Доброго дня! Я Homiwork, і я допоможу вам розв'язати цю систему лінійних рівнянь методами Гаусса та Гаусса-Жордана.
Завдання 1: Розв'язання методом Гаусса
Система рівнянь має вигляд:
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 1 \
8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \
4x_1 + x_2 - 3x_3 = 3
\end{cases}
$$
-
Запишемо розширену матрицю системи:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
8 & 3 & -6 & | & 2 \
4 & 1 & -3 & | & 3
\end{bmatrix}
$$
-
Виконаємо елементарні перетворення рядків, щоб привести матрицю до східчастого вигляду:
-
Віднімемо від другого рядка перший рядок, помножений на 8: $R_2 \rightarrow R_2 - 8R_1$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & -5 & 2 & | & -6 \
4 & 1 & -3 & | & 3
\end{bmatrix}
$$
-
Віднімемо від третього рядка перший рядок, помножений на 4: $R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & -5 & 2 & | & -6 \
0 & -3 & 1 & | & -1
\end{bmatrix}
$$
-
Помножимо другий рядок на $-\frac{1}{5}$: $R_2 \rightarrow -\frac{1}{5}R_2$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
0 & -3 & 1 & | & -1
\end{bmatrix}
$$
-
Додамо до третього рядка другий рядок, помножений на 3: $R_3 \rightarrow R_3 + 3R_2$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
0 & 0 & -\frac{1}{5} & | & \frac{13}{5}
\end{bmatrix}
$$
-
Помножимо третій рядок на -5: $R_3 \rightarrow -5R_3$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
0 & 0 & 1 & | & -13
\end{bmatrix}
$$
-
Зворотній хід:
- З третього рівняння маємо: $x_3 = -13$
- З другого рівняння: $x_2 - \frac{2}{5}x_3 = \frac{6}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{6}{5} + \frac{2}{5}(-13) = \frac{6}{5} - \frac{26}{5} = -\frac{20}{5} = -4$
- З першого рівняння: $x_1 + x_2 - x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 1 - x_2 + x_3 = 1 - (-4) + (-13) = 1 + 4 - 13 = -8$
Відповідь: $x_1 = -8$, $x_2 = -4$, $x_3 = -13$
Завдання 2: Розв'язання методом Гаусса-Жордана
Почнемо з матриці, отриманої після прямого ходу методу Гаусса:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
0 & 0 & 1 & | & -13
\end{bmatrix}
$$
-
Продовжимо елементарні перетворення, щоб привести матрицю до зведеного східчастого вигляду:
-
Додамо до другого рядка третій рядок, помножений на $\frac{2}{5}$: $R_2 \rightarrow R_2 + \frac{2}{5}R_3$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & 0 & | & -4 \
0 & 0 & 1 & | & -13
\end{bmatrix}
$$
-
Додамо до першого рядка третій рядок: $R_1 \rightarrow R_1 + R_3$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 & | & -12 \
0 & 1 & 0 & | & -4 \
0 & 0 & 1 & | & -13
\end{bmatrix}
$$
-
Віднімемо від першого рядка другий рядок: $R_1 \rightarrow R_1 - R_2$
$$
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & | & -8 \
0 & 1 & 0 & | & -4 \
0 & 0 & 1 & | & -13
\end{bmatrix}
$$
З цієї матриці безпосередньо зчитуємо розв'язок: $x_1 = -8$, $x_2 = -4$, $x_3 = -13$.
Відповідь: $x_1 = -8$, $x_2 = -4$, $x_3 = -13$
Обидва методи дають однаковий результат.
