Решение задач по математике: кратность, уравнения, задачи на движение

Привет! Сейчас решим номера 85, 93 и 98.

Задание 85

Необходимо записать наименьшие числа, удовлетворяющие заданным условиям.

1) Наименьшее четырёхзначное число, кратное 3:
* Наименьшее четырёхзначное число - это 1000.
* Проверим, делится ли 1000 на 3: \(1000 \div 3 = 333.333...\) (не делится).
* Следующее число, кратное 3, это 1002 (так как сумма цифр \(1 + 0 + 0 + 2 = 3\), а 3 делится на 3).

2) Наименьшее пятизначное число, кратное 9:
* Наименьшее пятизначное число - это 10000.
* Проверим, делится ли 10000 на 9: \(10000 \div 9 = 1111.111...\) (не делится).
* Следующее число, кратное 9, это 10008 (так как сумма цифр \(1 + 0 + 0 + 0 + 8 = 9\), а 9 делится на 9).

3) Наименьшее шестизначное число, кратное 3 и 2:
* Наименьшее шестизначное число - это 100000.
* Чтобы число делилось на 2, оно должно быть чётным.
* Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна делиться на 3.
* Ближайшее к 100000 число, которое делится и на 2, и на 3 - это 100002 (сумма цифр \(1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 3\)).

4) Наименьшее четырёхзначное число, кратное 5 и 9 (цифры не повторяются):
* Число должно делиться на 5, значит, оно должно заканчиваться на 0 или 5.
* Число должно делиться на 9, значит, сумма его цифр должна делиться на 9.
* Рассмотрим число, заканчивающееся на 0: наименьшее такое число 1026 (сумма цифр \(1 + 0 + 2 + 6 = 9\)).
* Рассмотрим число, заканчивающееся на 5: наименьшее такое число 1035 (сумма цифр \(1 + 0 + 3 + 5 = 9\)).
* Так как требуется наименьшее, то ответ 1026.

Ответ:
1) 1002
2) 10008
3) 100002
4) 1026

Задание 93

В задаче спрашивается, может ли вся покупка Галины Васильевны стоить 260 рублей, если известны цены на кефир, масло, хлеб и спички.

• Цена кефира: 3 пакета по неизвестной цене (пусть x рублей за пакет).
• Цена масла: 45 рублей.
• Цена хлеба: несколько буханок по 24 рубля (пусть y буханок).
• Цена спичек: 6 коробок по неизвестной цене (пусть z рублей за коробку).

Общая стоимость покупки: \(3x + 45 + 24y + 6z = 260\).

Преобразуем уравнение: \(3x + 24y + 6z = 260 - 45 = 215\).

Вынесем общий множитель 3 из левой части: \(3(x + 8y + 2z) = 215\).

Теперь посмотрим, делится ли 215 на 3: \(215 \div 3 = 71.666...\)

Так как 215 не делится на 3 нацело, то не существует целых чисел x, y, и z, удовлетворяющих уравнению.

Ответ: Вся покупка не может стоить 260 рублей.

Задание 98

В задаче говорится о маршруте Орёл — Тула — Москва. Известно, что расстояние между Орлом и Тулой на 5 км больше, чем между Тулой и Москвой, а общая длина маршрута 345 км.

Пусть расстояние между Тулой и Москвой будет x км. Тогда расстояние между Орлом и Тулой будет (x + 5) км.

Общая длина маршрута: \((x + 5) + x = 345\).

Решим уравнение:

\(2x + 5 = 345\)

\(2x = 340\)

\(x = 170\)

Значит, расстояние между Тулой и Москвой равно 170 км. Тогда расстояние между Орлом и Тулой равно \(170 + 5 = 175\) км.

Ответ: Расстояние между Орлом и Тулой составляет 175 км.