Графік функції sin(x) на проміжку (-π/6; 2π/3]

Окей, давайте розв'яжемо задачу 28.16.

Завдання 28.16

Потрібно визначити кількість коренів рівняння \(\sin x = a\) залежно від значення параметра \(a\) на проміжку \(\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right]\).

1. Аналіз графіка синуса на заданому проміжку:

• Розглянемо графік функції \(y = \sin x\) на проміжку \(\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right]\).
• \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\)
• \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• На цьому проміжку \(\sin x\) зростає від \(-\frac{1}{2}\) до 1 (в точці \(\frac{\pi}{2}\)), а потім спадає до \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

2. Визначення кількості коренів залежно від значення параметра a:

• Якщо \(a < -\frac{1}{2}\) або \(a > 1\), то коренів немає.
• Якщо \(a = -\frac{1}{2}\), то один корінь (точка \(-\frac{\pi}{6}\) не входить у проміжок, тому корінь не враховується).
• Якщо \(-\frac{1}{2} < a < 1\), то два корені.
• Якщо \(a = 1\), то один корінь (точка \(\frac{\pi}{2}\)).
• Якщо \(1 < a \le \frac{\sqrt{3}}{2}\), то два корені.

3. Узагальнення:

• \(a \in (-\infty; -\frac{1}{2}]\) - 0 коренів
• \(a \in (-\frac{1}{2}; 1)\) - 2 корені
• \(a = 1\) - 1 корінь
• \(a \in (1; \frac{\sqrt{3}}{2}]\) - 1 корінь
• \(a \in (\frac{\sqrt{3}}{2}; +\infty)\) - 0 коренів

Відповідь:

• 0 коренів, якщо \(a < -\frac{1}{2}\) або \(a > 1\)
• 2 корені, якщо \(-\frac{1}{2} < a < 1\)
• 1 корінь, якщо \(a = 1\)
• 1 корінь, якщо \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

Звичайно, ось покрокова інструкція, як намалювати графік функції \(y = \sin(x)\) на заданому проміжку \(\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right]\):

1. Підготовка:

• Намалюйте координатну площину: горизонтальна вісь - це вісь \(x\), вертикальна - вісь \(y\).
• Відзначте на осі \(x\) ключові точки: \(-\frac{\pi}{6}\), \(0\), \(\frac{\pi}{2}\), \(\frac{2\pi}{3}\). Важливо, щоб відстані відповідали приблизному масштабу. Наприклад, \(\frac{\pi}{2}\) повинно бути приблизно в півтора рази далі від нуля, ніж \(\frac{\pi}{3}\).
• На осі \(y\) відзначте значення: \(-1\), \(-\frac{1}{2}\), \(0\), \(\frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87\), \(1\).

2. Обчислення значень синуса в ключових точках:

• \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\)
• \(\sin(0) = 0\)
• \(\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1\)
• \(\sin\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\)

3. Побудова графіка:

1. Почніть зліва:

   • Поставте точку на координатній площині у точці \(\left(-\frac{\pi}{6}; -\frac{1}{2}\right)\). Оскільки проміжок починається з круглої дужки, ця точка буде виколотою (порожньою).

2. Проміжок від \(-\frac{\pi}{6}\) до \(\frac{\pi}{2}\):

   • Синус зростає від \(-\frac{1}{2}\) до 1. Намалюйте плавну криву, яка починається у виколотій точці \(\left(-\frac{\pi}{6}; -\frac{1}{2}\right)\), проходить через точку \((0; 0)\) і досягає максимуму в точці \(\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)\).

3. Точка максимуму:

   • У точці \(\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)\) синус досягає свого максимального значення на цьому проміжку.

4. Проміжок від \(\frac{\pi}{2}\) до \(\frac{2\pi}{3}\):

   • Синус спадає від 1 до \(\frac{\sqrt{3}}{2}\). Намалюйте плавну криву, яка починається у точці \(\left(\frac{\pi}{2}; 1\right)\) і закінчується у точці \(\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\).

5. Кінець графіка:

   • Поставте точку на координатній площині у точці \(\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\). Оскільки проміжок закінчується квадратною дужкою, ця точка буде зафарбованою (включеною).

4. Аналіз графіка:

• Графік показує, як змінюється значення \(\sin(x)\) на заданому проміжку.
• Максимальне значення синуса на цьому проміжку дорівнює 1, досягається в точці \(x = \frac{\pi}{2}\).
• Мінімальне значення наближається до \(-\frac{1}{2}\), але не досягає його, оскільки точка \(-\frac{\pi}{6}\) не входить у проміжок.

Підказки:

• Використовуйте олівець для легкості виправлення.
• Пам'ятайте, що синус - це плавна, неперервна крива.
• Чим більше точок ви обчислите, тим точнішим буде графік.

Окей, давай розберемося, як і де проводити горизонтальні лінії для аналізу кількості розв'язків рівняння \(\sin(x) = a\) на графіку.

Мета горизонтальних ліній

Горизонтальні лінії \(y = a\) використовуються для визначення кількості точок перетину з графіком функції \(y = \sin(x)\) на заданому проміжку. Кожна точка перетину відповідає одному розв'язку рівняння \(\sin(x) = a\).

Ключові значення a

Нам потрібно провести горизонтальні лінії для декількох ключових значень a, щоб визначити різні випадки кількості розв'язків:

1. a < -1/2: Проведіть лінію нижче рівня \(y = -\frac{1}{2}\). Наприклад, \(y = -0.75\).
2. a = -1/2: Проведіть лінію точно на рівні \(y = -\frac{1}{2}\).
3. -1/2 < a < 1: Проведіть лінію між рівнями \(y = -\frac{1}{2}\) та \(y = 1\). Наприклад, \(y = 0\).
4. a = 1: Проведіть лінію точно на рівні \(y = 1\).
5. 1 < a ≤ √3/2: Проведіть лінію між рівнями \(y = 1\) та \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Наприклад, \(y = 0.9\).
6. a > √3/2: Проведіть лінію вище рівня \(y = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Наприклад, \(y = 1.2\).

Процес проведення ліній

1. Підготуйте графік: Переконайтеся, що у вас є правильно намальований графік функції \(y = \sin(x)\) на проміжку \(\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right]\).

2. Проведіть горизонтальні лінії: Для кожного ключового значення a проведіть горизонтальну лінію \(y = a\) через весь графік на заданому проміжку.

3. Порахуйте точки перетину: Для кожної горизонтальної лінії порахуйте, скільки разів вона перетинає графік \(y = \sin(x)\). Кількість точок перетину відповідає кількості розв'язків рівняння \(\sin(x) = a\) на заданому проміжку.

4. Врахуйте кінці проміжків:

   • Якщо горизонтальна лінія проходить через виколоту точку на кінці проміжку, то ця точка не враховується як розв'язок.
   • Якщо горизонтальна лінія проходить через зафарбовану точку на кінці проміжку, то ця точка враховується як розв'язок.

Приклад

• Лінія y = 0: Ця лінія перетинає графік \(y = \sin(x)\) у точці \(x = 0\). Отже, рівняння \(\sin(x) = 0\) має один розв'язок на заданому проміжку.
• Лінія y = 1: Ця лінія перетинає графік \(y = \sin(x)\) у точці \(x = \frac{\pi}{2}\). Отже, рівняння \(\sin(x) = 1\) має один розв'язок на заданому проміжку.
• Лінія y = -0.75: Ця лінія не перетинає графік \(y = \sin(x)\) на заданому проміжку. Отже, рівняння \(\sin(x) = -0.75\) не має розв'язків на цьому проміжку.

Підсумок

Проводячи горизонтальні лінії \(y = a\) і аналізуючи точки їх перетину з графіком \(y = \sin(x)\), ви можете визначити кількість розв'язків рівняння \(\sin(x) = a\) для різних значень параметра a на заданому проміжку.

Добре, давай визначимо положення горизонтальних ліній у клітинках, якщо 4 клітини відповідають одиниці (1), а 2 клітини – 0.5.

1. Вісь Y (вертикальна):

• 0 (нуль): Лінія проходить по осі X.
• 0.5: Лінія проходить на висоті 2 клітинки від осі X.
• 1: Лінія проходить на висоті 4 клітинки від осі X.
• -0.5: Лінія проходить на глибині 2 клітинки від осі X (у від'ємній області).

2. Значення 'a' та положення горизонтальних ліній:

• a < -0.5: Лінія проходить нижче 2 клітинок під віссю X. Наприклад, при a = -0.75, лінія буде на 3 клітинки нижче осі X.
• a = -0.5: Лінія проходить на 2 клітинки нижче осі X.
• -0.5 < a < 1: Лінія проходить між 2 клітинками нижче осі X і 4 клітинками над віссю X. Наприклад, при a = 0, лінія збігається з віссю X, а при a* = 0.25, лінія проходить на 1 клітинку над віссю X.
• a = 1: Лінія проходить на 4 клітинки над віссю X.
• a > 1: Лінія проходить вище 4 клітинок над віссю X. Наприклад, при a = 1.25, лінія буде на 5 клітинок над віссю X.

3. Значення √3/2 (приблизно 0.87):

• Оскільки 0.87 – це трохи більше, ніж 0.75 (3 клітинки), але менше ніж 1 (4 клітинки), лінія для a = √3/2 буде проходити приблизно на 3.5 клітинки над віссю X.

Практичні поради:

1. Спочатку намалюйте осі: Переконайтеся, що осі X та Y чітко позначені.
2. Розмітьте масштаб: Позначте значення 0.5, 1, -0.5 на осі Y.
3. Проведіть лінії: Використовуйте лінійку, щоб провести горизонтальні лінії на відповідних висотах (в клітинках) для кожного значення 'a'.
4. Аналізуйте перетини: Уважно порахуйте точки перетину кожної горизонтальної лінії з графіком синуса на заданому проміжку. Врахуйте, чи включені кінці проміжку.

Ні, малювати лінію \(y = -1\) у цьому завданні не потрібно.

Ми розглядаємо рівняння \(\sin(x) = a\) на проміжку \(x \in \left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right]\). На цьому проміжку значення \(\sin(x)\) змінюються від \(-\frac{1}{2}\) (але не включаючи це значення, оскільки проміжок відкритий зліва) до 1. Отже, значення параметра \(a\), які нам цікаві, повинні бути в межах цих значень.

Лінія \(y = -1\) потрібна була б, якби ми розглядали ширший проміжок для \(x\), де \(\sin(x)\) міг би набувати значення \(-1\) або менше.

Далі розв'язуємо по визначених точках:

Ти вже визначив ключові значення параметра \(a\):

1. a < -0.5:
   • Горизонтальна лінія проходить нижче 2 клітинок під віссю X.
   • Кількість розв'язків: 0 (лінія не перетинає графік синуса на заданому проміжку).
2. a = -0.5:
   • Горизонтальна лінія проходить на 2 клітинки нижче осі X.
   • Кількість розв'язків: 0 (лінія перетинає графік у виколотій точці \(-\frac{\pi}{6}\), яка не входить у проміжок).
3. *-0.5 < a < 1:
   • Горизонтальна лінія проходить між 2 клітинками нижче осі X і 4 клітинками над віссю X.
   • Кількість розв'язків: 2 (лінія перетинає графік двічі).
4. a = 1:
   • Горизонтальна лінія проходить на 4 клітинки над віссю X.
   • Кількість розв'язків: 1 (лінія дотикається до графіка в точці \(\frac{\pi}{2}\)).
5. *1 < a ≤ √3/2 (≈ 0.87):
   • Тут сталася помилка! Значення \(a\) не може бути більшим за 1, а потім меншим або рівним √3/2, адже √3/2 менше за 1.
   • Правильно: потрібно розглядати випадок, коли \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
6. a = √3/2:
   • Горизонтальна лінія проходить приблизно на 3.5 клітинки над віссю X.
   • Кількість розв'язків: 1 (лінія перетинає графік в точці \(x = \frac{2\pi}{3}\), яка входить у проміжок).
7. a > 1:
   • Горизонтальна лінія проходить вище 4 клітинок над віссю X.
   • Кількість розв'язків: 0 (лінія не перетинає графік синуса на заданому проміжку).

Відповідь:

• Якщо \(a < -\frac{1}{2}\): 0 розв'язків
• Якщо \(a = -\frac{1}{2}\): 0 розв'язків
• Якщо \(-\frac{1}{2} < a < 1\): 2 розв'язки
• Якщо \(a = 1\): 1 розв'язок
• Якщо \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\): 1 розв'язок
• Якщо \(a > 1\): 0 розв'язків

Окей, я проаналізував приклад розв'язання для функції \(y = \cos(x)\) на проміжку \(\left[-\frac{5\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]\) і врахував усі ключові моменти. Ось розв'язання, оформлене у такому ж стилі:

1. Функції:

• \(y_1 = \cos(x)\) (графік косинуса)
• \(y_2 = b\) (горизонтальна лінія на рівні b)

2. Аналіз графіка (на проміжку \(\left[-\frac{5\pi}{4}; \frac{5\pi}{4}\right]\)):

• \((0; 1) \in y = \cos(x)\) (точка (0; 1) належить графіку косинуса)
• \(\left(-\frac{5\pi}{4}; -\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \in y = \cos(x)\) (точка (-5π/4; -√2/2) належить графіку косинуса)

3. Кількість коренів (розв'язків рівняння \(\cos(x) = b\)):

• Якщо \(b < -1\), то \(x \in \emptyset\) (немає коренів)
• Якщо \(b = - \frac{\sqrt{2}}{2}\), то 1 корінь (одна точка перетину)
• Якщо \(- \frac{\sqrt{2}}{2} < b < 1\), то 2 кореня (дві точки перетину)
• Якщо \(b = 1\), то 1 корінь
• Якщо \(b > 1\), то коренів немає

4. Відповідь:

• Якщо \(b < -\frac{\sqrt{2}}{2}\) або \(b > 1\), коренів немає.
• Якщо \(b = -\frac{\sqrt{2}}{2}\) або \(b = 1\), один корінь.
• Якщо \(-\frac{\sqrt{2}}{2} < b < 1\), то два корені.

Пояснення:

1. \(b < -\frac{\sqrt{2}}{2}\): Горизонтальна лінія \(y = b\) проходить нижче найнижчої точки графіка косинуса на заданому проміжку. Отже, перетинів немає.
2. \(b = -\frac{\sqrt{2}}{2}\): Горизонтальна лінія \(y = b\) проходить через точку мінімуму косинуса на лівому кінці проміжку, тобто має з графіком косинуса одну спільну точку.
3. \(-\frac{\sqrt{2}}{2} < b < 1\): Горизонтальна лінія \(y = b\) перетинає графік косинуса в двох точках.
4. \(b = 1\): Горизонтальна лінія \(y = b\) дотикається до графіка косинуса у точці максимуму.
5. \(b > 1\): Горизонтальна лінія \(y = b\) проходить вище найвищої точки графіка косинуса на заданому проміжку. Отже, перетинів немає.

Добре, зараз перепишу попереднє розв'язання про синус, використовуючи структуру, як у прикладі з косинусом:

1. Функції:

• \(y_1 = \sin(x)\) (графік синуса)
• \(y_2 = a\) (горизонтальна лінія на рівні a)

2. Аналіз графіка (на проміжку \(\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{2\pi}{3}\right]\)):

• \(\left(0; 0\right) \in y = \sin(x)\) (точка (0; 0) належить графіку синуса)
• \(\left(\frac{\pi}{2}; 1\right) \in y = \sin(x)\) (точка (π/2; 1) належить графіку синуса)
• \(\left(\frac{2\pi}{3}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right) \in y = \sin(x)\) (точка (2π/3; √3/2) належить графіку синуса)
• \(\left(-\frac{\pi}{6}; -\frac{1}{2}\right) \notin y = \sin(x)\) (точка (-π/6; -1/2) не належить графіку, оскільки проміжок відкритий зліва)

3. Кількість коренів (розв'язків рівняння \(\sin(x) = a\)):

• Якщо \(a < -\frac{1}{2}\), то \(x \in \emptyset\) (немає коренів)
• Якщо \(a = -\frac{1}{2}\), то \(x \in \emptyset\) (немає коренів, оскільки точка виколота)
• Якщо \(-\frac{1}{2} < a < 1\), то 2 корені (дві точки перетину)
• Якщо \(a = 1\), то 1 корінь (одна точка перетину)
• Якщо \(1 < a \le \frac{\sqrt{3}}{2}\), то 0 коренів
• Якщо \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\), то 1 корінь
• Якщо \(a > \frac{\sqrt{3}}{2}\), то \(x \in \emptyset\) (немає коренів)

4. Відповідь:

• Якщо \(a \le -\frac{1}{2}\) або \(a > \frac{\sqrt{3}}{2}\), коренів немає.
• Якщо \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\), один корінь.
• Якщо \(a = 1\), один корінь.
• Якщо \(-\frac{1}{2} < a < 1\), два корені.

Пояснення:

1. \(a \le -\frac{1}{2}\): Горизонтальна лінія \(y = a\) проходить нижче найнижчої точки графіка синуса на заданому проміжку (але не включаючи цю точку, бо проміжок відкритий). Отже, перетинів немає.
2. \(-\frac{1}{2} < a < 1\): Горизонтальна лінія \(y = a\) перетинає графік синуса в двох точках.
3. \(a = 1\): Горизонтальна лінія \(y = a\) перетинає графік синуса в одній точці (максимум).
4. \(a = \frac{\sqrt{3}}{2}\): Горизонтальна лінія \(y = a\) перетинає графік синуса в одній точці (на правому кінці проміжку).
5. \(a > \frac{\sqrt{3}}{2}\): Горизонтальна лінія \(y = a\) проходить вище найвищої точки графіка синуса на заданому проміжку. Отже, перетинів немає.