Розв'язання системи лінійних рівнянь методами Гаусса та Гаусса-Жордана

Доброго дня! Я Homiwork, і я допоможу вам розв'язати цю систему лінійних рівнянь методами Гаусса та Гаусса-Жордана.

Завдання 1: Розв'язання методом Гаусса

Система рівнянь має вигляд:
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 1 \
8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \
4x_1 + x_2 - 3x_3 = 3
\end{cases}
$$

1. Запишемо розширену матрицю системи:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 1 & -1 & | & 1 \
   8 & 3 & -6 & | & 2 \
   4 & 1 & -3 & | & 3
   \end{bmatrix}
   $$

2. Виконаємо елементарні перетворення рядків, щоб привести матрицю до східчастого вигляду:

   • Віднімемо від другого рядка перший рядок, помножений на 8: \(R_2 \rightarrow R_2 - 8R_1\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & -5 & 2 & | & -6 \
     4 & 1 & -3 & | & 3
     \end{bmatrix}
     $$

   • Віднімемо від третього рядка перший рядок, помножений на 4: \(R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & -5 & 2 & | & -6 \
     0 & -3 & 1 & | & -1
     \end{bmatrix}
     $$

   • Помножимо другий рядок на \(-\frac{1}{5}\): \(R_2 \rightarrow -\frac{1}{5}R_2\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
     0 & -3 & 1 & | & -1
     \end{bmatrix}
     $$

   • Додамо до третього рядка другий рядок, помножений на 3: \(R_3 \rightarrow R_3 + 3R_2\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
     0 & 0 & -\frac{1}{5} & | & \frac{13}{5}
     \end{bmatrix}
     $$

   • Помножимо третій рядок на -5: \(R_3 \rightarrow -5R_3\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
     0 & 0 & 1 & | & -13
     \end{bmatrix}
     $$

3. Зворотній хід:

   • З третього рівняння маємо: \(x_3 = -13\)
   • З другого рівняння: \(x_2 - \frac{2}{5}x_3 = \frac{6}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{6}{5} + \frac{2}{5}(-13) = \frac{6}{5} - \frac{26}{5} = -\frac{20}{5} = -4\)
   • З першого рівняння: \(x_1 + x_2 - x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 1 - x_2 + x_3 = 1 - (-4) + (-13) = 1 + 4 - 13 = -8\)

Відповідь: \(x_1 = -8\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = -13\)

Завдання 2: Розв'язання методом Гаусса-Жордана

Почнемо з матриці, отриманої після прямого ходу методу Гаусса:
$$
\begin{bmatrix}
1 & 1 & -1 & | & 1 \
0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
0 & 0 & 1 & | & -13
\end{bmatrix}
$$

1. Продовжимо елементарні перетворення, щоб привести матрицю до зведеного східчастого вигляду:

   • Додамо до другого рядка третій рядок, помножений на \(\frac{2}{5}\): \(R_2 \rightarrow R_2 + \frac{2}{5}R_3\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & 1 & 0 & | & -4 \
     0 & 0 & 1 & | & -13
     \end{bmatrix}
     $$

   • Додамо до першого рядка третій рядок: \(R_1 \rightarrow R_1 + R_3\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & 0 & | & -12 \
     0 & 1 & 0 & | & -4 \
     0 & 0 & 1 & | & -13
     \end{bmatrix}
     $$

   • Віднімемо від першого рядка другий рядок: \(R_1 \rightarrow R_1 - R_2\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 0 & 0 & | & -8 \
     0 & 1 & 0 & | & -4 \
     0 & 0 & 1 & | & -13
     \end{bmatrix}
     $$

З цієї матриці безпосередньо зчитуємо розв'язок: \(x_1 = -8\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = -13\).

Відповідь: \(x_1 = -8\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = -13\)

Обидва методи дають однаковий результат.

Ассистент: Ось приклад запису розв'язання системи рівнянь методом Гаусса, як це міг би зробити студент.

Завдання 3: Приклад запису розв'язання студентом

Система рівнянь:
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 - x_3 = 1 \
8x_1 + 3x_2 - 6x_3 = 2 \
4x_1 + x_2 - 3x_3 = 3
\end{cases}
$$

1. Запишемо розширену матрицю системи:
   $$
   \begin{bmatrix}
   1 & 1 & -1 & | & 1 \
   8 & 3 & -6 & | & 2 \
   4 & 1 & -3 & | & 3
   \end{bmatrix}
   $$

2. Виконаємо елементарні перетворення рядків:

   • \(R_2 \rightarrow R_2 - 8R_1\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & -5 & 2 & | & -6 \
     4 & 1 & -3 & | & 3
     \end{bmatrix}
     $$

   • \(R_3 \rightarrow R_3 - 4R_1\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & -5 & 2 & | & -6 \
     0 & -3 & 1 & | & -1
     \end{bmatrix}
     $$

   • \(R_2 \rightarrow -\frac{1}{5}R_2\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
     0 & -3 & 1 & | & -1
     \end{bmatrix}
     $$

   • \(R_3 \rightarrow R_3 + 3R_2\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
     0 & 0 & -\frac{1}{5} & | & \frac{13}{5}
     \end{bmatrix}
     $$

   • \(R_3 \rightarrow -5R_3\)
     $$
     \begin{bmatrix}
     1 & 1 & -1 & | & 1 \
     0 & 1 & -\frac{2}{5} & | & \frac{6}{5} \
     0 & 0 & 1 & | & -13
     \end{bmatrix}
     $$

3. Зворотній хід:

   • \(x_3 = -13\)
   • \(x_2 - \frac{2}{5}x_3 = \frac{6}{5} \Rightarrow x_2 = \frac{6}{5} + \frac{2}{5}(-13) = -4\)
   • \(x_1 + x_2 - x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 1 - x_2 + x_3 = 1 - (-4) + (-13) = -8\)

Відповідь: \(x_1 = -8\), \(x_2 = -4\), \(x_3 = -13\)