Билет 1 - Задание 1: Взаимное расположение прямой и окружности

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямую $a$. Пусть $d$ - расстояние от центра окружности $O$ до прямой $a$ (длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $a$).

Возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

1. Прямая пересекает окружность: ✂️

   • Условие: $d < R$
   • Описание: Прямая и окружность имеют две общие точки (точки пересечения).

2. Прямая касается окружности:

   • Условие: $d = R$
   • Описание: Прямая и окружность имеют одну общую точку (точка касания). Прямая в этом случае называется касательной к окружности.
   • Свойство: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

3. Прямая не пересекает окружность:

   • Условие: $d > R$
   • Описание: Прямая и окружность не имеют общих точек.

Таким образом, взаимное расположение прямой и окружности полностью определяется соотношением между расстоянием от центра окружности до прямой ($d$) и радиусом окружности ($R$).

Билет 1 - Задание 2: Свойства параллельных прямых

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Свойства параллельных прямых (при пересечении секущей):

Пусть прямые $a$ и $b$ параллельны ($a \parallel b$) и пересечены секущей $c$. Образуются 8 углов.

1. Накрест лежащие углы равны.

   • Например, $\angle 1 = \angle 2$ (внутренние накрест лежащие), $\angle 3 = \angle 4$ (внешние накрест лежащие).
     

2. Соответственные углы равны.

   • Например, $\angle 1 = \angle 5$, $\angle 6 = \angle 7$, $\angle 3 = \angle 8$, $\angle 2 = \angle 4$.
     

3. Сумма односторонних углов равна 180°.

   • Например, $\angle 1 + \angle 6 = 180^{\circ}$ (внутренние односторонние), $\angle 3 + \angle 5 = 180^{\circ}$ (внешние односторонние).
     

Доказательство одного из свойств (на выбор):

Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

Дано: $a \parallel b$, $c$ - секущая, $\angle 1$ и $\angle 2$ - внутренние накрест лежащие углы.
Доказать: $\angle 1 = \angle 2$.

Доказательство (от противного):
1. Предположим, что $\angle 1 \neq \angle 2$.
2. Отложим от луча $MN$ (где $M$ - точка пересечения $a$ и $c$, $N$ - точка на $c$) угол $\angle KMN$, равный $\angle 2$, так, чтобы луч $MK$ и прямая $b$ лежали по разные стороны от секущей $c$.
3. По построению, $\angle KMN = \angle 2$. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых $MK$ и $b$ секущей $c$.
4. По признаку параллельности прямых (если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны), следует, что прямая $MK \parallel b$.
5. Но по условию $a \parallel b$.
6. Получается, что через точку $M$ проходят две прямые ($a$ и $MK$), параллельные прямой $b$. Это противоречит аксиоме параллельных прямых (через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной).
7. Следовательно, наше первоначальное предположение ($\angle 1 \neq \angle 2$) неверно.
8. Значит, $\angle 1 = \angle 2$. Что и требовалось доказать.

Билет 1, Пункт 1: Взаимное расположение прямой и окружности.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$, и прямую $a$. Пусть $d$ - расстояние от центра окружности $O$ до прямой $a$ (длина перпендикуляра, опущенного из точки $O$ на прямую $a$).

Возможны три случая взаимного расположения прямой и окружности:

1. Прямая пересекает окружность в двух точках.

   • Это происходит, если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса: $d < R$.
   • Такая прямая называется секущей.

2. Прямая касается окружности в одной точке.

   • Это происходит, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу: $d = R$.
   • Такая прямая называется касательной. Точка пересечения называется точкой касания.
   • Важное свойство: Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

3. Прямая не имеет общих точек с окружностью.

   • Это происходит, если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса: $d > R$.

Таким образом, количество общих точек прямой и окружности зависит от соотношения между радиусом окружности $R$ и расстоянием $d$ от ее центра до прямой.

Билет 2

1. Определение угла и его элементов. Единицы измерения углов. Свойства градусных мер углов (4).

📐 Угол — это геометрическая фигура, образованная двумя лучами (называемыми сторонами угла), выходящими из одной точки (называемой вершиной угла).

• Элементы угла:

  • Вершина (точка, из которой выходят лучи).
  • Стороны (два луча).

• Единицы измерения углов:

  • Основная единица — градус (°). Градус — это $\frac{1}{180}$ часть развернутого угла.
  • Минута ('): $\frac{1}{60}$ часть градуса ($1° = 60'$).
  • Секунда (''): $\frac{1}{60}$ часть минуты ($1' = 60''$).

• Свойства градусных мер углов:

  1. Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Развернутый угол равен $180°$.
  2. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.
  3. Равные углы имеют равные градусные меры.
  4. Меньший угол имеет меньшую градусную меру.

2. Сформулировать и доказать свойство углов с соответственно параллельными сторонами.

Теорема: Если стороны одного угла соответственно параллельны сторонам другого угла, то такие углы либо равны, либо их сумма составляет $180°$.

Дано: ∠AOB и ∠A₁O₁B₁, OA || O₁A₁, OB || O₁B₁.

Доказать: ∠AOB = ∠A₁O₁B₁ или ∠AOB + ∠A₁O₁B₁ = $180°$.

Доказательство:
Рассмотрим два случая расположения лучей:

• Случай 1: Лучи сонаправлены или противоположно направлены попарно.

  • Если OA и O₁A₁ сонаправлены, и OB и O₁B₁ сонаправлены (см. Рис. 3, левая часть).
    Продолжим сторону O₁A₁ до пересечения со стороной OB в точке C.
    Так как O₁A₁ || OA, то ∠AOB = ∠O₁CB (как соответственные углы при параллельных OA и O₁C и секущей OB).
    Так как O₁B₁ || OB (т.е. O₁B₁ || CB), то ∠O₁CB = ∠A₁O₁B₁ (как соответственные углы при параллельных OB и O₁B₁ и секущей O₁C).
    Следовательно, ∠AOB = ∠A₁O₁B₁.
  • Если OA и O₁A₁ противоположно направлены, и OB и O₁B₁ противоположно направлены (см. Рис. 3, правая часть).
    Эти углы будут вертикальными к углам, у которых стороны сонаправлены. Так как вертикальные углы равны, то и в этом случае ∠AOB = ∠A₁O₁B₁.

• Случай 2: Одна пара лучей сонаправлена, другая — противоположно направлена.

  • Пусть OA и O₁A₁ сонаправлены, а OB и O₁B₁ противоположно направлены (см. Рис. 4).
    Рассмотрим угол ∠A₁O₁B₂, смежный с углом ∠A₁O₁B₁. Луч O₁B₂ будет сонаправлен с лучом OB.
    По Случаю 1, ∠AOB = ∠A₁O₁B₂ (т.к. OA || O₁A₁ и OB || O₁B₂ - сонаправлены).
    Углы ∠A₁O₁B₁ и ∠A₁O₁B₂ — смежные, их сумма равна $180°$: ∠A₁O₁B₁ + ∠A₁O₁B₂ = $180°$.
    Заменяя ∠A₁O₁B₂ на равный ему ∠AOB, получаем: ∠A₁O₁B₁ + ∠AOB = $180°$.

Вывод: Во всех возможных случаях углы с соответственно параллельными сторонами либо равны, либо их сумма равна $180°$.