} = \vec{DC}$.

Вектор, рівний $\vec{CB}$, повинен мати напрямок від C до B.
У паралелограмі сторони AB і CD паралельні, а сторони BC і AD паралельні.
Тому, вектор $\vec{CB}$ протилежний до $\vec{BC}$ і паралельний до $\vec{DA}$.

Виходячи з властивостей паралелограма:
$\vec{AD} = \vec{BC}$
$\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{AD} = \vec{DA}$

Отже, вектор $\vec{DA}$ рівний вектору $\vec{CB}$.

Відповідь: Б

Задание 4

Знайдіть скалярний добуток векторів $\vec{a}(-1; 4)$ і $\vec{b}(-5; -1)$.

• А $-3$
• Б $-12$
• В $-20$
• Г $1$

Пояснення:

Скалярний добуток двох векторів, заданих своїми координатами, обчислюється за формулою:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$

Де $x_1, y_1$ – координати вектора $\vec{a}$, а $x_2, y_2$ – координати вектора $\vec{b}$.

У нашому випадку:
$\vec{a} = (-1; 4)$, отже $x_1 = -1$, $y_1 = 4$.
$\vec{b} = (-5; -1)$, отже $x_2 = -5$, $y_2 = -1$.

Підставляємо значення у формулу:
$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot (-5) + 4 \cdot (-1)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 + (-4)$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 - 4$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1$

Відповідь: Г

Задание 5

Закінчіть речення так, щоб вийшло правильне твердження: «Два ненульові колінеарні вектори не можуть бути зображені двома сторонами...»

• А прямокутника
• Б трапеції
• В трикутника
• Г ромба

Пояснення:

• Колінеарні вектори – це вектори, які лежать на паралельних прямих або на одній прямій.
• Дві сторони многокутника можуть бути колінеарними, якщо вони паралельні.

Розглянемо варіанти:
* А) Прямокутник: У прямокутнику протилежні сторони паралельні. Тому дві протилежні сторони можуть бути зображені колінеарними векторами.
* Б) Трапеція: У трапеції одна пара протилежних сторін паралельна (основи). Тому дві основи можуть бути зображені колінеарними векторами.
* В) Трикутник: Трикутник має три сторони. Жодна пара сторін трикутника не є паралельною (якщо це не вироджений випадок). Тому дві сторони трикутника не можуть бути зображені колінеарними векторами.
* Г) Ромб: Ромб – це окремий випадок паралелограма, тому протилежні сторони паралельні і можуть бути зображені колінеарними векторами.

Отже, два ненульові колінеарні вектори не можуть бути зображені двома сторонами трикутника.

Відповідь: В

Задание 6

На рисунку зображено паралелограм ABCD. Знайдіть вектор, що дорівнює сумі $\vec{AB} + \vec{AD}$.

• А $\vec{AC}$
• Б $\vec{BD}$
• В $\vec{DB}$
• Г $\vec{CA}$

Пояснення:

Згідно з правилом додавання векторів за правилом паралелограма, сума двох векторів, що виходять з однієї точки, дорівнює вектору діагоналі паралелограма, що виходить з тієї ж точки.

У паралелограмі ABCD, вектори $\vec{AB}$ та $\vec{AD}$ виходять з вершини A.
Тому, сума цих векторів $\vec{AB} + \vec{AD}$ дорівнює вектору діагоналі, що виходить з вершини A, тобто вектору $\vec{AC}$.

Відповідь: А