İkinci dereceden denklem, \(a \neq 0\) olmak üzere \(ax^2 + bx + c = 0\) biçimindeki bir denklemdir. Köklerinin sayısı diskriminant \(D = b^2 - 4ac\) ile belirlenir ve kökler \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\) formülüyle bulunur. Bu sayfada konuyla ilgili her şey bir araya getirildi: standart biçim ve katsayılar, üç tür eksik denklem, diskriminant ve üç durumu, kök formülü ve “çift” katsayılı versiyonu, indirgenmiş denklem ve Vieta Teoremi, çarpanlara ayırma ve bikare denklemler — adım adım örnekler, sık yapılan hataların analizi ve interaktif bir alıştırma aracıyla.
İkinci Dereceden Denklem Nedir
İkinci dereceden denklem, \(x\) bilinmeyen, \(a\), \(b\), \(c\) sayılar (katsayılar) ve \(a \neq 0\) olmak üzere
biçimindeki bir denklemdir. Bu gösterim ikinci dereceden denklemin standart biçimi olarak adlandırılır: solda terimler azalan derecelere göre sıralanır, sağda sıfır bulunur.
\(a \neq 0\) koşulu bir formalite değildir. Denklemi ikinci dereceden yapan terim \(ax^2\)'dir: \(a = 0\) olduğunda \(bx + c = 0\) kalır, yani tek köklü sıradan bir doğrusal denklem olur. Bu nedenle, parametreli problemlerde ilk olarak başkatsayının sıfır olup olmadığı kontrol edilir.
Bir denklemi standart biçime getirmek neredeyse her zaman mümkündür: parantezleri açın, tüm terimleri sol tarafa taşıyın ve benzer terimleri birleştirin. Örneğin, \(5x^2 = 3x - 2\) taşındıktan sonra \(5x^2 - 3x + 2 = 0\) haline gelir, buradan \(a = 5\), \(b = -3\), \(c = 2\) olur. “Kuadratik denklem” kelimesi tamamen aynı anlama gelir — bu sadece başka bir isim seçeneğidir.
Tam ve Eksik İkinci Dereceden Denklemler
Eğer üç katsayının hepsi sıfırdan farklıysa, denklem tam olarak adlandırılır. Eğer \(b\) veya \(c\) (veya her ikisi) sıfıra eşitse — eksik olarak adlandırılır. Tam olarak üç tür eksik denklem vardır ve hiçbiri diskriminant gerektirmez: her biri bir veya iki satırda çözülür ve bu, sınavda zaman kazanmanın en hızlı yoludur.
\(ax^2 + bx = 0\) için ana fikir, ortak çarpan parantezine almaktır. \(x(ax + b)\) çarpımı ancak ve ancak çarpanlardan en az biri sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşittir, buradan hemen iki kök elde edilir. \(ax^2 + c = 0\) için fikir farklıdır: \(x^2\)'yi yalnız bırakmak ve elde edilen sayının işaretine bakmak — bir gerçel sayının karesi negatif olamaz.
| Denklem Türü | Nasıl Çözülür |
|---|---|
| ax2 + c = 02x2 − 50 = 0 | c'yi sağa taşıyın ve a'ya bölün: x2 = −c/a. İkinci işareti kaybetmeden kök alın.x = 5 ve x = −5 |
| ax2 + bx = 0x2 + 7x = 0 | x'i parantez dışına alın: x(ax + b) = 0. Çarpım, çarpanlardan biri sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşittir.x = 0 ve x = −7 |
| ax2 = 09x2 = 0 | a'ya bölün ve sıfırın kökünü alın. Her zaman tam olarak bir kök vardır.x = 0 |
Diskriminant: Nasıl Bulunur ve Kaç Kök Vardır
Diskriminant, tam denklemin katsayılarına göre hesaplanan bir sayıdır:
Kelimenin kendisi “ayırt edici” anlamına gelir: diskriminant hiçbir şeyi çözmez, sadece üç durumu ayırt eder — iki kök, bir kök veya hiç kök yok. Bu nedenle, “denklemin kaç kökü var” sorusu köklerin kendilerini bulmadan çözülür.
\(D\)'yi dikkatlice hesaplamak gerekir: \(b^2\) her zaman pozitiftir, \(b\) negatif olsa bile, ve \(a\) ile \(c\)'nin işaretleri \(4ac\) çarpımına olduğu gibi dahil edilir. \(x^2 + 4x - 5 = 0\) denklemini ele alalım: burada \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = -5\), dolayısıyla \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36\). Diskriminant pozitiftir ve iki kök olacaktır.
İkinci Dereceden Denklemin Kök Formülü
D \ge 0 olduğunda, kökler konunun ana formülüyle bulunur:
\(\pm\) işareti iki hesaplama anlamına gelir: bir kez toplama, diğer kez çıkarma ile. \(D = 0\) olduğunda, her iki hesaplama da aynı \(x = -\dfrac{b}{2a}\) sayısını verir — bu köke çift katlı kök denir.
En sık hata yapılan iki yer: payda eksi \(b\) bulunur (\(b = -7\) için bu \(+7\) olur), paydada ise sadece \(2\) değil, \(2a\) bulunur. \(a = 1\) olduğunda fark görünmez, bu yüzden hata başkatsayının birden farklı olduğu yerlerde ortaya çıkar.
\(2x^2 - 9x - 5 = 0\) denklemini çözelim: \(D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5) = 81 + 40 = 121\), \(\sqrt{D} = 11\), bu yüzden \(x_1 = \dfrac{9 + 11}{4} = 5\) ve \(x_2 = \dfrac{9 - 11}{4} = -0{,}5\).
Çift İkinci Katsayı: D₁ Formülü
Eğer \(b\) — çift bir sayı ise, onu \(b = 2k\) olarak yazmak ve “indirgenmiş” diskriminantı hesaplamak uygundur:
Hesaplamalardaki sayılar dört kat daha küçük olur (\(D = 4D_1\)), ve \(D_1\)'in işareti \(D\)'nin işaretiyle aynıdır — bu, kök sayısıyla ilgili sonucun değişmediği anlamına gelir.
Örnek: \(3x^2 + 8x - 3 = 0\). Burada \(b = 8\), yani \(k = 4\), ve \(D_1 = 4^2 - 3 \cdot (-3) = 16 + 9 = 25\), \(\sqrt{D_1} = 5\). O zaman \(x_1 = \dfrac{-4 + 5}{3} = \dfrac{1}{3}\) ve \(x_2 = \dfrac{-4 - 5}{3} = -3\). Normal formülle \(D = 100\) ile çalışmak zorunda kalırdık — sonuç aynı, ancak aritmetik daha fazla olurdu.
İndirgenmiş Denklem ve Vieta Teoremi
\(a = 1\) olan denkleme indirgenmiş denklem denir ve \(x^2 + px + q = 0\) olarak yazılır. Herhangi bir ikinci dereceden denklem \(a\)'ya bölünerek bu biçime getirilebilir: örneğin, \(4x^2 - 12x + 8 = 0\) denklemi 4'e bölündükten sonra \(x^2 - 3x + 2 = 0\) olur.
İndirgenmiş biçim, Vieta Teoremi'nin bu denklemler için geçerli olması nedeniyle değerlidir: köklerin toplamı \(-p\)'ye, çarpımı ise \(q\)'ya eşittir. \(x^2 - 7x + 10 = 0\) için toplamı 7 ve çarpımı 10 olan iki sayıya ihtiyaç vardır — bunlar 2 ve 5'tir ve diskriminantı hesaplamaya gerek kalmaz.
Vieta Teoremi ile kökleri bulma, kökler tam sayı ve küçük olduğunda işe yarar; ayrıca diskriminant ile bulunan cevabı ücretsiz olarak kontrol eder: toplam \(-p\)'yi, çarpım ise \(q\)'yu vermelidir. Genel biçim için formüller, ters teorem ve kök bulma algoritması ayrı bir materyalde ele alınmıştır — Vieta Teoremi.
İkinci Dereceden Üç Terimlinin Çarpanlara Ayrılması
Eğer kökler \(x_1\) ve \(x_2\) bulunursa, ikinci dereceden üç terimli çarpanlara ayrılır:
\(a\) çarpanını unutmamak gerekir — onsuz eşitlik doğru olmaktan çıkar. Çarpanlara ayırmayı kontrol etmek her zaman kolaydır: parantezleri açın ve orijinal üç terimli ile karşılaştırın. Örneğin, \(x^2 + 2x - 8\)'in kökleri 2 ve \(-4\)'e eşittir, bu yüzden \(x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4)\).
Ters işlem de geçerlidir: eğer üç terimli sözlü olarak çarpanlara ayrılabilirse, kökler hemen görünür ve diskriminanta gerek kalmaz. Burada özdeşlikler yardımcı olur — örneğin, \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\) anında \(4\) ve \(-4\) köklerini verir.
Kök formülü olmadan yapmanın üçüncü yolu — tam kareye tamamlamadır. \(x^2 + 6x + 5 = 0\) denkleminde ilk iki terim toplamın karesini tamamlar: \((x + 3)^2 - 9 + 5 = 0\), yani \((x + 3)^2 = 4\), buradan \(x + 3 = \pm 2\) ve \(x = -1\) veya \(x = -5\) elde edilir. Kök formülü genel biçimde tam da bu yöntemle türetilir.
İkinci Dereceden Denklemlere İndirgenebilen Denklemler: Bikare Denklemler
Bikare denklem, \(ax^4 + bx^2 + c = 0\) biçimindedir: dereceler sadece çifttir. Bu denklem \(t = x^2\) yerine koyma işlemiyle çözülür, ancak \(t \ge 0\) koşulu mutlaka olmalıdır — bir gerçel sayının karesi negatif olamaz.
Yerine koyma işleminden sonra, \(at^2 + bt + c = 0\) şeklinde sıradan bir ikinci dereceden denklem elde edilir. Bu denklem diskriminant ile çözülür ve ardından her negatif olmayan \(t\) kökü için \(x = \pm\sqrt{t}\)'ye geri dönülür. Buradan da kök sayısı gelir: dörde kadar.
Örneğin, \(x^4 - 5x^2 + 4 = 0\) denklemi yerine koyma işleminden sonra \(t^2 - 5t + 4 = 0\) denklemini verir ve kökleri \(t = 1\) ve \(t = 4\) olur. Her ikisi de pozitiftir, bu yüzden \(x = \pm 1\) ve \(x = \pm 2\) — toplam dört kök vardır. Eğer \(t\) değerlerinden biri negatif olsaydı, o basitçe atılırdı.
Aynı yöntemle rasyonel denklemler (ortak paydaya getirildikten ve yasaklı değerler atıldıktan sonra) ve \(t = x^2 + 3x\) biçimindeki yerine koymalı denklemler de çözülür.
İkinci Dereceden Denklemlerin Çözüm Örnekleri
Örnek 1. Tam denklem, D > 0
Çözün \(3x^2 - 7x + 2 = 0\).
Adım 1. Denklem zaten standart biçimdedir: \(a = 3\), \(b = -7\), \(c = 2\).
Adım 2. \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25 > 0\) — iki kök vardır.
Adım 3. \(\sqrt{D} = 5\), bu yüzden \(x_{1,2} = \dfrac{7 \pm 5}{6}\): \(x_1 = \dfrac{12}{6} = 2\), \(x_2 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\).
Adım 4. Yerine koyarak kontrol. \(3 \cdot 2^2 - 7 \cdot 2 + 2 = 12 - 14 + 2 = 0\); \(3 \cdot \left(\tfrac{1}{3}\right)^2 - 7 \cdot \tfrac{1}{3} + 2 = \tfrac{1}{3} - \tfrac{7}{3} + 2 = 0\).
Cevap: \(x_1 = 2\), \(x_2 = \dfrac{1}{3}\).
Örnek 2. Diskriminant sıfıra eşit
Çözün \(4x^2 - 12x + 9 = 0\).
Adım 1. \(a = 4\), \(b = -12\), \(c = 9\).
Adım 2. \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 = 144 - 144 = 0\) — bir kök vardır.
Adım 3. \(x = -\dfrac{b}{2a} = \dfrac{12}{8} = 1{,}5\).
Adım 4. Kontrol. \(4 \cdot 1{,}5^2 - 12 \cdot 1{,}5 + 9 = 9 - 18 + 9 = 0\).
Cevap: \(x = 1{,}5\). Dikkat edin: sol taraf \((2x - 3)^2\) tam karesidir, bu yüzden tek kök elde edildi.
Örnek 3. Diskriminant negatif
Çözün \(2x^2 + 3x + 5 = 0\).
Adım 1. \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 5\).
Adım 2. \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 9 - 40 = -31 < 0\).
Adım 3. Diskriminant negatiftir, bu yüzden gerçel sayılar arasında \(\sqrt{D}\)'yi almak mümkün değildir. Kök formülünü uygulamaya gerek yoktur — çözüm burada biter.
Cevap: Gerçel kök yoktur. Bu, bir hata belirtisi değil, tam bir cevaptır: \(y = 2x^2 + 3x + 5\) fonksiyonunun grafiği \(x\) eksenini kesmez.
Örnek 4. $ax^2 + c = 0$ biçimindeki eksik denklem
Çözün \(3x^2 - 27 = 0\).
Adım 1. Sabit terimi taşıyoruz: \(3x^2 = 27\).
Adım 2. 3'e bölüyoruz: \(x^2 = 9\).
Adım 3. İki sayının karesi 9'a eşittir: \(x = 3\) ve \(x = -3\). İkinci işaret en sık kaybedilir.
Adım 4. Kontrol. \(3 \cdot 3^2 - 27 = 0\); \(3 \cdot (-3)^2 - 27 = 27 - 27 = 0\).
Cevap: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\). \(2x^2 + 8 = 0\) denklemiyle karşılaştırın: orada \(x^2 = -4\) ve gerçel kök yoktur.
Örnek 5. $ax^2 + bx = 0$ biçimindeki eksik denklem
Çözün \(5x^2 - 15x = 0\).
Adım 1. Ortak çarpanı parantez dışına alıyoruz: \(5x(x - 3) = 0\).
Adım 2. Çarpım, çarpanlardan biri sıfıra eşit olduğunda sıfıra eşittir: \(5x = 0\) veya \(x - 3 = 0\).
Adım 3. Buradan \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\).
Adım 4. Kontrol. \(5 \cdot 0^2 - 15 \cdot 0 = 0\); \(5 \cdot 3^2 - 15 \cdot 3 = 45 - 45 = 0\).
Cevap: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 3\). Eğer orijinal denklemi \(x\) ile sadeleştirirseniz, sadece \(x = 3\) kalır — \(x = 0\) kökü kaybolur. Bilinmeyen içeren bir ifadeye bölmek yasaktır.
Örnek 6. Çift ikinci katsayı
Çözün \(5x^2 - 22x + 8 = 0\).
Adım 1. \(b = -22\) — çifttir, bu yüzden \(k = -11\), \(a = 5\), \(c = 8\).
Adım 2. \(D_1 = k^2 - ac = (-11)^2 - 5 \cdot 8 = 121 - 40 = 81\), \(\sqrt{D_1} = 9\).
Adım 3. \(x_{1,2} = \dfrac{-k \pm \sqrt{D_1}}{a} = \dfrac{11 \pm 9}{5}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = \dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
Adım 4. Kontrol. \(5 \cdot 4^2 - 22 \cdot 4 + 8 = 80 - 88 + 8 = 0\); \(5 \cdot 0{,}4^2 - 22 \cdot 0{,}4 + 8 = 0{,}8 - 8{,}8 + 8 = 0\).
Cevap: \(x_1 = 4\), \(x_2 = 0{,}4\). Normal diskriminant \(D = 324\) verirdi — aynı cevap, ancak hesaplamak daha uzun sürerdi.
Örnek 7. Önce standart biçime getirin
Çözün \((x - 3)(x + 5) = 9\).
Adım 1. Parantezleri açıyoruz: \(x^2 + 5x - 3x - 15 = 9\), yani \(x^2 + 2x - 15 = 9\).
Adım 2. Dokuzu sola taşıyoruz: \(x^2 + 2x - 24 = 0\). Katsayıları ancak şimdi yazabiliriz: \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -24\).
Adım 3. \(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100\), \(\sqrt{D} = 10\), \(x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm 10}{2}\): \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\).
Adım 4. Orijinal denklemde kontrol. \((4 - 3)(4 + 5) = 1 \cdot 9 = 9\); \((-6 - 3)(-6 + 5) = (-9) \cdot (-1) = 9\).
Cevap: \(x_1 = 4\), \(x_2 = -6\). Burada sık yapılan bir hata, her parantezi 9'a eşitlemektir: “çarpımın sıfır olması” kuralı sadece sıfır için geçerlidir.
Örnek 8. Üç terimlinin çarpanlara ayrılması
Çarpanlara ayırın \(2x^2 - 5x - 3\).
Adım 1. Üç terimliyi sıfıra eşitliyoruz ve kökleri buluyoruz: \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49\), \(\sqrt{D} = 7\), \(x_{1,2} = \dfrac{5 \pm 7}{4}\): \(x_1 = 3\), \(x_2 = -\dfrac{1}{2}\).
Adım 2. \(a(x - x_1)(x - x_2)\) formülüne yerine koyuyoruz: \(2(x - 3)\left(x + \tfrac{1}{2}\right)\).
Adım 3. İki sayısını ikinci parantezin içine almak uygundur: \((x - 3)(2x + 1)\).
Adım 4. Parantezleri açarak kontrol. \((x - 3)(2x + 1) = 2x^2 + x - 6x - 3 = 2x^2 - 5x - 3\).
Cevap: \(2x^2 - 5x - 3 = (x - 3)(2x + 1)\).
Örnek 9. Bikare denklem
Çözün \(x^4 - 13x^2 + 36 = 0\).
Adım 1. \(t = x^2\) yerine koyma işlemi, burada \(t \ge 0\). Denklem \(t^2 - 13t + 36 = 0\) haline gelir.
Adım 2. \(D = (-13)^2 - 4 \cdot 36 = 169 - 144 = 25\), \(\sqrt{D} = 5\), \(t_{1,2} = \dfrac{13 \pm 5}{2}\): \(t_1 = 9\), \(t_2 = 4\).
Adım 3. Her iki değer de negatif değildir, bu yüzden \(x\)'e geri dönüyoruz: \(x^2 = 9\)'dan \(x = \pm 3\) elde ederiz, \(x^2 = 4\)'ten ise \(x = \pm 2\).
Adım 4. Kontrol. \(3^4 - 13 \cdot 3^2 + 36 = 81 - 117 + 36 = 0\); \(2^4 - 13 \cdot 2^2 + 36 = 16 - 52 + 36 = 0\). Negatif değerler için çift kuvvetler aynı sayıları verir.
Cevap: \(x = \pm 2\) ve \(x = \pm 3\) — dört kök.
İkinci Dereceden Denklemleri Çözerken Sık Yapılan Hatalar
-
Denklemi standart biçime getirmeden diskriminantı hesaplarlar: $2x^2 + 3x = x^2 + 5$ için hemen $a = 2$, $b = 3$, $c = 0$ alırlar.
Önce her şeyi sola taşıyoruz ve benzer terimleri birleştiriyoruz: \(2x^2 + 3x - x^2 - 5 = 0\), yani \(x^2 + 3x - 5 = 0\). Ancak buradan \(a = 1\), \(b = 3\), \(c = -5\) elde edilir. Kök formülü yalnızca standart biçimle çalışır.
-
$b$'yi kareye alırken işareti kaybederler: $x^2 - 9x + 14 = 0$ için $D = -81 - 56$ yazarlar.
Herhangi bir sayının karesi negatif değildir: \((-9)^2 = 81\), \(-81\) değil. Doğrusu \(D = 81 - 56 = 25\), kökler \(x = \dfrac{9 \pm 5}{2}\), yani 7 ve 2. Kontrol: \(49 - 63 + 14 = 0\) ve \(4 - 18 + 14 = 0\).
-
Payda $-b$ yerine $b$ bırakırlar: $x^2 + 5x - 6 = 0$ için $x = \dfrac{5 \pm 7}{2}$ hesaplarlar.
Formülde \(-b\) bulunur, bu yüzden \(b = 5\) olduğunda payda \(-5\) olacaktır: \(x = \dfrac{-5 \pm 7}{2}\), buradan \(x_1 = 1\), \(x_2 = -6\). Yerine koyma işlemi doğrular: \(1 + 5 - 6 = 0\) ve \(36 - 30 - 6 = 0\).
-
$D = 0$ olduğunda “kök yok” yazarlar: $x^2 + 14x + 49 = 0$ denkleminin diskriminantı sıfırdır ve çözümü keserler.
Kökler sadece \(D < 0\) olduğunda yoktur. \(D = 0\) olduğunda tam olarak bir kök vardır: \(x = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{14}{2} = -7\). Kontrol: \(49 - 98 + 49 = 0\).
-
$4x^2 - 9x = 0$ denklemini $x$ ile sadeleştirirler ve tek kök olarak $x = 2{,}25$ bulurlar.
Bilinmeyen içeren bir ifadeye bölmek yasaktır: \(x\) sıfır olabilir ve \(x = 0\) kökü kaybolur. Doğrusu çarpanı parantez dışına almaktır: \(x(4x - 9) = 0\), buradan \(x_1 = 0\) ve \(x_2 = 2{,}25\). Kontrol: \(4 \cdot 2{,}25^2 - 9 \cdot 2{,}25 = 20{,}25 - 20{,}25 = 0\).
-
$x^2 = 16$ denkleminde sadece $x = 4$ yazarlar.
Karesi 16 olan sayı aynı zamanda \(-4\)'tür. Her iki kökü de yazmak gerekir: \(x = \pm 4\). Standart biçim \(x^2 - 16 = 0\), yani \((x - 4)(x + 4) = 0\) üzerinden çözmek daha güvenilirdir — o zaman her iki çarpan da hemen görünür.
-
Parametreli denklemde $a \neq 0$ koşulunu kontrol etmezler: $(m - 2)x^2 + 3x - 1 = 0$ denkleminde hemen diskriminantı hesaplarlar.
\(m = 2\) olduğunda başkatsayı sıfıra döner ve denklem tek köklü \(3x - 1 = 0\) doğrusal denklemi haline gelir: \(x = \dfrac{1}{3}\). \(m = 2\) durumu ayrı olarak incelenir ve kök formülü sadece \(m \neq 2\) olduğunda uygulanır.
Sorular ve Cevaplar
İkinci dereceden denklem nedir?
Bu, \(a\), \(b\), \(c\) sayılar ve \(a \neq 0\) olmak üzere \(ax^2 + bx + c = 0\) biçimindeki bir denklemdir. Bilinmeyen ikinci dereceden olduğu için iki, bir veya hiç kökü olmayabilir.
İkinci dereceden denklemin standart biçimi nasıl görünür?
Standart (genel) biçim — \(ax^2 + bx + c = 0\): tüm terimler solda azalan derecelere göre toplanır, sağda sıfır bulunur. Herhangi bir ikinci dereceden denklem, diskriminantı hesaplamadan önce bu biçime getirilir.
Diskriminant nasıl bulunur?
Katsayıları işaretleriyle birlikte yerine koyarak \(D = b^2 - 4ac\) formülüyle bulunur. Örneğin, \(x^2 + 3x - 10 = 0\) için \(D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49\) elde ederiz ve kökler \(\dfrac{-3 \pm 7}{2}\), yani 2 ve \(-5\)'e eşittir.
İkinci dereceden denklemin kök formülü nedir?
\(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), veya daha kısası \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\). Bu formül \(D \ge 0\) olduğunda uygulanır; paydada \(2a\) bulunur, 2 değil.
İkinci dereceden denklemin kaç kökü olabilir?
İkiden fazla olamaz. \(D > 0\) olduğunda iki kök, \(D = 0\) olduğunda bir (çift katlı) kök, \(D < 0\) olduğunda ise gerçel kök yoktur.
Eksik ikinci dereceden denklem nedir?
Bu, \(b = 0\), \(c = 0\) veya her ikisinin de aynı anda sıfır olduğu bir denklemdir: \(ax^2 + c = 0\), \(ax^2 + bx = 0\), \(ax^2 = 0\). Her üçü de diskriminant olmadan çözülür — terimi taşıyarak veya \(x\)'i parantez dışına alarak.
İkinci dereceden denklemler diskriminant olmadan nasıl çözülür?
Üç yol vardır: indirgenmiş denklem için Vieta Teoremi ile kökleri tahmin etme, çarpanlara ayırma ve tam kareye tamamlama. Kökler küçük tam sayılar olduğunda tahmin etme en hızlı yöntemdir.
Diskriminant negatifse ne yapmalı?
Gerçel kök olmadığını yazın ve çözümü bitirin. Negatif diskriminant normal bir cevaptır: ilgili parabolün grafiği \(x\) eksenini kesmez. Bu durumda kökler sadece karmaşık sayılar arasında bulunur ve bunlar daha sonra incelenir.
Bulunan kökler nasıl kontrol edilir?
Her kökü orijinal denkleme yerine koyun — doğru bir eşitlik elde edilmelidir. İndirgenmiş denklem için Vieta Teoremi ile hızlı bir kontrol de vardır: köklerin toplamı \(-p\)'ye, çarpımı ise \(q\)'ya eşittir.
İkinci dereceden denklem ve kuadratik denklem aynı şey midir?
Evet, bunlar \(ax^2 + bx + c = 0\) nesnesinin iki farklı adıdır. Bunu \(y = ax^2 + bx + c\) kuadratik fonksiyonuyla karıştırmayın: denklemin kökleri, fonksiyon grafiğinin \(x\) eksenini kestiği noktaların apsisleridir.
İkinci dereceden denklemler hangi sınıfta işlenir?
- sınıfta cebir dersinde: önce eksik denklemler, ardından diskriminant, kök formülü ve Vieta Teoremi. Daha sonra konu kuadratik fonksiyonlarda, eşitsizliklerde, OGE ve EGE sınav sorularında karşımıza çıkar.
