Решение задач на проценты, единицы измерения и анализ данных

Här är lösningarna på uppgifterna:

22. En av jordens regnigaste platser är ett berg på Hawaii.

a) Det regnar i genomsnitt 450 inches per år på berget. Hur många meter motsvarar det?
* Vi vet att 1 inch = 25,4 mm.
* Först omvandlar vi inches till millimeter: \(450 \text{ inches} \times 25,4 \text{ mm/inch} = 11430 \text{ mm}\).
* Sedan omvandlar vi millimeter till meter: \(11430 \text{ mm} / 1000 \text{ mm/m} = 11,43 \text{ m}\).
* Svar: Det regnar i genomsnitt 11,43 meter per år.

b) Ett år regnade det 350 av årets 365 dagar. Hur många procent av årets dagar regnade det?
* För att räkna ut procenten delar vi antalet dagar det regnade med det totala antalet dagar på året och multiplicerar med 100.
* \(\frac{350 \text{ dagar}}{365 \text{ dagar}} \times 100 \approx 95,89\%\)
* Svar: Det regnade på ungefär 95,89% av årets dagar.

23. Leilas familj har en vattenkran som läcker. Varannan sekund läcker den en droppe. En droppe vatten motsvarar 0,05 ml. Hur många liter vatten läcker vattenkranen varje dygn?

• Först räknar vi ut hur många sekunder det går på ett dygn: \(24 \text{ timmar/dygn} \times 60 \text{ minuter/timme} \times 60 \text{ sekunder/minut} = 86400 \text{ sekunder/dygn}\).
• Eftersom det läcker en droppe varannan sekund, blir antalet droppar per dygn: \(86400 \text{ sekunder} / 2 \text{ sekunder/droppe} = 43200 \text{ droppar/dygn}\).
• Nu räknar vi ut den totala mängden vatten i milliliter som läcker per dygn: \(43200 \text{ droppar} \times 0,05 \text{ ml/droppe} = 2160 \text{ ml/dygn}\).
• Slutligen omvandlar vi milliliter till liter: \(2160 \text{ ml} / 1000 \text{ ml/liter} = 2,16 \text{ liter/dygn}\).
• Svar: Vattenkranen läcker 2,16 liter vatten varje dygn.

24. Tabellen visar medelvärdet för hur mycket vatten en person i Sverige förbrukar per dygn. Vilket diagram stämmer med informationen i tabellen? Motivera ditt svar.

För att avgöra vilket diagram som stämmer behöver vi beräkna den totala vattenförbrukningen och sedan fördelningen i procent för varje kategori.

• Total vattenförbrukning per dygn: \(30 + 60 + 10 + 30 + 10 = 140\) liter.

Nu beräknar vi procentandelen för varje kategori:

• Disk och tvätt: \(\frac{30}{140} \times 100\% \approx 21,4\%\)
• Personlig hygien: \(\frac{60}{140} \times 100\% \approx 42,9\%\)
• Mat och dryck: \(\frac{10}{140} \times 100\% \approx 7,1\%\)
• Spolning i toalett: \(\frac{30}{140} \times 100\% \approx 21,4\%\)
• Övrigt: \(\frac{10}{140} \times 100\% \approx 7,1\%\)

Nu tittar vi på diagrammen A, B, C och D och jämför deras sektorer med dessa procentandelar.

• Diagram A: Ser ut att ha en stor gul sektor (ca 40-45%), en mindre blå (ca 20-25%), en grön (ca 5-10%), en svart (ca 20-25%) och en vit (ca 5-10%). Detta stämmer bra med våra beräkningar där personlig hygien är störst (42,9%), följt av disk/tvätt och spolning (båda 21,4%), och sedan mat/dryck och övrigt (båda 7,1%).
• Diagram B: Har en stor gul sektor, men de andra sektorerna verkar inte stämma lika bra.
• Diagram C: Har en stor gul sektor, men de andra sektorerna verkar inte stämma lika bra.
• Diagram D: Har en stor gul sektor, men de andra sektorerna verkar inte stämma lika bra.

Motivering: Diagram A stämmer bäst med informationen i tabellen. Den största sektorn (gul) representerar personlig hygien (ca 43%), vilket är den största förbrukningen. De två näst största sektorerna (blå och svart) representerar disk/tvätt och spolning i toalett (båda ca 21%). De minsta sektorerna (grön och vit) representerar mat/dryck och övrigt (båda ca 7%).

Här är lösningarna på uppgifterna:

22. En av jordens regnigaste platser är ett berg på Hawaii.

a) Det regnar i genomsnitt 450 inches per år på berget. Hur många meter motsvarar det?
* Vi vet att 1 inch = 25,4 mm.
* Först omvandlar vi inches till millimeter: \(450 \text{ inches} \times 25,4 \text{ mm/inch} = 11430 \text{ mm}\).
* Sedan omvandlar vi millimeter till meter: \(11430 \text{ mm} / 1000 \text{ mm/m} = 11,43 \text{ m}\).
* Svar: Det regnar i genomsnitt 11,43 meter per år.

b) Ett år regnade det 350 av årets 365 dagar. Hur många procent av årets dagar regnade det?
* För att räkna ut procenten delar vi antalet dagar det regnade med det totala antalet dagar på året och multiplicerar med 100.
* \(\frac{350 \text{ dagar}}{365 \text{ dagar}} \times 100 \approx 95,89\%\)
* Svar: Det regnade på ungefär 95,89% av årets dagar.

23. Leilas familj har en vattenkran som läcker. Varannan sekund läcker den en droppe. En droppe vatten motsvarar 0,05 ml. Hur många liter vatten läcker vattenkranen varje dygn?

• Först räknar vi ut hur många sekunder det går på ett dygn: \(24 \text{ timmar/dygn} \times 60 \text{ minuter/timme} \times 60 \text{ sekunder/minut} = 86400 \text{ sekunder/dygn}\).
• Eftersom det läcker en droppe varannan sekund, blir antalet droppar per dygn: \(86400 \text{ sekunder} / 2 \text{ sekunder/droppe} = 43200 \text{ droppar/dygn}\).
• Nu räknar vi ut den totala mängden vatten i milliliter som läcker per dygn: \(43200 \text{ droppar} \times 0,05 \text{ ml/droppe} = 2160 \text{ ml/dygn}\).
• Slutligen omvandlar vi milliliter till liter: \(2160 \text{ ml} / 1000 \text{ ml/liter} = 2,16 \text{ liter/dygn}\).
• Svar: Vattenkranen läcker 2,16 liter vatten varje dygn.

24. Tabellen visar medelvärdet för hur mycket vatten en person i Sverige förbrukar per dygn. Vilket diagram stämmer med informationen i tabellen? Motivera ditt svar.

För att avgöra vilket diagram som stämmer behöver vi beräkna den totala vattenförbrukningen och sedan fördelningen i procent för varje kategori.

• Total vattenförbrukning per dygn: \(30 + 60 + 10 + 30 + 10 = 140\) liter.

Nu beräknar vi procentandelen för varje kategori:

• Disk och tvätt: \(\frac{30}{140} \times 100\% \approx 21,4\%\)
• Personlig hygien: \(\frac{60}{140} \times 100\% \approx 42,9\%\)
• Mat och dryck: \(\frac{10}{140} \times 100\% \approx 7,1\%\)
• Spolning i toalett: \(\frac{30}{140} \times 100\% \approx 21,4\%\)
• Övrigt: \(\frac{10}{140} \times 100\% \approx 7,1\%\)

Nu tittar vi på diagrammen A, B, C och D och jämför deras sektorer med dessa procentandelar.

• Diagram A: Ser ut att ha en stor gul sektor (ca 40-45%), en mindre blå (ca 20-25%), en grön (ca 5-10%), en svart (ca 20-25%) och en vit (ca 5-10%). Detta stämmer bra med våra beräkningar där personlig hygien är störst (42,9%), följt av disk/tvätt och spolning (båda 21,4%), och sedan mat/dryck och övrigt (båda 7,1%).
• Diagram B: Har en stor gul sektor, men de andra sektorerna verkar inte stämma lika bra.
• Diagram C: Har en stor gul sektor, men de andra sektorerna verkar inte stämma lika bra.
• Diagram D: Har en stor gul sektor, men de andra sektorerna verkar inte stämma lika bra.

Motivering: Diagram A stämmer bäst med informationen i tabellen. Den största sektorn (gul) representerar personlig hygien (ca 43%), vilket är den största förbrukningen. De två näst största sektorerna (blå och svart) representerar disk/tvätt och spolning i toalett (båda ca 21%). De minsta sektorerna (grön och vit) representerar mat/dryck och övrigt (båda ca 7%).

Här är lösningarna på de återstående uppgifterna:

25. Flaska A och Flaska B.

Texten på flaskorna talar om hur saften ska blandas med vatten.
* Flaska A: Blandas 1 + 7, vilket innebär 1 del saft och 7 delar vatten. Totalt 8 delar.
* Flaska B: Blandas 1 + 3, vilket innebär 1 del saft och 3 delar vatten. Totalt 4 delar.

Vi vill veta vilken flaska som har lägsta priset för en liter färdigblandad saft. Vi behöver räkna ut hur mycket saft det går åt för att få 1 liter färdig dryck från varje flaska och sedan multiplicera med priset per flaska.

• Flaska A:

  • För att få 1 liter färdig saft behöver vi \(\frac{1}{8}\) liter saftkoncentrat.
  • Priset för \(\frac{1}{8}\) liter saftkoncentrat är \(\frac{29,95 \text{ kr}}{8} \approx 3,74 \text{ kr}\).
  • Pris per liter färdigblandad saft från Flaska A: ca 3,74 kr.

• Flaska B:

  • För att få 1 liter färdig saft behöver vi \(\frac{1}{4}\) liter saftkoncentrat.
  • Priset för \(\frac{1}{4}\) liter saftkoncentrat är \(\frac{23,50 \text{ kr}}{4} = 5,875 \text{ kr}\).
  • Pris per liter färdigblandad saft från Flaska B: ca 5,88 kr.

Svar: Flaska A har det lägsta priset för en liter färdigblandad saft (ca 3,74 kr jämfört med ca 5,88 kr för Flaska B).

26. Vattenlandet.

En familj med två vuxna och tre ungdomar besöker Vattenlandet. Vuxna betalar fullt pris. Ungdomar får 30 % rabatt på priset. Tillsammans betalar alla fem 1 025 kr. Vad kostar en biljett för en vuxen?

Låt \(V\) vara priset för en vuxenbiljett och \(U\) vara priset för en ungdomsbiljett.

• Ungdomar får 30 % rabatt, vilket betyder att de betalar 70 % av vuxenpriset.
  \(U = 0,70 \times V\)

• Familjen består av 2 vuxna och 3 ungdomar. Den totala kostnaden är 1 025 kr.
  \(2 \times V + 3 \times U = 1025\)

Nu kan vi ersätta \(U\) i den andra ekvationen med uttrycket från den första ekvationen:
\(2V + 3 \times (0,70V) = 1025\)
\(2V + 2,10V = 1025\)
\(4,10V = 1025\)

Nu löser vi för \(V\):
\(V = \frac{1025}{4,10}\)
\(V \approx 250\)

Svar: En biljett för en vuxen kostar 250 kr.