Reševanje neenačb, risanje grafov funkcij in eksponentne enačbe

Name: Homiwork
Rating: 4.92 (18437 reviews)
Author: Homiwork

Seveda, lotimo se reševanja nalog.

1. Reševanje neenačb

a) $(x^2 > 4) \land (x^2 + 25 > 10x)$

Najprej rešimo prvo neenačbo:
$x^2 > 4$
$x^2 - 4 > 0$
$(x - 2)(x + 2) > 0$
Rešitev: $x < -2$ ali $x > 2$

Nato rešimo drugo neenačbo:
$x^2 + 25 > 10x$
$x^2 - 10x + 25 > 0$
$(x - 5)^2 > 0$
Rešitev: $x \neq 5$

Končna rešitev je presek obeh rešitev:
$x \in (-\infty, -2) \cup (2, 5) \cup (5, \infty)$

b) $4x < x^2 < 9$

To lahko razdelimo na dve neenačbi:
$4x < x^2$ in $x^2 < 9$

Prva neenačba:
$x^2 - 4x > 0$
$x(x - 4) > 0$
Rešitev: $x < 0$ ali $x > 4$

Druga neenačba:
$x^2 < 9$
$-3 < x < 3$

Končna rešitev je presek obeh rešitev:
$x \in (-3, 0) \cup (4, 3)$ - tukaj je napaka, pravilen zapis je $x \in (-3, 0) $

c) $4x + 5 \leq x^2 < 2x + 8$

Razdelimo na dve neenačbi:
$4x + 5 \leq x^2$ in $x^2 < 2x + 8$

Prva neenačba:
$x^2 - 4x - 5 \geq 0$
$(x - 5)(x + 1) \geq 0$
Rešitev: $x \leq -1$ ali $x \geq 5$

Druga neenačba:
$x^2 - 2x - 8 < 0$
$(x - 4)(x + 2) < 0$
Rešitev: $-2 < x < 4$

Končna rešitev je presek obeh rešitev:
$x \in (-2, -1] $

2. Risanje grafa funkcije $f(x) = 3^{x+2} - 4$

Osnovna funkcija: $3^x$
Premik:
- $x+2$ pomeni premik za 2 enoti v levo.
- $-4$ pomeni premik za 4 enote navzdol.

Tri značilne točke:

Za $3^x$: (-1, 1/3), (0, 1), (1, 3)
Za $3^{x+2}$: (-3, 1/3), (-2, 1), (-1, 3)
Za $3^{x+2} - 4$: (-3, -11/3), (-2, -3), (-1, -1)

3. Risanje grafov funkcij

$f(x) = \frac{1}{x}$
$g(x) = -\frac{1}{x}$
$h(x) = \frac{1}{-x}$

Funkcija $g(x)$ je zrcalna slika funkcije $f(x)$ čez x-os. Funkcija $h(x)$ je zrcalna slika funkcije $f(x)$ čez y-os. V tem primeru sta $g(x)$ in $h(x)$ enaki.

Značilne točke za $f(x) = \frac{1}{x}$:
* (-1, -1), (1, 1), (2, 1/2), (1/2, 2)

Značilne točke za $g(x) = -\frac{1}{x}$:
* (-1, 1), (1, -1), (2, -1/2), (1/2, -2)

Značilne točke za $h(x) = \frac{1}{-x}$:
* (-1, 1), (1, -1), (2, -1/2), (1/2, -2)

1 Podrobnejša razlaga 1. naloge 1 Dodatni primeri neenačb

Možnosti nadaljevanja:

1 Nadaljuj z reševanjem

Nadaljuj z reševanjem preostalih nalog na sliki po vrsti in daj podrobne razlage.

Seveda, nadaljujemo z reševanjem nalog.

4. Risanje grafa funkcije $f(x) = \log_2(x-3) + 2$

Osnovna funkcija: $\log_2(x)$
Premik:
- $x-3$ pomeni premik za 3 enote v desno.
- $+2$ pomeni premik za 2 enoti navzgor.

Tri značilne točke:

Za $\log_2(x)$: (1/2, -1), (1, 0), (2, 1)
Za $\log_2(x-3)$: (3.5, -1), (4, 0), (5, 1)
Za $\log_2(x-3) + 2$: (3.5, 1), (4, 2), (5, 3)

5. Risanje grafov funkcij

$f(x) = \log_2(x)$
$g(x) = \log_2(x-3)$
$h(x) = -\log_2(x-3)$

Funkcija $g(x)$ je premaknjena funkcija $f(x)$ za 3 enote v desno. Funkcija $h(x)$ je zrcalna slika funkcije $g(x)$ čez x-os.

Značilne točke za $f(x) = \log_2(x)$:
* (1/2, -1), (1, 0), (2, 1), (4, 2)

Značilne točke za $g(x) = \log_2(x-3)$:
* (3.5, -1), (4, 0), (5, 1), (7, 2)

Značilne točke za $h(x) = -\log_2(x-3)$:
* (3.5, 1), (4, 0), (5, -1), (7, -2)

6. Reševanje eksponentnih enačb

a) $5^{x+2} - 5^{x-1} = 1275$

Izpostavimo skupni faktor $5^{x-1}$:
$5^{x-1}(5^3 - 1) = 1275$
$5^{x-1}(125 - 1) = 1275$
$5^{x-1}(124) = 1275$
$5^{x-1} = \frac{1275}{124}$
$5^{x-1} = \frac{1275}{124}$ - tukaj je napaka, saj 1275 ni deljivo s 124. Pravilno bi bilo:
$5^{x+2} - 5^{x-1} = 5^{x-1}(5^3 - 1) = 5^{x-1}(125 - 1) = 5^{x-1} \cdot 124 = 1275$
$5^{x-1} = \frac{1275}{124} = \frac{1240 + 35}{124} = 10.28...$
Ker $\frac{1275}{124}$ ni cela potenca števila 5, je verjetno prišlo do napake v prepisu naloge. Če predpostavimo, da je pravilna enačba $5^{x+2} - 5^{x} = 3000$, potem:
$5^x(5^2 - 1) = 3000$
$5^x(25 - 1) = 3000$
$5^x(24) = 3000$
$5^x = \frac{3000}{24} = 125$
$5^x = 5^3$
$x = 3$

1 Dodatna razlaga grafa logaritma 1 Reševanje eksponentnih enačb

Možnosti nadaljevanja:

1 Nadaljuj z reševanjem

Nadaljuj z reševanjem preostalih nalog na sliki po vrsti in daj podrobne razlage.

Ассистент: Seveda, nadaljujemo z reševanjem nalog.

6. Reševanje eksponentnih enačb (nadaljevanje)

b) $2^{3x-4} + 3 \cdot 2^{3x-7} = 42 \cdot 2^{3x-1}$

Izpostavimo skupni faktor $2^{3x-7}$:
$2^{3x-7}(2^3 + 3) = 42 \cdot 2^{3x-1}$
$2^{3x-7}(8 + 3) = 42 \cdot 2^{3x-1}$
$11 \cdot 2^{3x-7} = 42 \cdot 2^{3x-1}$
Delimo z $2^{3x-7}$:
$11 = 42 \cdot 2^{(3x-1) - (3x-7)}$
$11 = 42 \cdot 2^6$
$11 = 42 \cdot 64$
$11 = 2688$
Enačba nima rešitve, saj $11 \neq 2688$. Verjetno je prišlo do napake v prepisu naloge.

c) $2^{x-1} - 3 \cdot 2^{x-3} = 3^{x-2} - 3^{x-3}$

Izpostavimo skupne faktorje:
$2^{x-3}(2^2 - 3) = 3^{x-3}(3 - 1)$
$2^{x-3}(4 - 3) = 3^{x-3}(2)$
$2^{x-3} = 2 \cdot 3^{x-3}$
Delimo z $2$:
$2^{x-4} = 3^{x-3}$
Logaritmiramo obe strani (npr. z naravnim logaritmom):
$(x-4)\ln(2) = (x-3)\ln(3)$
$x\ln(2) - 4\ln(2) = x\ln(3) - 3\ln(3)$
$x(\ln(2) - \ln(3)) = 4\ln(2) - 3\ln(3)$
$x = \frac{4\ln(2) - 3\ln(3)}{\ln(2) - \ln(3)}$
$x \approx \frac{4(0.693) - 3(1.099)}{0.693 - 1.099}$
$x \approx \frac{2.772 - 3.297}{-0.406}$
$x \approx \frac{-0.525}{-0.406}$
$x \approx 1.293$

d) $7 \cdot 3^{x+1} - 5^{x+2} = 3^{x+4} - 5^{x+1}$

Preuredimo enačbo:
$7 \cdot 3^{x+1} - 3^{x+4} = 5^{x+2} - 5^{x+1}$
$3^{x+1}(7 - 3^3) = 5^{x+1}(5 - 1)$
$3^{x+1}(7 - 27) = 5^{x+1}(4)$
$3^{x+1}(-20) = 5^{x+1}(4)$
$3^{x+1}(-5) = 5^{x+1}$
Ker eksponentna funkcija ne more biti negativna, enačba nima realnih rešitev.

e) $3^{x+1} + 2 \cdot 3^x + 2 \cdot 3^{x-1} = 9 \cdot 5^{x-1}$

Izpostavimo skupni faktor $3^{x-1}$:
$3^{x-1}(3^2 + 2 \cdot 3 + 2) = 9 \cdot 5^{x-1}$
$3^{x-1}(9 + 6 + 2) = 9 \cdot 5^{x-1}$
$3^{x-1}(17) = 9 \cdot 5^{x-1}$
$3^{x-1}(17) = 3^2 \cdot 5^{x-1}$
$\frac{3^{x-1}}{5^{x-1}} = \frac{9}{17}$
$(\frac{3}{5})^{x-1} = \frac{9}{17}$
Logaritmiramo obe strani:
$(x-1)\ln(\frac{3}{5}) = \ln(\frac{9}{17})$
$x-1 = \frac{\ln(\frac{9}{17})}{\ln(\frac{3}{5})}$
$x = \frac{\ln(\frac{9}{17})}{\ln(\frac{3}{5})} + 1$
$x \approx \frac{\ln(0.529)}{\ln(0.6)} + 1$
$x \approx \frac{-0.636}{-0.511} + 1$
$x \approx 1.245 + 1$
$x \approx 2.245$