Решение задач на нахождение периметра параллелограмма

Язык задания: Russian

В задании требуется найти периметр параллелограмма для каждой из 8 фигур.

Задание 1

1. Анализ: Дан параллелограмм EFKL. Известно, что угол LFC равен 30°, FC = 2 и FE = 7. Нужно найти периметр.
2. Решение:
   • В прямоугольном треугольнике LFC катет FC лежит против угла 30°, значит, гипотенуза FL в два раза больше катета FC.
   • \(FL = 2 \cdot FC = 2 \cdot 2 = 4\)
   • Периметр параллелограмма равен сумме длин всех его сторон: \(P = 2 \cdot (FE + FL) = 2 \cdot (7 + 4) = 2 \cdot 11 = 22\)

Ответ: 22

Задание 2

1. Анализ: Дан параллелограмм ABCD. Известно, что AC = 15, угол BAE равен 60°, BE = 8.5. Нужно найти периметр.
2. Решение:
   • Рассмотрим треугольник ABE. Так как сумма углов треугольника равна 180°, а угол AEB прямой (90°), то угол ABE равен \(180 - 90 - 60 = 30°\).
   • В прямоугольном треугольнике ABE катет AE лежит против угла 30°, значит, гипотенуза AB в два раза больше катета AE.
   • \(AE = \frac{1}{2}AB\)
   • По теореме Пифагора: \(AB^2 = AE^2 + BE^2\). Подставим \(AE = \frac{1}{2}AB\):
   • \(AB^2 = (\frac{1}{2}AB)^2 + BE^2\)
   • \(AB^2 = \frac{1}{4}AB^2 + BE^2\)
   • \(\frac{3}{4}AB^2 = BE^2\)
   • \(AB^2 = \frac{4}{3}BE^2 = \frac{4}{3} \cdot (8.5)^2 = \frac{4}{3} \cdot 72.25 = \frac{289}{3}\)
   • \(AB = \sqrt{\frac{289}{3}} = \frac{17}{\sqrt{3}} = \frac{17\sqrt{3}}{3}\)
   • Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, значит \(AE = \frac{1}{2}AC = \frac{15}{2} = 7.5\)
   • Тогда \(AB = 2 \cdot AE = 2 \cdot 7.5 = 15\)
   • \(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2}\)
   • \(BC = \sqrt{15^2 - (\frac{17\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{225 - \frac{289}{3}} = \sqrt{\frac{675-289}{3}} = \sqrt{\frac{386}{3}}\)
   • \(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{15^2 - 7.5^2} = \sqrt{225 - 56.25} = \sqrt{168.75} = \sqrt{\frac{675}{4}} = \frac{15\sqrt{3}}{2}\)
   • Периметр параллелограмма равен \(P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (15 + \frac{15\sqrt{3}}{2}) = 30 + 15\sqrt{3} \approx 30 + 15 \cdot 1.732 = 30 + 25.98 = 55.98\)

Ответ: \(30 + 15\sqrt{3} \approx 55.98\)

Задание 3

1. Анализ: Дан параллелограмм TSEF. Диагонали пересекаются в точке O. Известно, что TK = 7, ON = 3. Нужно найти периметр.
2. Решение:
   • Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Значит, TS = 2 * TK = 2 * 7 = 14 и EF = 2 * ON = 2 * 3 = 6.
   • Периметр параллелограмма равен \(P = 2 \cdot (TS + EF) = 2 \cdot (14 + 6) = 2 \cdot 20 = 40\)

Ответ: 40