Завдання з математики: ймовірність, системи нерівностей, арифметична прогресія

Задание 1

Умова: У ящику є 30 пронумерованих від 1 до 30 жетонів. Яка ймовірність того, що номер навмання взятого жетона буде кратним числу 7?

Розв'язання:

1. Визначимо загальну кількість подій: Всього є 30 жетонів, тому загальна кількість можливих подій дорівнює 30.
2. Визначимо кількість сприятливих подій: Нам потрібно знайти кількість чисел від 1 до 30, які кратні 7. Це числа: 7, 14, 21, 28. Їх всього 4.
3. Обчислимо ймовірність: Ймовірність події розраховується за формулою:
   \(P(A) = \frac{\text{Кількість сприятливих подій}}{\text{Загальна кількість подій}}\)
   \(P(\text{кратне 7}) = \frac{4}{30}\)
4. Спростимо дріб: \(\frac{4}{30} = \frac{2}{15}\)

Відповідь: Ймовірність того, що номер навмання взятого жетона буде кратним числу 7, дорівнює \(\frac{2}{15}\).

Задание 2

Умова: Вкажіть проміжок, що є розв'язком системи нерівностей.

Розв'язання:

У завданні не наведені самі нерівності, лише варіанти відповідей. Припустимо, що варіанти відповідей відповідають цифрам А, Б, В, Г, Д, де:

• А: \((-6; 5]\)
• Б: \([-6; 5)\)
• В: \([-6; 5]\)
• Г: \((-6; -5)\)
• Д: \((-6; -5]\)

Для надання конкретної відповіді потрібні самі нерівності.

Відповідь: Надається після розв'язання системи нерівностей.

Задание 3

Умова: Знайдіть різницю арифметичної прогресії: 7; 5; 3; 1

Розв'язання:

1. Визначення арифметичної прогресії: Арифметична прогресія - це послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, доданому до певного числа. Це число називається різницею арифметичної прогресії.
2. Формула для знаходження різниці: Різниця арифметичної прогресії (\(d\)) знаходиться за формулою:
   \(d = a_{n+1} - a_n\)
   де \(a_{n+1}\) - наступний член прогресії, а \(a_n\) - попередній член.
3. Обчислення різниці: Візьмемо перші два члени прогресії: 7 і 5.
   \(d = 5 - 7 = -2\)
   Перевіримо з наступними членами:
   \(3 - 5 = -2\)
   \(1 - 3 = -2\)
   Різниця послідовно однакова.

Відповідь: Різниця арифметичної прогресії дорівнює -2.

Задание 4

Умова: Знайти знаменник геометричної прогресії, якщо \(b_1 = 4\), а \(b_3 = 1\).

Розв'язання:

1. Визначення геометричної прогресії: Геометрична прогресія - це послідовність, кожен член якої, починаючи з другого, дорівнює попередньому, помноженому на певне число. Це число називається знаменником геометричної прогресії.
2. Формула для членів геометричної прогресії: Загальна формула для \(n\)-го члена геометричної прогресії:
   \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)
   де \(b_1\) - перший член прогресії, \(q\) - знаменник прогресії, \(n\) - номер члена.
3. Використаємо надані дані:
   • \(b_1 = 4\) (перший член)
   • \(b_3 = 1\) (третій член)
4. Запишемо формулу для \(b_3\):
   \(b_3 = b_1 \cdot q^{3-1}\)
   \(b_3 = b_1 \cdot q^2\)
5. Підставимо відомі значення:
   \(1 = 4 \cdot q^2\)
6. Знайдемо \(q^2\):
   \(q^2 = \frac{1}{4}\)
7. Знайдемо \(q\) (знаменник): Щоб знайти \(q\), потрібно взяти квадратний корінь з обох боків рівняння:
   \(q = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\)
   \(q = \pm \frac{1}{2}\)

Відповідь: Знаменник геометричної прогресії може дорівнювати \(\frac{1}{2}\) або \(-\frac{1}{2}\).

Задание 5

Умова: Розв'яжіть нерівність \(x^2 - 49 > 0\).

Розв'язання:

1. Перенесемо константу:
   \(x^2 > 49\)
2. Визначимо критичні точки: Критичні точки - це значення \(x\), при яких вираз дорівнює нулю.
   \(x^2 - 49 = 0\)
   \(x^2 = 49\)
   \(x = \pm \sqrt{49}\)
   \(x = \pm 7\)
   Отже, критичні точки: \(x = -7\) та \(x = 7\).
3. Побудуємо числову вісь: Критичні точки ділять числову вісь на три інтервали: \((-\infty; -7)\), \((-7; 7)\) та \((7; +\infty)\).
4. Визначимо знак виразу \(x^2 - 49\) на кожному інтервалі:
   • Інтервал \((-\infty; -7)\): Візьмемо тестове значення, наприклад, \(x = -8\).
     \((-8)^2 - 49 = 64 - 49 = 15 > 0\). Отже, на цьому інтервалі вираз додатний.
   • Інтервал \((-7; 7)\): Візьмемо тестове значення, наприклад, \(x = 0\).
     \(0^2 - 49 = -49 < 0\). Отже, на цьому інтервалі вираз від'ємний.
   • Інтервал \((7; +\infty)\): Візьмемо тестове значення, наприклад, \(x = 8\).
     \(8^2 - 49 = 64 - 49 = 15 > 0\). Отже, на цьому інтервалі вираз додатний.
5. Виберемо інтервали, що задовольняють нерівності: Нерівність \(x^2 - 49 > 0\) виконується там, де вираз додатний. Це інтервали \((-\infty; -7)\) та \((7; +\infty)\).

Відповідь: Розв'язком нерівності є об'єднання інтервалів \((-\infty; -7) \cup (7; +\infty)\).

Задание 6

Умова: Знайдіть координати точки перетину графіка рівняння \(6x - 7y = 42\) з віссю абсцис.

Розв'язання:

1. Визначення осі абсцис: Вісь абсцис - це вісь \(Ox\). На цій осі координата \(y\) будь-якої точки дорівнює 0.
2. Підставимо \(y = 0\) у рівняння:
   \(6x - 7(0) = 42\)
   \(6x - 0 = 42\)
   \(6x = 42\)
3. Знайдемо \(x\):
   \(x = \frac{42}{6}\)
   \(x = 7\)
4. Запишемо координати точки: Оскільки \(x=7\) і \(y=0\), координати точки перетину з віссю абсцис будуть \((7; 0)\).

Відповідь: Координати точки перетину графіка рівняння \(6x - 7y = 42\) з віссю абсцис дорівнюють \((7; 0)\).

Задание 7

Умова: Знайдіть 30-й член арифметичної прогресії, та суму 12 перших її членів, якщо \(a_5 = 9\), \(a_7 = 13\).

Розв'язання:

Крок 1: Знаходження різниці арифметичної прогресії (\(d\)).

1. Використаємо формулу для \(n\)-го члена арифметичної прогресії: \(a_n = a_k + d(n-k)\).
2. Підставимо дані: \(a_7 = a_5 + d(7-5)\).
3. \(13 = 9 + d(2)\).
4. \(13 - 9 = 2d\).
5. \(4 = 2d\).
6. \(d = \frac{4}{2} = 2\).
   Різниця арифметичної прогресії дорівнює 2.

Крок 2: Знаходження першого члена арифметичної прогресії (\(a_1\)).

1. Використаємо ту ж формулу: \(a_k = a_1 + d(k-1)\).
2. Підставимо дані для \(a_5\): \(9 = a_1 + 2(5-1)\).
3. \(9 = a_1 + 2(4)\).
4. \(9 = a_1 + 8\).
5. \(a_1 = 9 - 8 = 1\).
   Перший член арифметичної прогресії дорівнює 1.

Крок 3: Знаходження 30-го члена арифметичної прогресії (\(a_{30}\)).

1. Використаємо формулу \(a_n = a_1 + d(n-1)\).
2. \(a_{30} = 1 + 2(30-1)\).
3. \(a_{30} = 1 + 2(29)\).
4. \(a_{30} = 1 + 58\).
5. \(a_{30} = 59\).

Крок 4: Знаходження суми 12 перших членів арифметичної прогресії (\(S_{12}\)).

1. Використаємо формулу суми перших \(n\) членів: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
2. \(S_{12} = \frac{2(1) + 2(12-1)}{2} \cdot 12\).
3. \(S_{12} = \frac{2 + 2(11)}{2} \cdot 12\).
4. \(S_{12} = \frac{2 + 22}{2} \cdot 12\).
5. \(S_{12} = \frac{24}{2} \cdot 12\).
6. \(S_{12} = 12 \cdot 12\).
7. \(S_{12} = 144\).

Відповідь: 30-й член арифметичної прогресії дорівнює 59, а сума 12 перших її членів дорівнює 144.

Задание 8

Умова: Розв'яжіть систему рівнянь.

Розв'язання:

У завданні не наведено саму систему рівнянь, лише її номер. Для надання розв'язку потрібна сама система.

Відповідь: Надається після розв'язання системи рівнянь.

Задание 1

Умова: У ящику є 30 пронумерованих від 1 до 30 жетонів. Яка ймовірність того, що номер навмання взятого жетона буде кратним числу 7?

Розв'язання:

1. Загальна кількість подій:

   • Всього є 30 жетонів.
   • \(N = 30\)

2. Кількість сприятливих подій:

   • Шукаємо числа від 1 до 30, які діляться на 7 без остачі.
   • Це числа: 7, 14, 21, 28.
   • Кількість сприятливих подій: \(M = 4\).

3. Ймовірність події (P):

   • Ймовірність обчислюється за формулою: \(P = \frac{\text{Кількість сприятливих подій}}{\text{Загальна кількість подій}}\).
   • \(P = \frac{M}{N} = \frac{4}{30}\).

4. Спрощення дробу:

   • \(\frac{4}{30} = \frac{4 \div 2}{30 \div 2} = \frac{2}{15}\).

Відповідь: Ймовірність того, що номер навмання взятого жетона буде кратним числу 7, дорівнює \(\frac{2}{15}\).

Задание 2

Умова: Вкажіть проміжок, що є розв'язком системи нерівностей.

Розв'язання:

• Зауваження: У завданні відсутні самі нерівності, наведено лише варіанти відповідей у вигляді інтервалів. Щоб розв'язати це завдання, необхідно мати вихідні нерівності.

• Приклад розв'язку (якщо б нерівності були):
  Припустимо, система нерівностей мала вигляд:
  \(\begin{cases} x \le 5 \\ x > -6 \end{cases}\)

  1. Розв'язок першої нерівності: \(x \in (-\infty; 5]\).
  2. Розв'язок другої нерівності: \(x \in (-6; +\infty)\).
  3. Розв'язком системи є перетин цих проміжків: \((-\infty; 5] \cap (-6; +\infty) = (-6; 5]\).

Відповідь: (Надається після розв'язання системи нерівностей. На основі наданих варіантів, можлива відповідь Б: \([-6; 5)\) або А: \((-6; 5]\), залежно від знаків нерівностей.)

Задание 3

Умова: Знайдіть різницю арифметичної прогресії: 7; 5; 3; 1.

Розв'язання:

1. Означення арифметичної прогресії: Це послідовність, де різниця між будь-якими двома сусідніми членами є сталою. Ця стала різниця позначається літерою \(d\).
2. Формула для знаходження різниці:
   • \(d = a_{n+1} - a_n\) (різниця дорівнює наступному члену мінус попередній).
3. Обчислення:
   • Візьмемо перші два члени: \(a_1 = 7\), \(a_2 = 5\).
   • \(d = a_2 - a_1 = 5 - 7 = -2\).
   • Перевіримо з наступними членами:
     • \(a_3 - a_2 = 3 - 5 = -2\).
     • \(a_4 - a_3 = 1 - 3 = -2\).
   • Різниця послідовно однакова.

Відповідь: Різниця арифметичної прогресії дорівнює -2.

Задание 4

Умова: Знайти знаменник геометричної прогресії, якщо \(b_1 = 4\), а \(b_3 = 1\).

Розв'язання:

1. Означення геометричної прогресії: Це послідовність, де відношення будь-якого члена (починаючи з другого) до попереднього є сталим. Це стале відношення називається знаменником і позначається літерою \(q\).
2. Формула для \(n\)-го члена геометричної прогресії:
   • \(b_n = b_1 \cdot q^{n-1}\)
3. Використання даних:
   • \(b_1 = 4\)
   • \(b_3 = 1\)
4. Підставимо у формулу для \(b_3\):
   • \(b_3 = b_1 \cdot q^{3-1}\)
   • \(1 = 4 \cdot q^2\)
5. Знайдемо \(q^2\):
   • \(q^2 = \frac{1}{4}\)
6. Знайдемо \(q\):
   • \(q = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}\)
   • \(q = \pm \frac{1}{2}\)

Відповідь: Знаменник геометричної прогресії \(q\) може дорівнювати \(\frac{1}{2}\) або \(-\frac{1}{2}\).

Задание 5

Умова: Розв'яжіть нерівність \(x^2 - 49 > 0\).

Розв'язання:

1. Перетворення нерівності:
   • \(x^2 > 49\)
2. Визначення критичних точок: Це значення \(x\), для яких вираз \(x^2 - 49\) дорівнює нулю.
   • \(x^2 - 49 = 0\)
   • \(x^2 = 49\)
   • \(x = \sqrt{49}\) або \(x = -\sqrt{49}\)
   • \(x = 7\) або \(x = -7\).
     Критичні точки: -7 та 7.
3. Використання методу інтервалів: Критичні точки ділять числову пряму на три інтервали: \((-\infty; -7)\), \((-7; 7)\), \((7; +\infty)\).
4. Визначення знаку виразу \(x^2 - 49\) на кожному інтервалі:
   • Інтервал \((-\infty; -7)\): Візьмемо \(x=-8\). \((-8)^2 - 49 = 64 - 49 = 15 > 0\) (плюс).
   • Інтервал \((-7; 7)\): Візьмемо \(x=0\). \(0^2 - 49 = -49 < 0\) (мінус).
   • Інтервал \((7; +\infty)\): Візьмемо \(x=8\). \(8^2 - 49 = 64 - 49 = 15 > 0\) (плюс).
5. Вибір розв'язку: Нерівність \(x^2 - 49 > 0\) виконується, коли вираз додатний (знак "+"). Це інтервали \((-\infty; -7)\) та \((7; +\infty)\).

Відповідь: Розв'язком нерівності є об'єднання інтервалів \((-\infty; -7) \cup (7; +\infty)\).

Задание 6

Умова: Знайдіть координати точки перетину графіка рівняння \(6x - 7y = 42\) з віссю абсцис.

Розв'язання:

1. Вісь абсцис: Це вісь \(Ox\). На цій осі координата \(y\) завжди дорівнює 0.
2. Підстановка \(y=0\): Щоб знайти точку перетину з віссю абсцис, підставимо \(y=0\) у рівняння:
   • \(6x - 7(0) = 42\)
   • \(6x - 0 = 42\)
   • \(6x = 42\)
3. Знаходження \(x\):
   • \(x = \frac{42}{6}\)
   • \(x = 7\)
4. Координати точки: Точка перетину має координати \((x; y)\), тобто \((7; 0)\).

Відповідь: Координати точки перетину графіка рівняння \(6x - 7y = 42\) з віссю абсцис: \((7; 0)\).

Задание 7

Умова: Знайдіть 30-й член арифметичної прогресії, та суму 12 перших її членів, якщо \(a_5 = 9\), \(a_7 = 13\).

Розв'язання:

Крок 1: Знаходження різниці арифметичної прогресії (\(d\)).

1. Формула: \(a_n = a_k + d(n-k)\).
2. Підстановка: \(a_7 = a_5 + d(7-5)\).
3. \(13 = 9 + d(2)\).
4. \(4 = 2d\).
5. \(d = 2\).

Крок 2: Знаходження першого члена арифметичної прогресії (\(a_1\)).

1. Формула: \(a_k = a_1 + d(k-1)\).
2. Підстановка (для \(a_5\)): \(9 = a_1 + 2(5-1)\).
3. \(9 = a_1 + 2(4)\).
4. \(9 = a_1 + 8\).
5. \(a_1 = 1\).

Крок 3: Знаходження 30-го члена (\(a_{30}\)).

1. Формула: \(a_n = a_1 + d(n-1)\).
2. Підстановка: \(a_{30} = 1 + 2(30-1)\).
3. \(a_{30} = 1 + 2(29)\).
4. \(a_{30} = 1 + 58\).
5. \(a_{30} = 59\).

Крок 4: Знаходження суми 12 перших членів (\(S_{12}\)).

1. Формула суми: \(S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n\).
2. Підстановка: \(S_{12} = \frac{2(1) + 2(12-1)}{2} \cdot 12\).
3. \(S_{12} = \frac{2 + 2(11)}{2} \cdot 12\).
4. \(S_{12} = \frac{2 + 22}{2} \cdot 12\).
5. \(S_{12} = \frac{24}{2} \cdot 12\).
6. \(S_{12} = 12 \cdot 12 = 144\).

Відповідь: 30-й член арифметичної прогресії дорівнює 59, а сума 12 перших її членів дорівнює 144.

Задание 8

Умова: Розв'яжіть систему рівнянь.

Розв'язання:

• Зауваження: У завданні відсутня сама система рівнянь. Для розв'язання необхідно отримати рівняння.

Відповідь: (Надається після розв'язання конкретної системи рівнянь.)

Задание 10

Умова: Вартість деякого товару знизилася з 320 грн до 256 грн. На скільки відсотків знизилася ціна?

Розв'язання:

1. Знаходимо суму знижки:

   • Знижка = Початкова ціна - Нова ціна
   • Знижка = 320 грн - 256 грн = 64 грн.

2. Обчислюємо відсоток знижки від початкової ціни:

   • Відсоток знижки = \(\frac{\text{Сума знижки}}{\text{Початкова ціна}} \times 100\%\)
   • Відсоток знижки = \(\frac{64 \text{ грн}}{320 \text{ грн}} \times 100\%\)

3. Спрощуємо дріб:

   • \(\frac{64}{320} = \frac{1}{5}\) (оскільки \(320 = 64 \times 5\))

4. Обчислюємо відсоток:

   • \(\frac{1}{5} \times 100\% = 20\%\)

Відповідь: Ціна знизилася на 20%.

Задание 11

Умова: Побудуйте графік функції \(y = x^2 + 6x + 8\). Користуючись графіком, знайдіть:
1) найменше значення функції;
2) проміжок, на якому функція спадає;
3) множину розв'язків нерівності \(x^2 + 6x + 8 \le 0\).

Розв'язання:

Крок 1: Побудова графіка квадратичної функції.

• Функція \(y = x^2 + 6x + 8\) є параболою. Коефіцієнт при \(x^2\) (a=1) є додатним, тому гілки параболи спрямовані вгору.
• Знаходимо вершину параболи:
  • Координата \(x\) вершини: \(x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2(1)} = -3\).
  • Координата \(y\) вершини: \(y_в = (-3)^2 + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1\).
  • Вершина параболи знаходиться в точці \((-3; -1)\).
• Знаходимо точки перетину з віссю \(Ox\) (корені рівняння \(x^2 + 6x + 8 = 0\)):
  • За теоремою Вієта або через дискримінант.
  • \(D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(1)(8) = 36 - 32 = 4\).
  • \(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 + \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2\).
  • \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 - \sqrt{4}}{2(1)} = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4\).
  • Точки перетину з віссю \(Ox\): \((-4; 0)\) та \((-2; 0)\).

• Знаходимо точку перетину з віссю \(Oy\):

  • Підставляємо \(x=0\): \(y = 0^2 + 6(0) + 8 = 8\).
  • Точка перетину з віссю \(Oy\): \((0; 8)\).

• Побудова графіка: На основі знайдених точок (вершина \((-3; -1)\), корені \((-4; 0)\) і \((-2; 0)\), точка \((0; 8)\)) будуємо параболу.

Крок 2: Відповіді на запитання.

1. Найменше значення функції:

   • Оскільки гілки параболи спрямовані вгору, найменше значення функції знаходиться у вершині параболи.
   • Найменше значення функції \(y_{min} = -1\).

2. Проміжок, на якому функція спадає:

   • Функція спадає ліворуч від вершини. Вісь симетрії параболи проходить через \(x_в = -3\).
   • Функція спадає на проміжку \((-\infty; -3]\).

3. Множина розв'язків нерівності \(x^2 + 6x + 8 \le 0\):

   • Нерівність \(x^2 + 6x + 8 \le 0\) означає, де графік функції знаходиться нижче або на осі \(Ox\).
   • Ми знайшли корені рівняння \(x^2 + 6x + 8 = 0\): \(x=-4\) та \(x=-2\).
   • Графік знаходиться нижче або на осі \(Ox\) між цими коренями (включно).
   • Множина розв'язків: \([-4; -2]\).

Відповідь:
1) Найменше значення функції: -1.
2) Проміжок, на якому функція спадає: \((-\infty; -3]\).
3) Множина розв'язків нерівності \(x^2 + 6x + 8 \le 0\): \([-4; -2]\).