Масштаб карты показывает, во сколько раз расстояние на карте меньше настоящего расстояния на местности. Именно он позволяет с линейкой в руках узнать, сколько километров между двумя городами, не выходя из дома. Разберём три вида масштаба — численный, именованный и линейный, научимся переводить один в другой, рассчитывать расстояние по карте и определять масштаб самостоятельно. В конце — интерактивный тренажёр с задачами.
Что такое масштаб карты
Масштаб — это отношение длины отрезка на карте (или плане) к длине соответствующего отрезка на местности. Записывают его как отношение двух чисел: 1 : 200 000. Первое число всегда единица — это 1 см на карте. Второе число, знаменатель, показывает, скольким сантиметрам на местности этот сантиметр соответствует.
Масштаб 1 : 200 000 означает, что все расстояния на карте уменьшены в 200 000 раз. Значит, 1 см на карте — это 200 000 см на местности, то есть 2 км.
Обе части отношения выражены в одних и тех же единицах — в сантиметрах, поэтому у масштаба нет единиц измерения: запись «1 : 200 000 км» неверна. Масштаб есть у любой карты, плана местности, чертежа и макета — его подписывают внизу карты или в её легенде.
Виды масштаба: численный, именованный и линейный
Один и тот же масштаб записывают тремя способами — все три означают ровно одно и то же:
- Численный масштаб — отношение чисел: 1 : 100 000. Универсальная запись, с ней удобно считать.
- Именованный масштаб — словами: в 1 см — 1 км. Сразу видно, сколько километров «помещается в сантиметре».
- Линейный масштаб — линейка-шкала под картой с подписанными делениями. По ней расстояние читают напрямую, без вычислений.
Чтобы перевести численный масштаб в именованный, знаменатель делят на 100 (получатся метры) или на 100 000 (получатся километры) — ведь 1 м = 100 см, а 1 км = 100 000 см. Обратный перевод, именованный в численный, делается так же наоборот: величину переводят в сантиметры и ставят в знаменатель.
| Численный масштаб | Именованный |
|---|---|
| 1 : 1001 см = 100 см | 1 м |
| 1 : 50001 см = 5000 см | 50 м |
| 1 : 25 0001 см = 25 000 см | 250 м |
| 1 : 100 0001 см = 100 000 см | 1 км |
| 1 : 200 0001 см = 200 000 см | 2 км |
| 1 : 1 000 0001 см = 1 000 000 см | 10 км |
Линейный масштаб: как измерить расстояние без вычислений
Линейный масштаб — это готовая шкала, нарисованная под картой: её деления уже подписаны в метрах или километрах, поэтому умножать и делить не нужно.
Как им пользоваться:
- Измерь отрезок на карте циркулем-измерителем или отметь его длину на краешке полоски бумаги.
- Приложи отрезок к шкале так, чтобы правый конец попал точно на целое деление.
- Левый конец окажется в делении слева от нуля — оно специально разбито на мелкие части. По ним читают остаток: сотни метров.
- Сложи целые деления и остаток — это и есть расстояние на местности.
На шкале ниже правый конец отрезка стоит на делении «2», а левый попал на 400 м левее нуля. Длина отрезка — 2 км + 400 м = 2,4 км.
Как рассчитать расстояние по карте и определить масштаб
Почти все школьные задачи на масштаб — это три обратные друг другу операции.
Расстояние на местности. Измерь отрезок на карте в сантиметрах и умножь на знаменатель масштаба — получишь сантиметры на местности. Затем переведи их в метры (÷ 100) или километры (÷ 100 000).
Масштаб карты. Если известно настоящее расстояние и длина отрезка на карте, переведи расстояние в сантиметры и раздели на длину отрезка. Полученное число и есть знаменатель масштаба.
Длина отрезка на карте. Расстояние на местности переведи в сантиметры и раздели на знаменатель масштаба.
Вся арифметика держится на одной цепочке единиц, которую стоит выучить наизусть: 1 м = 100 см, 1 км = 1000 м = 100 000 см.
Крупный и мелкий масштаб карты
Здесь ошибаются чаще всего. Правило одно: чем больше знаменатель, тем мельче масштаб. Масштаб — это дробь 1/200 000, а из двух дробей больше та, у которой знаменатель меньше.
- Крупный масштаб (1 : 5000, 1 : 10 000) — маленький знаменатель, уменьшение слабое. Изображение подробное: видны отдельные дома и тропинки, но на листе помещается небольшой участок. Так делают планы местности.
- Мелкий масштаб (1 : 10 000 000) — огромный знаменатель, уменьшение сильное. На одном листе умещается целый материк, зато детали пропадают: остаются только крупные города, реки и горные системы.
По масштабу карты делят на крупномасштабные (от 1 : 10 000 до 1 : 200 000), среднемасштабные (от 1 : 200 000 до 1 : 1 000 000) и мелкомасштабные (мельче 1 : 1 000 000). Планы местности всегда крупнее 1 : 10 000.
Примеры решения задач на масштаб
Пример 1. Расстояние по карте → на местности
Задача. Масштаб карты 1 : 200 000. Расстояние между двумя посёлками на карте — 3 см. Сколько километров между ними на местности?
Шаг 1. Знаменатель масштаба — 200 000. Значит, 1 см на карте = 200 000 см на местности.
Шаг 2. Умножаем длину отрезка на знаменатель: 3 × 200 000 = 600 000 см.
Шаг 3. Переводим сантиметры в метры: 600 000 ÷ 100 = 6000 м.
Шаг 4. Метры в километры: 6000 ÷ 1000 = 6 км.
Ответ: 6 км. Короткий путь: 600 000 ÷ 100 000 = 6 км, ведь 1 км = 100 000 см.
Пример 2. Как определить масштаб карты
Задача. Известно, что между городами 12 км, а на карте это расстояние равно 8 см. Определи численный масштаб карты.
Шаг 1. Переводим настоящее расстояние в сантиметры: 12 км × 100 000 = 1 200 000 см.
Шаг 2. Делим на длину отрезка на карте: 1 200 000 ÷ 8 = 150 000.
Шаг 3. Записываем ответ отношением: 1 : 150 000.
Проверка. Обратным ходом: 8 × 150 000 = 1 200 000 см = 12 км. Сходится.
Ответ: масштаб 1 : 150 000, именованный — в 1 см 1,5 км.
Пример 3. Какой длины будет отрезок на карте
Задача. Масштаб плана 1 : 25 000. Какой длины будет на нём отрезок, изображающий дорогу длиной 3 км?
Шаг 1. Переводим расстояние в сантиметры: 3 км × 100 000 = 300 000 см.
Шаг 2. Делим на знаменатель масштаба: 300 000 ÷ 25 000 = 12 см.
Проверка. 12 × 25 000 = 300 000 см = 3 км. Сходится.
Ответ: 12 см. Обрати внимание: здесь мы делим, а не умножаем — задача обратная первой.
Пример 4. Перевод масштаба из вида в вид
Задача. Переведи масштаб 1 : 25 000 в именованный, а именованный «в 1 см 500 м» — в численный.
Численный → именованный. Знаменатель 25 000 — это сантиметры. Делим на 100: 25 000 ÷ 100 = 250 м. Получаем «в 1 см — 250 м».
Именованный → численный. Переводим 500 м в сантиметры: 500 × 100 = 50 000 см. Ставим это число в знаменатель: 1 : 50 000.
Подсказка. Если знаменатель делится на 100 000, ответ сразу получается в километрах: 1 : 500 000 → 500 000 ÷ 100 000 = 5, то есть «в 1 см 5 км».
Частые ошибки при работе с масштабом
-
Считают, что 1 : 1 000 000 — «крупный» масштаб, ведь число большое, а 1 : 5000 — «мелкий».
Наоборот. Масштаб — это дробь 1/1 000 000, и чем больше знаменатель, тем меньше дробь и тем мельче масштаб. 1 : 5000 крупнее, чем 1 : 1 000 000, в двести раз.
-
Теряют нули при переводе сантиметров в километры: 600 000 см записывают как 60 км или 600 км.
Запомни цепочку: 1 км = 1000 м = 100 000 см. Делить надо на 100 000, а не на 10 000 и не на 1000: 600 000 ÷ 100 000 = 6 км. Надёжный приём — считать в два шага: сначала ÷ 100 (метры), потом ÷ 1000 (километры).
-
В обратной задаче умножают вместо деления: чтобы найти длину отрезка на карте, умножают расстояние на знаменатель.
На карте всё уменьшено, значит длина отрезка меньше — умножать нельзя. От местности к карте всегда делим на знаменатель, от карты к местности — умножаем. Быстрая проверка: ответ «отрезок на карте 400 см» для 4 км явно абсурден.
-
Пишут единицы измерения в масштабе: «1 : 100 000 км» или «1 см : 1 км».
Численный масштаб — отношение одноимённых величин, поэтому единиц у него нет: правильно «1 : 100 000». А запись со словами — это уже именованный масштаб, и он оформляется иначе: «в 1 см — 1 км».
-
Извилистую реку или дорогу измеряют линейкой по прямой между конечными точками.
Так получится длина по прямой, а не длина маршрута. Кривую линию измеряют курвиметром, ниткой, которую потом распрямляют и прикладывают к линейке, или разбивают на короткие прямые отрезки и складывают их длины — и только потом умножают на масштаб.
Вопросы и ответы
Что показывает масштаб карты?
Масштаб показывает, во сколько раз расстояния на карте уменьшены по сравнению с настоящими расстояниями на местности. Масштаб 1 : 200 000 означает уменьшение в 200 000 раз: одному сантиметру на карте соответствуют 200 000 см, то есть 2 км на местности.
Как определить масштаб карты, если он не подписан?
Нужно знать хотя бы одно реальное расстояние. Измерь этот отрезок на карте в сантиметрах, переведи известное расстояние в сантиметры (1 км = 100 000 см) и раздели одно на другое. Например, 20 км = 2 000 000 см, отрезок 8 см: 2 000 000 ÷ 8 = 250 000, масштаб 1 : 250 000.
Какой масштаб крупнее: 1 : 10 000 или 1 : 100 000?
Крупнее 1 : 10 000, потому что у него меньше знаменатель и слабее уменьшение. На такой карте видно больше подробностей, но помещается меньшая территория. Правило простое: чем больше знаменатель, тем мельче масштаб.
Сколько сантиметров в 1 километре?
В одном километре 100 000 сантиметров: 1 км = 1000 м, а 1 м = 100 см, значит 1000 × 100 = 100 000 см. Именно поэтому масштаб 1 : 100 000 читается как «в 1 см — 1 км».
Чем масштаб плана местности отличается от масштаба карты?
Принцип один и тот же, различается только величина. У плана масштаб крупный — обычно 1 : 5000 и крупнее, поэтому на нём видны отдельные здания, дорожки и деревья. У карт масштаб мельче, зато охват территории больше — вплоть до всего мира.
Как пользоваться линейным масштабом на карте?
Отложи измеренный отрезок на шкале так, чтобы правый конец пришёлся на целое деление. Левый конец попадёт в деление слева от нуля, разбитое на мелкие части, — по ним читают остаток в сотнях метров. Сумма целых делений и остатка и есть расстояние; вычислять ничего не нужно.
