Формулы сокращённого умножения (ФСУ) — это готовые алгебраические тождества, которые позволяют раскрывать скобки и раскладывать выражения на множители без долгого перемножения. На этой странице — таблица всех семи формул: квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности, сумма и разность кубов. Каждую формулу разбираем с выводом и примерами, а в конце — интерактивный тренажёр, где можно сразу потренироваться применять ФСУ.
Что такое формулы сокращённого умножения
Формулы сокращённого умножения — это тождества, которые получаются, если один раз аккуратно перемножить многочлены и запомнить результат. Дальше уже не нужно каждый раз раскрывать скобки: достаточно узнать «шаблон» и подставить свои числа или буквы.
В школьном курсе алгебры 7 класса ФСУ работают в двух направлениях:
- слева направо — чтобы быстро раскрыть скобки и возвести выражение в квадрат или куб;
- справа налево — чтобы разложить многочлен на множители (это нужно для сокращения дробей и решения уравнений).
Всего запоминают семь формул. Ниже — таблица-памятка, а затем разбор каждой формулы отдельно.
Таблица формул сокращённого умножения
Все семь формул сокращённого умножения удобно держать перед глазами одной таблицей. Буквы \(a\) и \(b\) здесь — любые выражения: число, переменная или целый одночлен вроде \(2x\).
| Формула | Запись |
|---|---|
| Квадрат суммы | (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 |
| Квадрат разности | (a − b)2 = a2 − 2ab + b2 |
| Разность квадратов | a2 − b2 = (a − b)(a + b) |
| Куб суммы | (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 |
| Куб разности | (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3 |
| Сумма кубов | a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2) |
| Разность кубов | a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2) |
Квадрат суммы и квадрат разности
Квадрат суммы получается, если перемножить \((a+b)\) само на себя:
Словами: квадрат суммы равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго. Точно так же выводится квадрат разности — знак у среднего члена становится минусом:
Главное — не потерять средний член \(2ab\): именно из-за него \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\). У квадрата суммы и квадрата разности отличается только знак перед \(2ab\), а крайние члены \(a^2\) и \(b^2\) всегда со знаком плюс.
Пример. \((x+3)^2 = x^2 + 2\cdot x\cdot 3 + 3^2 = x^2 + 6x + 9.\)
У квадрата суммы есть наглядный геометрический смысл: это площадь большого квадрата со стороной \((a+b)\).
Разность квадратов
Если перемножить сумму и разность одних и тех же выражений, средние члены взаимно уничтожаются:
Получается формула разности квадратов: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Это самая полезная ФСУ для разложения на множители: как только видишь разность двух квадратов — сразу раскладывай в произведение.
Пример (раскрыть скобки). \((x-7)(x+7) = x^2 - 49.\)
Пример (разложить на множители). \(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4).\)
Важно: сумма квадратов \(a^2 + b^2\) на множители по этой формуле не раскладывается — работает только разность.
Куб суммы, куб разности, сумма и разность кубов
Куб суммы и куб разности содержат уже четыре слагаемых:
У куба разности знаки чередуются: \(+\,-\,+\,-\). И снова частая ловушка: \((a+b)^3 \neq a^3 + b^3\) — нельзя просто «раздать» степень, средние члены \(3a^2b\) и \(3ab^2\) терять нельзя.
Пример. \((x+2)^3 = x^3 + 3x^2\cdot 2 + 3x\cdot 2^2 + 2^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Отдельно стоят сумма и разность кубов — они, наоборот, раскладывают выражение на множители:
Второй множитель называют неполным квадратом суммы или разности. Знак в его среднем члене всегда противоположен знаку в первой скобке: у суммы кубов — \(-ab\), у разности кубов — \(+ab\).
Пример. \(x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4).\)
Примеры применения формул сокращённого умножения
Пример 1. Раскрыть скобки: квадрат суммы
Задание. Возвести в квадрат \((2x+5)^2\).
Шаг 1. Узнаём формулу квадрата суммы: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = 2x\), \(b = 5\).
Шаг 2. Считаем каждый член:
- \(a^2 = (2x)^2 = 4x^2\);
- \(2ab = 2\cdot 2x\cdot 5 = 20x\);
- \(b^2 = 5^2 = 25\).
Ответ. \((2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25.\)
Пример 2. Свернуть в формулу разности квадратов
Задание. Найти произведение \((3x-4)(3x+4)\).
Шаг 1. Перед нами произведение разности и суммы одинаковых выражений — это разность квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\), где \(a = 3x\), \(b = 4\).
Шаг 2. Возводим в квадрат каждое выражение: \(a^2 = (3x)^2 = 9x^2\), \(b^2 = 4^2 = 16\).
Ответ. \((3x-4)(3x+4) = 9x^2 - 16.\)
Пример 3. Разложить на множители
Задание. Разложить на множители \(x^2 - 36\) и \(x^3 + 27\).
Разность квадратов. \(x^2 - 36 = x^2 - 6^2 = (x-6)(x+6).\)
Сумма кубов. Замечаем, что \(27 = 3^3\), значит \(x^3 + 27 = x^3 + 3^3\). Применяем формулу \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) при \(a = x\), \(b = 3\):
Обрати внимание на знак \(-3x\) в неполном квадрате — у суммы кубов средний член со знаком минус.
Пример 4. Куб суммы
Задание. Раскрыть скобки \((x+2)^3\).
Шаг 1. Формула куба суммы: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\), где \(a = x\), \(b = 2\).
Шаг 2. Считаем члены по порядку:
- \(a^3 = x^3\);
- \(3a^2b = 3\cdot x^2\cdot 2 = 6x^2\);
- \(3ab^2 = 3\cdot x\cdot 2^2 = 12x\);
- \(b^3 = 2^3 = 8\).
Ответ. \((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8.\)
Частые ошибки при работе с ФСУ
-
Забывают удвоенное произведение: пишут $(a+b)^2 = a^2 + b^2$.
В квадрате суммы и разности всегда есть средний член \(2ab\): \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Проверить легко — раскрой \((a+b)(a+b)\) в столбик, и средний член появится сам.
-
Путают знаки в квадрате разности и в разности квадратов.
В квадрате разности минус стоит только у среднего члена: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\) (крайние — с плюсом). А в разности квадратов минус — между самими квадратами: \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Это разные формулы.
-
«Раздают» степень у куба: $(a+b)^3 = a^3 + b^3$.
Так делать нельзя. Куб суммы содержит четыре члена: \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\). Формула \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — это совсем другое (сумма кубов), она про разложение на множители.
-
В неполном квадрате у суммы/разности кубов ставят удвоенное произведение $2ab$.
Неполный квадрат — это \(a^2 \pm ab + b^2\), без двойки перед \(ab\). Знак противоположен знаку первой скобки: сумма кубов \((a+b)(a^2 - ab + b^2)\), разность кубов \((a-b)(a^2 + ab + b^2)\).
-
Пытаются разложить сумму квадратов $a^2 + b^2$ на множители.
На множители раскладывается только разность квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Сумма квадратов \(a^2 + b^2\) в школьном курсе на множители не раскладывается.
Вопросы и ответы
Сколько всего формул сокращённого умножения?
Семь: квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов, куб суммы, куб разности, сумма кубов и разность кубов. Все они собраны в таблице выше.
Чему равен квадрат суммы?
Квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого на второе плюс квадрат второго: \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). У квадрата разности средний член со знаком минус: \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
Как разложить разность квадратов на множители?
По формуле \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Например, \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 = (x-5)(x+5)\). Достаточно увидеть, что оба слагаемых — полные квадраты, а между ними стоит минус.
Почему $(a+b)^2$ не равно $a^2 + b^2$?
Потому что при перемножении \((a+b)(a+b)\) появляются ещё два одинаковых слагаемых \(ab\), которые дают средний член \(2ab\). Его нельзя терять: правильно \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\).
Чем отличается куб суммы от суммы кубов?
Куб суммы \((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\) — это раскрытие скобок. Сумма кубов \(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)\) — наоборот, разложение выражения на множители. Это разные формулы, не путай их.
В каком классе проходят формулы сокращённого умножения?
Обычно в 7 классе на уроках алгебры: сначала квадрат суммы и разности, разность квадратов, затем формулы для кубов. Их активно используют дальше при упрощении выражений, сокращении дробей и решении уравнений.
