Завдання з векторів: властивості, довжина, рівність векторів

Задание 1

Серед наведених тверджень оберіть невірне:

• А Для будь-яких точок А і В \(|AB| = |BA|\)
• Б Для будь-яких точок А і В \(\vec{AB} = \vec{BA}\)
• В Ненульові вектори \(\vec{AB}\) і \(\vec{BA}\) протилежно направлені.
• Г Якщо точки А і В співпадають, то \(|AB| = \vec{0}\).

Пояснення:

• Твердження А: Довжина вектора (модуль) завжди дорівнює довжині протилежного вектора. Це твердження вірне.
• Твердження В: Протилежно направлені вектори мають протилежні напрямки. Це твердження вірне.
• Твердження Г: Якщо точки співпадають, то вектор є нульовим, а його довжина дорівнює 0. Це твердження вірне.
• Твердження Б: Вектор \(\vec{AB}\) має напрямок від точки А до точки В, а вектор \(\vec{BA}\) - від точки В до точки А. Ці вектори є протилежно направленими, тому \(\vec{AB} = -\vec{BA}\). Вони рівні лише тоді, коли є нульовими (тобто точки А і В співпадають). Отже, це твердження невірне для будь-яких точок А і В.

Відповідь: Б

Задание 2

Знайдіть довжину вектора \(-2\vec{a}\), якщо \(|\vec{a}| = 4\).

• А \(-8\)
• Б \(8\)
• В \(-2\)
• Г \(2\)

Пояснення:

Довжина вектора, помноженого на число, дорівнює добутку модуля цього числа на довжину вектора.

Формула: \(|k \cdot \vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}|\).

У нашому випадку \(k = -2\) та \(|\vec{a}| = 4\).

1. Підставляємо значення у формулу: \(|-2\vec{a}| = |-2| \cdot |\vec{a}|\).
2. Обчислюємо модуль числа: \(|-2| = 2\).
3. Підставляємо довжину вектора: \(|\vec{a}| = 4\).
4. Обчислюємо результат: \(|-2\vec{a}| = 2 \cdot 4 = 8\).

Відповідь: Б

Задание 3

На рисунку зображено паралелограм ABCD. Вкажіть вектор, рівний вектору \(\vec{CB}\).

• А \(\vec{AD}\)
• Б \(\vec{DA}\)
• В \(\vec{BC}\)
• Г \(\vec{CD}\)

Пояснення:

У паралелограмі протилежні сторони паралельні та рівні за довжиною.
Вектор \(\vec{CB}\) має напрямок від точки C до точки B.
Вектор, рівний \(\vec{CB}\), повинен мати такий самий напрямок та довжину.

Розглянемо вектори, вказані в варіантах відповідей:
* \(\vec{AD}\): Цей вектор має напрямок від A до D. У паралелограмі \(\vec{AD}\) паралельний \(\vec{BC}\) і має той самий напрямок. Отже, \(\vec{AD} = \vec{BC}\).
* \(\vec{DA}\): Цей вектор протилежно напрямлений до \(\vec{AD}\), а отже, і до \(\vec{BC}\).
* \(\vec{BC}\): Цей вектор має напрямок від B до C. Вектор \(\vec{CB}\) має напрямок від C до B, тобто протилежний до \(\vec{BC}\).
* \(\vec{CD}\): Цей вектор має напрямок від C до D.

Зверніть увагу, що \(\vec{CB} = -\vec{BC}\).
У паралелограмі ABCD, \(\vec{AD}\) паралельний \(\vec{BC}\) і \(\vec{AD} = \vec{BC}\).
Також, \(\vec{AB}\) паралельний \(\vec{DC}\) і \(\vec{AB} = \vec{DC}\).

Вектор, рівний \(\vec{CB}\), повинен мати напрямок від C до B.
У паралелограмі сторони AB і CD паралельні, а сторони BC і AD паралельні.
Тому, вектор \(\vec{CB}\) протилежний до \(\vec{BC}\) і паралельний до \(\vec{DA}\).

Виходячи з властивостей паралелограма:
\(\vec{AD} = \vec{BC}\)
\(\vec{CB} = -\vec{BC} = -\vec{AD} = \vec{DA}\)

Отже, вектор \(\vec{DA}\) рівний вектору \(\vec{CB}\).

Відповідь: Б

Задание 4

Знайдіть скалярний добуток векторів \(\vec{a}(-1; 4)\) і \(\vec{b}(-5; -1)\).

• А \(-3\)
• Б \(-12\)
• В \(-20\)
• Г \(1\)

Пояснення:

Скалярний добуток двох векторів, заданих своїми координатами, обчислюється за формулою:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2\)

Де \(x_1, y_1\) – координати вектора \(\vec{a}\), а \(x_2, y_2\) – координати вектора \(\vec{b}\).

У нашому випадку:
\(\vec{a} = (-1; 4)\), отже \(x_1 = -1\), \(y_1 = 4\).
\(\vec{b} = (-5; -1)\), отже \(x_2 = -5\), \(y_2 = -1\).

Підставляємо значення у формулу:
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot (-5) + 4 \cdot (-1)\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 + (-4)\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 5 - 4\)
\(\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\)

Відповідь: Г

Задание 5

Закінчіть речення так, щоб вийшло правильне твердження: «Два ненульові колінеарні вектори не можуть бути зображені двома сторонами...»

• А прямокутника
• Б трапеції
• В трикутника
• Г ромба

Пояснення:

• Колінеарні вектори – це вектори, які лежать на паралельних прямих або на одній прямій.
• Дві сторони многокутника можуть бути колінеарними, якщо вони паралельні.

Розглянемо варіанти:
* А) Прямокутник: У прямокутнику протилежні сторони паралельні. Тому дві протилежні сторони можуть бути зображені колінеарними векторами.
* Б) Трапеція: У трапеції одна пара протилежних сторін паралельна (основи). Тому дві основи можуть бути зображені колінеарними векторами.
* В) Трикутник: Трикутник має три сторони. Жодна пара сторін трикутника не є паралельною (якщо це не вироджений випадок). Тому дві сторони трикутника не можуть бути зображені колінеарними векторами.
* Г) Ромб: Ромб – це окремий випадок паралелограма, тому протилежні сторони паралельні і можуть бути зображені колінеарними векторами.

Отже, два ненульові колінеарні вектори не можуть бути зображені двома сторонами трикутника.

Відповідь: В

Задание 6

На рисунку зображено паралелограм ABCD. Знайдіть вектор, що дорівнює сумі \(\vec{AB} + \vec{AD}\).

• А \(\vec{AC}\)
• Б \(\vec{BD}\)
• В \(\vec{DB}\)
• Г \(\vec{CA}\)

Пояснення:

Згідно з правилом додавання векторів за правилом паралелограма, сума двох векторів, що виходять з однієї точки, дорівнює вектору діагоналі паралелограма, що виходить з тієї ж точки.

У паралелограмі ABCD, вектори \(\vec{AB}\) та \(\vec{AD}\) виходять з вершини A.
Тому, сума цих векторів \(\vec{AB} + \vec{AD}\) дорівнює вектору діагоналі, що виходить з вершини A, тобто вектору \(\vec{AC}\).

Відповідь: А