Kosinüs teoremi, bir üçgenin üç kenarını ve bir açısını birbirine bağlar: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Her üçgende geçerlidir, bu yüzden 9. sınıfta dik açının olmadığı yerlerde Pisagor teoreminin yerini alır. İki kenarı ve aralarındaki açıyı biliyorsanız üçüncü kenarı bulmak için, \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) sonucu ile de üç kenarı biliyorsanız herhangi bir açıyı ve üçgenin türünü bulmak için kullanılır. Sayfada formülün ifadesi, üç farklı yazımı, ispatı, kosinüs tablosu, «sinüs mü kosinüs mü» notu, LGS soru çözümleri ve öz değerlendirme için alıştırmalar bulunmaktadır.
Kosinüs teoremi: ifade ve formül
Kosinüs teoremi her üçgende çalışır — dik açıya ihtiyacı yoktur. Üç kenarı ve bir açıyı birbirine bağlar, bu yüzden iki kenar ve aralarındaki açı bilindiğinde üçüncü kenarı bulmak için kullanılır.
İfade. Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasına eşittir.
Burada \(a\), \(b\), \(c\) üçgenin kenarları, \(C\) ise \(a\) ve \(b\) kenarları arasındaki açıdır; \(c\) kenarı bu açının karşısında yer alır. Harfler herhangi biri olabilir — formül simetriktir, bu yüzden üç eşit yazımı vardır:
Temel yerleştirme kuralı: çarpımdaki iki kenar arasında kalan açıyı alıyoruz ve karşısındaki kenarı buluyoruz. Eğer «komşu» açıyı alırsanız, tüm sayılar verilerden gelir ancak cevap yanlış olur.
Pisagor teoremi neden kosinüs teoreminin özel bir durumudur
Formülde dik açıyı, yani \(C = 90°\) değerini yerine koyalım. Dik açının kosinüsü sıfırdır, bu yüzden üçüncü terim tamamen sıfırlanır:
Tam olarak 8. sınıftan tanıdığımız Pisagor teoremi ortaya çıktı. Bu yüzden kosinüs teoremi onun genellemesi olarak adlandırılır: Pisagor «90°'deki özel durumdur», kosinüs teoremi ise tüm açılar için aynı anda çalışır.
\(-2ab\cos C\) terimini açının dik olmamasının düzeltmesi olarak anlamak kolaydır:
- açı dar, \(\cos C > 0\) — düzeltme çıkarılır, \(c\) kenarı Pisagor'un vereceğinden daha kısa olur;
- açı dik, \(\cos C = 0\) — düzeltme yoktur, \(c^2 = a^2 + b^2\) kalır;
- açı geniş, \(\cos C < 0\) — düzeltme eklenir, \(c\) kenarı daha uzun olur.
Kosinüs teoreminin ispatı
En kısa okul ispatı koordinat yöntemidir. \(C\) köşesini koordinat başlangıcına yerleştirelim ve \(b = CA\) kenarını \(x\) ekseni boyunca yönlendirelim. O zaman köşelerin koordinatları şöyledir:
- \(C(0;\ 0)\) — koordinat başlangıcı;
- \(A(b;\ 0)\) — başlangıçtan \(b\) uzaklıkta \(x\) ekseni üzerindeki nokta;
- \(B(a\cos C;\ a\sin C)\) — başlangıçtan \(a\) uzaklıkta, \(x\) ekseni ile \(C\) açısı yapan köşe.
\(c\) kenarı, \(AB\) doğru parçasının uzunluğudur. İki nokta arasındaki uzaklık formülü ile hesaplıyoruz:
Parantezleri açıyoruz:
\(a^2\) içeren terimleri gruplandırıyoruz ve temel trigonometrik özdeşlik olan \(\sin^2 C + \cos^2 C = 1\) formülünü uyguluyoruz:
İspat tamamlandı. Dikkat edin: \(C\) açısının dar olması hiçbir yerde gerekmedi. Eğer geniş açıysa, kosinüs negatiftir, \(a\cos C\) koordinatı \(y\) ekseninin soluna gider, ancak tüm işlemler aynı kalır — bu yüzden teorem her üçgen için doğrudur.
Sonuç: üç kenardan açı nasıl bulunur
Kosinüs teoreminden kosinüsün kendisi ifade edilir — bu onun ana sonucudur. Üç kenar da bilindiğinde açı bu formülle bulunur:
Pay kısmında, açıya komşu olan iki kenarın kareleri toplamından, karşısındaki kenarın karesi çıkarılır. Paydada ise komşu kenarların çarpımının iki katı yer alır. Diğer açılar için formüller aynıdır:
Çözüm sırası:
- aranan açıyı seçin ve karşısındaki kenarı belirleyin — karesi pay kısmına eksi işaretiyle gider;
- kesri hesaplayın (payda her zaman pozitiftir, işareti sadece pay belirler);
- değerler tablosundan veya ark kosinüs ile açının kendisini bulun.
Faydalı bir yöntem: en büyük kenardan başlamak. En büyük açı onun karşısındadır ve sadece o açı dik veya geniş olabilir — üçgendeki diğer iki açı her zaman dardır.
Geniş açıların kosinüsleri negatiftir: değerler tablosu
Okul problemlerinde açılar neredeyse her zaman «tablo değerleridir»: 30°, 45°, 60°, 90°, 120°, 135°, 150°. Dar açıların kosinüsü pozitiftir, dik açınınki sıfırdır, geniş açılarınki ise negatiftir. Geniş açılar için değerler, \(\cos(180° - \alpha) = -\cos\alpha\) indirgeme kuralı ile dar açılardan elde edilir: örneğin, \(\cos 120° = -\cos 60° = -0{,}5\).
Bunun pratikte anlamı şudur: geniş açıda \(-2ab\cos C\) ifadesi artıya dönüşür — eksi ile eksinin çarpımı. \(120°\) açısı için formül şöyledir:
En çok puan burada kaybedilir: \(-0{,}5\) yerine \(0{,}5\) koyarlar ve verilen her iki kenardan daha kısa bir kenar elde ederler. Bu kesinlikle imkansızdır — geniş açının karşısında üçgenin en uzun kenarı bulunur.
| Açı | Kosinüs |
|---|---|
| 30° | √3/2 ≈ 0,87 |
| 45° | √2/2 ≈ 0,71 |
| 60° | 1/2 = 0,5 |
| 90° | 0 |
| 120° | −1/2 = −0,5 |
| 135° | −√2/2 ≈ −0,71 |
| 150° | −√3/2 ≈ −0,87 |
Üç kenardan üçgenin türü nasıl belirlenir
Kosinüs teoremi, açıölçer kullanmadan üçgenin türünü öğrenmemizi sağlar. \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) kesrinin işareti sadece paya bağlıdır: \(2ab\) paydası her zaman pozitiftir. Yani, en büyük kenarın karesini diğer iki kenarın kareleri toplamı ile karşılaştırmak yeterlidir.
\(c\) en büyük kenar olsun, o zaman karşısında en büyük açı \(C\) bulunur:
- \(a^2 + b^2 > c^2\) → \(\cos C > 0\) → \(C\) açısı dardır. Diğer açılar ondan küçüktür, yani üç açı da dardır — üçgen dar açılıdır;
- \(a^2 + b^2 = c^2\) → \(\cos C = 0\) → \(C = 90°\) — üçgen dik açılıdır (bu, Pisagor teoreminin tersidir);
- \(a^2 + b^2 < c^2\) → \(\cos C < 0\) → \(C\) açısı geniştir — üçgen geniş açılıdır.
Diğer açıları kontrol etmeye gerek yoktur: üçgende dik veya geniş açı sadece bir tane olabilir. Ve üçgen eşitsizliğini unutmayın — eğer en büyük kenar diğer ikisinin toplamından küçük değilse, böyle kenarlara sahip bir üçgen hiç yoktur.
Sinüs teoremi mi kosinüs teoremi mi: nasıl seçilir
Her iki teorem de aynı problemi çözer — üçgenin bilinmeyen kenarlarını ve açılarını bulur — ancak farklı veri setleriyle çalışırlar. Sinüs teoremi, bir kenarı ve karşısındaki açıyı birbirine bağlar:
Seçim kuralı buradan gelir: eğer soruda zaten bir «kenar ve karşısındaki açı» çifti varsa — sinüs teoremi çalışır; böyle bir çift yoksa — kosinüs teoremi ile başlarız. Dört okul veri seti için not tablodadır.
Genellikle problem iki adımda çözülür: önce kosinüs teoremi üçüncü kenarı verir, sonra sinüs teoremi kalan açıları hızlıca bulur.
| Bilinenler | Uygulanan |
|---|---|
| KASİki kenar ve aralarındaki açı | Kosinüs teoremiüçüncü kenarı buluruz |
| KKKÜç kenar da | Kosinüs teoremiherhangi bir açıyı ve üçgen türünü buluruz |
| AKABir kenar ve iki açı | Sinüs teoremidiğer iki kenarı buluruz |
| KKAİki kenar ve birinin karşısındaki açı | Sinüs teoremikarşı açıyı buluruz |
LGS (OGE) problemlerinde kosinüs teoremi
Matematik LGS'de kosinüs teoremi planimetri sorularında karşımıza çıkar — hem birinci kısımda hem de uzun cevaplı sorularda. Tipik senaryolar şöyledir:
- İki kenar ve aralarındaki açıdan kenar bulma — formülün doğrudan uygulanması, genellikle 60° veya 120° açılarla.
- Üç kenardan açı veya kosinüsünü bulma — \(\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\) sonucu. Eğer soruda «\(\cos\angle A\) değerini bulun» yazıyorsa, ark kosinüs almaya gerek yoktur: cevap o kesrin kendisidir, onu yazarlar.
- Paralelkenarın köşegenleri. Köşegen, iki kenar ve aralarındaki açıdan oluşan bir üçgen ayırır. Paralelkenarın komşu açıları toplamı 180°'dir, bu yüzden kosinüsleri zıttır: dar açının karşısında küçük köşegen, geniş açının karşısında büyük köşegen bulunur.
- Üç sayıdan üçgen türü — \(a^2 + b^2\) ile \(c^2\) karşılaştırması.
- Üçgenin kenarortayı. \(m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}\) formülü, tabandaki iki komşu açıya kosinüs teoreminin iki kez uygulanmasıyla çıkarılır.
Sınav tavsiyesi: hesaplamadan önce, çizimde bilinen kenarlar arasında «sıkışan» açıyı işaretleyin. Eğer böyle bir açı yoksa — kosinüs teoremi henüz uygulanamaz, başka bir yol aramanız gerekir.
Kosinüs teoremi problem çözme örnekleri
Örnek 1. İki kenar ve 60° açıdan kenar bulma
Problem. \(ABC\) üçgeninde \(a = 7\) ve \(b = 15\) kenarları, aralarındaki açı \(C = 60°\). \(c\) kenarını bulun.
Adım 1. \(C\) açısı \(a\) ve \(b\) kenarları arasında kalıyor — bu tam da teoremin tasarlandığı durumdur:
Adım 2. Sayıları yerine koyuyoruz, \(\cos 60° = 0{,}5\):
Adım 3. Karekök alıyoruz: \(c = \sqrt{169} = 13\).
Cevap: \(13\). Anlam kontrolü: \(60°\) açısı dardır, bu yüzden karşısındaki kenar en uzun değildir — gerçekten de \(13 < 15\).
Örnek 2. Geniş açı: eksi ile eksinin çarpımı
Problem. \(ABC\) üçgeninde bilinenler: \(AB = 6\), \(BC = 10\), \(B\) açısı = \(120°\). \(AC\) kenarını bulun.
Adım 1. \(B\) açısı \(AB\) ve \(BC\) kenarları arasında kalıyor, \(AC\) kenarı ise karşısında:
Adım 2. Açı geniştir, bu yüzden \(\cos 120° = -0{,}5\). Çarpımın önündeki eksi ve kosinüsün eksisi artı eder:
Adım 3. \(AC = \sqrt{196} = 14\).
Cevap: \(14\). Kontrol: geniş açının karşısında en uzun kenar bulunur — \(14\) hem \(6\)'dan hem de \(10\)'dan büyüktür.
Örnek 3. Üç kenardan açı bulma
Problem. Bir üçgenin kenarları \(3\), \(5\) ve \(7\). En büyük açısını bulun.
Adım 1. En büyük açı en büyük kenarın karşısındadır, yani \(7\) kenarının karşısında. Onu \(C\) ile gösterelim, o zaman \(c = 7\), komşu kenarlar \(a = 3\) ve \(b = 5\).
Adım 2. Sonucu uyguluyoruz:
Adım 3. Kosinüs negatiftir — açı geniştir. Değerler tablosuna göre \(\cos 120° = -0{,}5\), yani \(C = 120°\).
Cevap: \(120°\). Bu arada üçgenin geniş açılı olduğu da ortaya çıktı.
Örnek 4. Üçgenin türünü belirleme
Problem. \(6\), \(7\) ve \(10\) kenarlı üçgenin türünü belirleyin.
Adım 1. Üçgen eşitsizliğini kontrol ediyoruz: \(6 + 7 = 13 > 10\) — üçgen mevcuttur. En büyük kenar — \(10\).
Adım 2. İki küçük kenarın kareleri toplamını en büyüğün karesiyle karşılaştırıyoruz:
Adım 3. \(85 < 100\), yani kesrin payı negatiftir ve \(\cos C < 0\) — \(10\) kenarının karşısındaki açı geniştir. İstenirse açının kendisi de bulunabilir:
Cevap: üçgen geniş açılıdır. Dikkat edin: «göz kararı» bu görülmez — kenarlar neredeyse eşittir, ancak açı \(90°\)'yi çoktan geçmiştir.
Örnek 5. LGS seviyesi problem: paralelkenarın köşegeni
Problem. Bir paralelkenarın kenarları \(5\) ve \(8\), dar açısı \(60°\). Küçük köşegeni bulun.
Adım 1. Köşegen, iki kenarı (\(5\) ve \(8\)) ve aralarındaki açısı bilinen bir üçgen ayırır. Küçük köşegen \(60°\)'lik dar açının karşısındadır.
Adım 2. Hesaplıyoruz:
Adım 3. Kontrol. İkinci köşegen \(120°\)'lik açının karşısındadır (paralelkenarın komşu açıları toplamı \(180°\)): \(D^2 = 89 + 40 = 129\), yani \(D = \sqrt{129} \approx 11{,}4\). Köşegenlerin kareleri toplamı \(49 + 129 = 178\), kenarların kareleri toplamının iki katı ise \(2(25 + 64) = 178\). Eşleşti, yani hesap doğru.
Cevap: \(7\).
Kosinüs teoremi problemlerinde sık yapılan hatalar
-
Geniş açının kosinüsünü artı işaretli alırlar. $4$ ve $9$ kenarları ile aralarındaki $120°$ açısı için $c^2 = 16 + 81 - 2 \cdot 4 \cdot 9 \cdot 0{,}5 = 61$ yazıp $c \approx 7{,}8$ bulurlar.
\(\cos 120° = -0{,}5\) eder, eksi ile eksinin çarpımı artı eder: \(c^2 = 97 + 36 = 133\), yani \(c = \sqrt{133} \approx 11{,}5\). Hızlı kontrol: geniş açının karşısında en uzun kenar bulunur, bu yüzden cevap \(9\)'dan büyük olmak zorundadır.
-
Verilen kenarlar arasında kalmayan açıyı yerleştirirler: soruda bir açı verilmiştir ve çizime bakmadan «olduğu gibi» alırlar.
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\) yazımında \(a\) ve \(b\) kenarları \(C\) açısını oluşturur, \(c\) kenarı ise karşısındadır. Eğer bilinen açı aranan kenara komşuysa, bu yazım uygun değildir — üçünden diğeri veya sinüs teoremi gerekir.
-
Karekök almayı unutup kenarın karesini cevap olarak yazarlar: $c^2 = 225$ bulup «kenar 225'tir» derler.
Formül her zaman kenarın karesini verir. Son adım zorunludur: \(c = \sqrt{225} = 15\). Cevabı yazmadan önce soruyu tekrar okuyun.
-
Sonuçtaki terimlerin sırasını karıştırıp $\cos C = \dfrac{c^2 - a^2 - b^2}{2ab}$ yazarlar.
Doğru pay — \(a^2 + b^2 - c^2\): komşu kenarların kareleri toplamı eksi karşı kenarın karesi. Yer değiştirince kesrin işareti tersine döner ve \(120°\) geniş açı yerine \(60°\) dar açı çıkar.
-
Kosinüsün mutlak değerinden açı bulurlar: −0,25 bulurlar, ancak cevaba kosinüs +0,25'miş gibi dar açı yazarlar.
Negatif kosinüs her zaman geniş açıdır. İşareti kaybetmek olmaz: cos 60° = 0,5, cos 120° = −0,5; negatif sayının ark kosinüsü 90°'den büyüktür.
-
«İki kenar ve aralarındaki açı» problemini sinüs teoremiyle çözmeye çalışıp ilk satırda takılırlar.
Sinüs teoremi için hazır bir «kenar ve karşı açı» çifti gerekir. İki kenar ve aralarındaki açıda böyle bir çift yoktur — önce kosinüs teoremi üçüncü kenarı verir, ancak sonra sinüs teoremi devreye girer.
Sorular ve cevaplar
Kosinüs teoremi nasıl ifade edilir?
Bir üçgenin bir kenarının karesi, diğer iki kenarın kareleri toplamından, bu kenarların çarpımının iki katı ile aralarındaki açının kosinüsünün çarpımının çıkarılmasına eşittir: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Teorem sadece dik üçgenler için değil, her üçgen için doğrudur.
İki kenar ve aralarındaki açıdan üçgenin kenarı nasıl bulunur?
Verileri c² = a² + b² − 2ab·cos C formülüne yerleştirip karekök alın. Örneğin, 4 ve 6 kenarları ile aralarındaki 60° açısı için: c² = 16 + 36 − 2·4·6·0,5 = 28, yani c = √28 ≈ 5,3.
Üç kenarı bilinen üçgenin açısı nasıl bulunur?
Kosinüs teoreminden sonuç ile: cos C = (a² + b² − c²) / (2ab), burada c aranan açının karşısındaki kenardır. Örneğin, 2, 3 ve 4 kenarları için en büyük açının kosinüsü (4 + 9 − 16) / (2·2·3) = −0,25, yani açı geniştir, yaklaşık 104°.
Pisagor teoremi neden kosinüs teoreminin özel bir durumudur?
Çünkü dik açıda cos 90° = 0'dır ve −2ab·cos C terimi sıfırlanır. Formülden c² = a² + b² kalır — bu dik üçgen için Pisagor teoremidir.
Kosinüs teoremi geniş açılı üçgende çalışır mı?
Evet, hem de değişiklik olmadan çalışır. Geniş açının kosinüsü negatiftir, bu yüzden −2ab·cos C terimi pozitif olur ve kareler toplamına eklenir. İşte bu yüzden geniş açının karşısındaki kenar en uzun kenar olur.
Sinüs teoremi ne zaman, kosinüs teoremi ne zaman uygulanır?
Sinüs teoremi, soruda zaten bir «kenar ve karşısındaki açı» çifti varsa — örneğin bir kenar ve iki açı verilmişse — gerekir. Kosinüs teoremi — böyle bir çift yoksa: iki kenar ve aralarındaki açı veya üç kenar verilmişse. Genellikle problem iki adımda çözülür: önce kosinüsler, sonra sinüsler.
Üç kenardan üçgenin türü nasıl belirlenir?
En büyük kenarın karesi c² ile diğer iki kenarın kareleri toplamını karşılaştırın. Eğer a² + b² > c² — üçgen dar açılıdır, eğer a² + b² = c² — dik açılıdır, eğer a² + b² < c² — geniş açılıdır. Bu farkın işareti, en büyük açının kosinüsünün işaretiyle aynıdır.
Kosinüs teoremi kaçıncı sınıfta görülür?
- sınıfta geometri derslerinde, «Üçgenin kenarları ve açıları arasındaki ilişkiler» konusunda — sinüs teoremi ile birlikte. Sonrasında LGS ve YKS planimetri ve stereometri sorularında sürekli kullanılır.
