Сложение и вычитание смешанных чисел

Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Задание 50: Найдите сумму

1) \(3\frac{7}{9} + 5\frac{5}{6}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 6 равен 18.
   \(3\frac{7}{9} = 3\frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 2} = 3\frac{14}{18}\)
   \(5\frac{5}{6} = 5\frac{5 \cdot 3}{6 \cdot 3} = 5\frac{15}{18}\)
2. Сложим целые и дробные части:
   \(3\frac{14}{18} + 5\frac{15}{18} = (3+5) + (\frac{14}{18} + \frac{15}{18}) = 8 + \frac{29}{18}\)
3. Выделим целую часть из неправильной дроби:
   \(\frac{29}{18} = 1\frac{11}{18}\)
4. Сложим целую часть с полученной суммой:
   \(8 + 1\frac{11}{18} = 9\frac{11}{18}\)

Ответ: \(9\frac{11}{18}\)

2) \(8\frac{7}{16} + 3\frac{2}{10}\)

1. Упростим дробь \(\frac{2}{10}\) до \(\frac{1}{5}\).
2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 5 равен 80.
   \(8\frac{7}{16} = 8\frac{7 \cdot 5}{16 \cdot 5} = 8\frac{35}{80}\)
   \(3\frac{1}{5} = 3\frac{1 \cdot 16}{5 \cdot 16} = 3\frac{16}{80}\)
3. Сложим целые и дробные части:
   \(8\frac{35}{80} + 3\frac{16}{80} = (8+3) + (\frac{35}{80} + \frac{16}{80}) = 11 + \frac{51}{80}\)

Ответ: \(11\frac{51}{80}\)

3) \(6\frac{8}{12} + 9\frac{7}{18}\)

1. Упростим дробь \(\frac{8}{12}\) до \(\frac{2}{3}\).
2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 18 равен 18.
   \(6\frac{2}{3} = 6\frac{2 \cdot 6}{3 \cdot 6} = 6\frac{12}{18}\)
3. Сложим целые и дробные части:
   \(6\frac{12}{18} + 9\frac{7}{18} = (6+9) + (\frac{12}{18} + \frac{7}{18}) = 15 + \frac{19}{18}\)
4. Выделим целую часть из неправильной дроби:
   \(\frac{19}{18} = 1\frac{1}{18}\)
5. Сложим целую часть с полученной суммой:
   \(15 + 1\frac{1}{18} = 16\frac{1}{18}\)

Ответ: \(16\frac{1}{18}\)

Задание 51: Найдите разность

1) \(8\frac{3}{7} - 4\frac{2}{5}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 5 равен 35.
   \(8\frac{3}{7} = 8\frac{3 \cdot 5}{7 \cdot 5} = 8\frac{15}{35}\)
   \(4\frac{2}{5} = 4\frac{2 \cdot 7}{5 \cdot 7} = 4\frac{14}{35}\)
2. Вычтем целые и дробные части:
   \(8\frac{15}{35} - 4\frac{14}{35} = (8-4) + (\frac{15}{35} - \frac{14}{35}) = 4 + \frac{1}{35}\)

Ответ: \(4\frac{1}{35}\)

2) \(6\frac{11}{15} - 2\frac{7}{10}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 10 равен 30.
   \(6\frac{11}{15} = 6\frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2} = 6\frac{22}{30}\)
   \(2\frac{7}{10} = 2\frac{7 \cdot 3}{10 \cdot 3} = 2\frac{21}{30}\)
2. Вычтем целые и дробные части:
   \(6\frac{22}{30} - 2\frac{21}{30} = (6-2) + (\frac{22}{30} - \frac{21}{30}) = 4 + \frac{1}{30}\)

Ответ: \(4\frac{1}{30}\)

3) \(16\frac{17}{18} - 2\frac{11}{12}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 12 равен 36.
   \(16\frac{17}{18} = 16\frac{17 \cdot 2}{18 \cdot 2} = 16\frac{34}{36}\)
   \(2\frac{11}{12} = 2\frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = 2\frac{33}{36}\)
2. Вычтем целые и дробные части:
   \(16\frac{34}{36} - 2\frac{33}{36} = (16-2) + (\frac{34}{36} - \frac{33}{36}) = 14 + \frac{1}{36}\)

Ответ: \(14\frac{1}{36}\)

Задание 52: Выполните вычитание

1) \(3\frac{1}{18} - \frac{1}{9}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 18 и 9 равен 18.
   \(\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}\)
2. Вычтем дробные части:
   \(3\frac{1}{18} - \frac{2}{18} = 3 + (\frac{1}{18} - \frac{2}{18})\)
3. Так как \(\frac{1}{18} < \frac{2}{18}\), занимаем 1 у целой части:
   \(3\frac{1}{18} = 2 + 1\frac{1}{18} = 2 + \frac{19}{18}\)
4. Вычтем:
   \(2\frac{19}{18} - \frac{2}{18} = 2 + \frac{19-2}{18} = 2 + \frac{17}{18}\)

Ответ: \(2\frac{17}{18}\)

2) \(3\frac{17}{27} - 2\frac{13}{18}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 27 и 18 равен 54.
   \(3\frac{17}{27} = 3\frac{17 \cdot 2}{27 \cdot 2} = 3\frac{34}{54}\)
   \(2\frac{13}{18} = 2\frac{13 \cdot 3}{18 \cdot 3} = 2\frac{39}{54}\)
2. Вычтем целые и дробные части:
   \(3\frac{34}{54} - 2\frac{39}{54} = (3-2) + (\frac{34}{54} - \frac{39}{54}) = 1 + (\frac{34}{54} - \frac{39}{54})\)
3. Так как \(\frac{34}{54} < \frac{39}{54}\), занимаем 1 у целой части:
   \(1\frac{34}{54} = 0 + 1\frac{34}{54} = \frac{54}{54} + \frac{34}{54} = \frac{88}{54}\)
4. Вычтем:
   \(\frac{88}{54} - \frac{39}{54} = \frac{88-39}{54} = \frac{49}{54}\)

Ответ: \(\frac{49}{54}\)

3) \(6\frac{3}{8} - 2\frac{5}{9}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 9 равен 72.
   \(6\frac{3}{8} = 6\frac{3 \cdot 9}{8 \cdot 9} = 6\frac{27}{72}\)
   \(2\frac{5}{9} = 2\frac{5 \cdot 8}{9 \cdot 8} = 2\frac{40}{72}\)
2. Вычтем целые и дробные части:
   \(6\frac{27}{72} - 2\frac{40}{72} = (6-2) + (\frac{27}{72} - \frac{40}{72}) = 4 + (\frac{27}{72} - \frac{40}{72})\)
3. Так как \(\frac{27}{72} < \frac{40}{72}\), занимаем 1 у целой части:
   \(4\frac{27}{72} = 3 + 1\frac{27}{72} = 3 + \frac{72}{72} + \frac{27}{72} = 3 + \frac{99}{72}\)
4. Вычтем:
   \(3\frac{99}{72} - 2\frac{40}{72} = (3-2) + \frac{99-40}{72} = 1 + \frac{59}{72}\)

Ответ: \(3\frac{59}{72}\)

Homiwork: Конечно! Сейчас я подробно объясню решение задачи 52, номер 1: \(3\frac{1}{18} - \frac{1}{9}\).

Задание 52: Выполните вычитание

1) \(3\frac{1}{18} - \frac{1}{9}\)

1. Приведение дробей к общему знаменателю:

   • Чтобы вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель.
   • Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 18 и 9. НОЗ(18, 9) = 18.
   • Преобразуем дробь \(\frac{1}{9}\) к знаменателю 18:
     \(\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 2}{9 \cdot 2} = \frac{2}{18}\)
   • Теперь выражение выглядит так: \(3\frac{1}{18} - \frac{2}{18}\)

2. Вычитание дробных частей:

   • Записываем выражение: \(3\frac{1}{18} - \frac{2}{18} = 3 + (\frac{1}{18} - \frac{2}{18})\)

3. Занимаем единицу:

   • Поскольку \(\frac{1}{18} < \frac{2}{18}\), мы не можем вычесть дроби напрямую.
   • Занимаем 1 у целой части числа \(3\frac{1}{18}\):
     \(3\frac{1}{18} = 2 + 1\frac{1}{18} = 2 + \frac{18}{18} + \frac{1}{18} = 2 + \frac{19}{18}\)
   • Теперь выражение выглядит так: \(2\frac{19}{18} - \frac{2}{18}\)

4. Вычитаем дроби:

   • Вычитаем дробные части:
     \(2\frac{19}{18} - \frac{2}{18} = 2 + \frac{19-2}{18} = 2 + \frac{17}{18}\)

Ответ: \(2\frac{17}{18}\)

Ассистент: Конечно! Я продолжу решать оставшиеся задания.

Задание 52: Выполните вычитание (продолжение)

4) \(8\frac{11}{42} - 5\frac{43}{126}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 42 и 126 равен 126.
   \(8\frac{11}{42} = 8\frac{11 \cdot 3}{42 \cdot 3} = 8\frac{33}{126}\)
2. Вычтем целые и дробные части:
   \(8\frac{33}{126} - 5\frac{43}{126} = (8-5) + (\frac{33}{126} - \frac{43}{126}) = 3 + (\frac{33}{126} - \frac{43}{126})\)
3. Так как \(\frac{33}{126} < \frac{43}{126}\), занимаем 1 у целой части:
   \(3\frac{33}{126} = 2 + 1\frac{33}{126} = 2 + \frac{126}{126} + \frac{33}{126} = 2 + \frac{159}{126}\)
4. Вычтем:
   \(2\frac{159}{126} - 5\frac{43}{126} = (2-5) + \frac{159-43}{126} = 2 + \frac{116}{126}\)
5. Сократим дробь: \(\frac{116}{126} = \frac{58}{63}\)

Ответ: \(2\frac{58}{63}\)

5) \(6\frac{7}{45} - 4\frac{7}{20}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 45 и 20 равен 180.
   \(6\frac{7}{45} = 6\frac{7 \cdot 4}{45 \cdot 4} = 6\frac{28}{180}\)
   \(4\frac{7}{20} = 4\frac{7 \cdot 9}{20 \cdot 9} = 4\frac{63}{180}\)
2. Вычтем целые и дробные части:
   \(6\frac{28}{180} - 4\frac{63}{180} = (6-4) + (\frac{28}{180} - \frac{63}{180}) = 2 + (\frac{28}{180} - \frac{63}{180})\)
3. Так как \(\frac{28}{180} < \frac{63}{180}\), занимаем 1 у целой части:
   \(2\frac{28}{180} = 1 + 1\frac{28}{180} = 1 + \frac{180}{180} + \frac{28}{180} = 1 + \frac{208}{180}\)
4. Вычтем:
   \(1\frac{208}{180} - 4\frac{63}{180} = (1-4) + \frac{208-63}{180} = 1 + \frac{145}{180}\)
5. Сократим дробь: \(\frac{145}{180} = \frac{29}{36}\)

Ответ: \(1\frac{29}{36}\)

6) \(9\frac{1}{21} - 5\frac{16}{63}\)

1. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 21 и 63 равен 63.
   \(9\frac{1}{21} = 9\frac{1 \cdot 3}{21 \cdot 3} = 9\frac{3}{63}\)
2. Вычтем целые и дробные части:
   \(9\frac{3}{63} - 5\frac{16}{63} = (9-5) + (\frac{3}{63} - \frac{16}{63}) = 4 + (\frac{3}{63} - \frac{16}{63})\)
3. Так как \(\frac{3}{63} < \frac{16}{63}\), занимаем 1 у целой части:
   \(4\frac{3}{63} = 3 + 1\frac{3}{63} = 3 + \frac{63}{63} + \frac{3}{63} = 3 + \frac{66}{63}\)
4. Вычтем:
   \(3\frac{66}{63} - 5\frac{16}{63} = (3-5) + \frac{66-16}{63} = 3 + \frac{50}{63}\)

Ответ: \(3\frac{50}{63}\)

Задание 53: Решите уравнение

1) \(8\frac{3}{4} - x = 3\frac{5}{16}\)

1. Выразим \(x\):
   \(x = 8\frac{3}{4} - 3\frac{5}{16}\)
2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 16 равен 16.
   \(8\frac{3}{4} = 8\frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = 8\frac{12}{16}\)
3. Вычтем:
   \(x = 8\frac{12}{16} - 3\frac{5}{16} = (8-3) + (\frac{12}{16} - \frac{5}{16}) = 5 + \frac{7}{16}\)

Ответ: \(x = 5\frac{7}{16}\)

2) \((x - 9\frac{3}{7}) + 5\frac{8}{21} = 6\frac{5}{14}\)

1. Выразим \((x - 9\frac{3}{7})\):
   \(x - 9\frac{3}{7} = 6\frac{5}{14} - 5\frac{8}{21}\)
2. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 14 и 21 равен 42.
   \(6\frac{5}{14} = 6\frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} = 6\frac{15}{42}\)
   \(5\frac{8}{21} = 5\frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = 5\frac{16}{42}\)
3. Вычтем:
   \(x - 9\frac{3}{7} = 6\frac{15}{42} - 5\frac{16}{42} = (6-5) + (\frac{15}{42} - \frac{16}{42})\)
4. Так как \(\frac{15}{42} < \frac{16}{42}\), занимаем 1 у целой части:
   \(6\frac{15}{42} = 5 + 1\frac{15}{42} = 5 + \frac{42}{42} + \frac{15}{42} = 5 + \frac{57}{42}\)
5. Вычтем:
   \(x - 9\frac{3}{7} = 5\frac{57}{42} - 5\frac{16}{42} = (5-5) + \frac{57-16}{42} = \frac{41}{42}\)
6. Выразим \(x\):
   \(x = \frac{41}{42} + 9\frac{3}{7}\)
7. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 42 и 7 равен 42.
   \(9\frac{3}{7} = 9\frac{3 \cdot 6}{7 \cdot 6} = 9\frac{18}{42}\)
8. Сложим:
   \(x = \frac{41}{42} + 9\frac{18}{42} = 9 + \frac{41+18}{42} = 9 + \frac{59}{42} = 9 + 1\frac{17}{42}\)

Ответ: \(x = 10\frac{17}{42}\)

Задание 54

1. Скорость лодки по течению:

   • Собственная скорость лодки: \(21\frac{3}{8}\) км/ч
   • Скорость течения реки: \(1\frac{1}{4}\) км/ч
   • Скорость по течению = Собственная скорость + Скорость течения
   • \(21\frac{3}{8} + 1\frac{1}{4} = 21\frac{3}{8} + 1\frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = 21\frac{3}{8} + 1\frac{2}{8} = (21+1) + (\frac{3}{8} + \frac{2}{8}) = 22\frac{5}{8}\) км/ч

2. Скорость лодки против течения:

   • Скорость против течения = Собственная скорость - Скорость течения
   • \(21\frac{3}{8} - 1\frac{1}{4} = 21\frac{3}{8} - 1\frac{2}{8} = (21-1) + (\frac{3}{8} - \frac{2}{8}) = 20\frac{1}{8}\) км/ч

Ответ: Скорость лодки по течению \(22\frac{5}{8}\) км/ч, скорость лодки против течения \(20\frac{1}{8}\) км/ч.