Решение задач по тригонометрии: область определения, множество значений, четность, графики и неравенства
Homi
Задание 1. Найдите область определения функций.
1. \(y = \frac{2}{1 - \cos x}\)
Область определения функции определяется условием, что знаменатель не равен нулю.
\(1 - \cos x \neq 0\)
\(\cos x \neq 1\)
\(x \neq 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\) (целые числа).
Таким образом, область определения: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}\).
2. \(y = \sqrt[3]{2 \cos x}\)
Так как корень кубический (нечетной степени), он определен для любого значения подкоренного выражения. Область определения: \(x \in \mathbb{R}\).
3. \(y = \arccos\left(\frac{x}{2}\right)\)
Область определения арккосинуса определяется условием, что аргумент находится в пределах от -1 до 1.
\(-1 \le \frac{x}{2} \le 1\)
Умножим все части неравенства на 2:
\(-2 \le x \le 2\)
Таким образом, область определения: \(x \in [-2, 2]\).
4. \(y = \arcsin\left(\frac{2x^2 - 5}{2}\right)\)
Область определения арксинуса определяется условием, что аргумент находится в пределах от -1 до 1.
\(-1 \le \frac{2x^2 - 5}{2} \le 1\)
Умножим все части неравенства на 2:
\(-2 \le 2x^2 - 5 \le 2\)
Разобьем на два неравенства:
1) \(2x^2 - 5 \ge -2\)
\(2x^2 \ge 3\)
\(x^2 \ge \frac{3}{2}\)
\(x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}\) или \(x \ge \sqrt{\frac{3}{2}}\)
2) \(2x^2 - 5 \le 2\)
\(2x^2 \le 7\)
\(x^2 \le \frac{7}{2}\)
\(-\sqrt{\frac{7}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{7}{2}}\)
Объединяя оба условия, получаем:
\(-\sqrt{\frac{7}{2}} \le x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}\) или \(\sqrt{\frac{3}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{7}{2}}\)
Таким образом, область определения: \(x \in \left[-\sqrt{\frac{7}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right]\).
Задание 2. Найдите множество значений функций.
1. \(y = 2\sin x - 1\)
Известно, что множество значений функции \(\sin x\) равно \([-1, 1]\).
Тогда для \(2\sin x\): \(2 \times [-1, 1] = [-2, 2]\).
Для \(2\sin x - 1\): \([-2, 2] - 1 = [-3, 1]\).
Таким образом, множество значений функции: \(y \in [-3, 1]\).
2. \(y = 4\cos x\)
Известно, что множество значений функции \(\cos x\) равно \([-1, 1]\).
Тогда для \(4\cos x\): \(4 \times [-1, 1] = [-4, 4]\).
Таким образом, множество значений функции: \(y \in [-4, 4]\).
Задание 3. Выясните, является функция четной или нечетной.
1. \(y = x + \sin x\)
Проверим условие четности/нечетности: \(f(-x) = f(x)\) (четная) или \(f(-x) = -f(x)\) (нечетная).
\(f(-x) = (-x) + \sin(-x)\)
Так как \(\sin(-x) = -\sin x\), то:
\(f(-x) = -x - \sin x\)
\(f(-x) = -(x + \sin x)\)
\(f(-x) = -f(x)\)
Следовательно, функция является нечетной.
2. \(y = x^2 \cos x\)
Проверим условие четности/нечетности:
\(f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)\)
Так как \((-x)^2 = x^2\) и \(\cos(-x) = \cos x\), то:
\(f(-x) = x^2 \cos x\)
\(f(-x) = f(x)\)
Следовательно, функция является четной.
Задание 4. Решите графически уравнения.
1. \(\sin x = \frac{1}{2}\)
Графически это означает найти точки пересечения графиков функций \(y = \sin x\) и \(y = \frac{1}{2}\).
На интервале \([0, 2\pi]\) решениями являются \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{5\pi}{6}\).
Общее решение: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
2. \(\cos x = |x|\)
Графически это означает найти точки пересечения графиков функций \(y = \cos x\) и \(y = |x|\).
График \(y = |x|\) состоит из двух лучей: \(y = x\) для \(x \ge 0\) и \(y = -x\) для \(x < 0\).
График \(y = \cos x\) колеблется между -1 и 1.
При \(x=0\), \(\cos(0) = 1\) и \(|0| = 0\).
При \(x > 0\), \(\cos x\) убывает от 1 до 0 в \([0, \pi/2]\), а \(y=x\) возрастает от 0. Они пересекутся в одной точке.
При \(x < 0\), \(\cos x\) возрастает от 1 до 0 в \([-\pi/2, 0]\), а \(y=-x\) возрастает от 0. Они пересекутся в одной точке.
Из-за симметрии графиков \(y=\cos x\) (четная функция) и \(y=|x|\) (четная функция), если \(x_0\) является решением, то и \(-x_0\) является решением.
Точное решение этого уравнения аналитически найти сложно, но графически видно, что есть два решения, симметричные относительно оси \(y\). Одно решение находится в интервале \((0, \pi/2)\), другое в \((-\pi/2, 0)\).
3. \(\operatorname{arc}\cos y = x\)
Это уравнение является определением обратной функции. Если \(y = \cos x\), то \(x = \operatorname{arc}\cos y\).
Графически это означает, что мы ищем точки, где график функции \(x = \operatorname{arc}\cos y\) пересекает график прямой \(x=x\). Это верно для всех точек, где функция определена.
Область определения \(x = \operatorname{arc}\cos y\) это \(x \in [0, \pi]\). Область значений \(y \in [-1, 1]\).
Если рассматривать это как \(y = \cos x\), то решениями будут все точки на графике \(y = \cos x\).
Задание 5. Найдите все решения неравенств, принадлежащие промежутку \([-\pi; \pi]\).
1. \(1 - 2\cos x \ge 0\)
\(1 \ge 2\cos x\)
\(\cos x \le \frac{1}{2}\)
На единичной окружности значения косинуса меньше или равны \(\frac{1}{2}\) находятся в промежутке от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{5\pi}{3}\).
Учитывая промежуток \([-\pi; \pi]\):
\(\cos x = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{3}\).
Значит, \(\cos x \le \frac{1}{2}\) при \(x \in [-\pi, -\frac{\pi}{3}]\) и \(x \in [\frac{\pi}{3}, \pi]\).
Решения на промежутке \([-\pi; \pi]\): \(x \in [-\pi; -\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{\pi}{3}; \pi]\).
2. \(2 + \lg x > 0\)
\(\lg x > -2\)
\(x > 10^{-2}\)
\(x > 0.01\)
Также необходимо учесть область определения логарифма: \(x > 0\).
Объединяя условия, получаем \(x > 0.01\).
На промежутке \([-\pi; \pi]\) решениями будут \(x \in (0.01, \pi]\).
Задание 6. Постройте графики функций.
1. \(y = -\cos |x|\)
Функция \(y = \cos x\) является четной. Функция \(y = |x|\) также является четной.
Функция \(y = \cos |x|\) будет четной. График \(y = \cos |x|\) совпадает с графиком \(y = \cos x\) для \(x \ge 0\), а для \(x < 0\) он симметричен относительно оси \(y\).
График \(y = -\cos |x|\) получается отражением графика \(y = \cos |x|\) относительно оси \(x\).
- Для \(x \ge 0\), \(y = -\cos x\). На отрезке \([0, \pi]\), \(\cos x\) убывает от 1 до -1, значит \(-\cos x\) возрастает от -1 до 1. На отрезке \([\pi, 2\pi]\), \(\cos x\) возрастает от -1 до 1, значит \(-\cos x\) убывает от 1 до -1.
- Для \(x < 0\), график симметричен относительно оси \(y\).
2. \(y = \sin^2 x\)
Используем формулу понижения степени: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\).
График \(y = \sin^2 x\) будет колебаться между 0 и 1.
Период функции \(y = \cos(2x)\) равен \(\frac{2\pi}{2} = \pi\). Следовательно, период \(y = \sin^2 x\) также равен \(\pi\).
* При \(x=0\), \(y = \sin^2 0 = 0\).
* При \(x=\pi/2\), \(y = \sin^2 (\pi/2) = 1^2 = 1\).
* При \(x=\pi\), \(y = \sin^2 \pi = 0\).
* При \(x=3\pi/2\), \(y = \sin^2 (3\pi/2) = (-1)^2 = 1\).
График будет состоять из "волн", которые начинаются и заканчиваются на оси \(x\) в точках, кратных \(\pi\), и достигают максимума 1 в точках, кратных \(\pi/2\).
Homi
Задание 1. Найдите область определения функций.
1. \(y = \frac{2}{1 - \cos x}\)
Область определения функции определяется условием, что знаменатель не равен нулю.
\(1 - \cos x \neq 0\)
\(\cos x \neq 1\)
\(x \neq 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\) (целые числа).
Таким образом, область определения: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}\).
2. \(y = \sqrt[3]{2 \cos x}\)
Так как корень кубический (нечетной степени), он определен для любого значения подкоренного выражения. Область определения: \(x \in \mathbb{R}\).
3. \(y = \arccos\left(\frac{x}{2}\right)\)
Область определения арккосинуса определяется условием, что аргумент находится в пределах от -1 до 1.
\(-1 \le \frac{x}{2} \le 1\)
Умножим все части неравенства на 2:
\(-2 \le x \le 2\)
Таким образом, область определения: \(x \in [-2, 2]\).
4. \(y = \arcsin\left(\frac{2x^2 - 5}{2}\right)\)
Область определения арксинуса определяется условием, что аргумент находится в пределах от -1 до 1.
\(-1 \le \frac{2x^2 - 5}{2} \le 1\)
Умножим все части неравенства на 2:
\(-2 \le 2x^2 - 5 \le 2\)
Разобьем на два неравенства:
1) \(2x^2 - 5 \ge -2\)
\(2x^2 \ge 3\)
\(x^2 \ge \frac{3}{2}\)
\(x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}\) или \(x \ge \sqrt{\frac{3}{2}}\)
2) \(2x^2 - 5 \le 2\)
\(2x^2 \le 7\)
\(x^2 \le \frac{7}{2}\)
\(-\sqrt{\frac{7}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{7}{2}}\)
Объединяя оба условия, получаем:
\(-\sqrt{\frac{7}{2}} \le x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}\) или \(\sqrt{\frac{3}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{7}{2}}\)
Таким образом, область определения: \(x \in \left[-\sqrt{\frac{7}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right]\).
Homi
Основные темы тригонометрии
Тригонометрия – это раздел математики, изучающий соотношения между сторонами и углами треугольников, а также тригонометрические функции и их свойства.
1. Тригонометрические функции
Основные тригонометрические функции: синус (sin), косинус (cos), тангенс (tg), котангенс (ctg). Они определяются через соотношения сторон прямоугольного треугольника или через единичную окружность.
Определения через прямоугольный треугольник (для острых углов):
- Синус угла (\(\sin \alpha\)) – отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус угла (\(\cos \alpha\)) – отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенс угла (\(\operatorname{tg} \alpha\)) – отношение противолежащего катета к прилежащему.
- Котангенс угла (\(\operatorname{ctg} \alpha\)) – отношение прилежащего катета к противолежащему.
Определения через единичную окружность (для любого угла):
Единичная окружность – это окружность с центром в начале координат и радиусом, равным 1. Для угла \(\alpha\), отложенного от положительной полуоси \(Ox\) против часовой стрелки, точка пересечения его стороны с единичной окружностью имеет координаты \((x, y)\).
- \(\cos \alpha = x\) (абсцисса точки)
- \(\sin \alpha = y\) (ордината точки)
- \(\operatorname{tg} \alpha = \frac{y}{x} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\) (при \(\cos \alpha \neq 0\))
- \(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{x}{y} = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\) (при \(\sin \alpha \neq 0\))
Область определения и множество значений:
- \(\sin \alpha\): \(D(\sin) = \mathbb{R}\), \(E(\sin) = [-1, 1]\)
- \(\cos \alpha\): \(D(\cos) = \mathbb{R}\), \(E(\cos) = [-1, 1]\)
- \(\operatorname{tg} \alpha\): \(D(\operatorname{tg}) = \mathbb{R} \setminus \{\frac{\pi}{2} + \pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}\), \(E(\operatorname{tg}) = \mathbb{R}\)
- \(\operatorname{ctg} \alpha\): \(D(\operatorname{ctg}) = \mathbb{R} \setminus \{\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}\), \(E(\operatorname{ctg}) = \mathbb{R}\)
2. Основные тригонометрические тождества
Эти формулы связывают тригонометрические функции одного и того же угла.
-
Основное тригонометрическое тождество:
\(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\) -
Формулы для тангенса и котангенса:
\(\operatorname{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\)
\(\operatorname{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}\)
\(\operatorname{tg} \alpha \cdot \operatorname{ctg} \alpha = 1\) -
Связь тангенса и косинуса:
\(1 + \operatorname{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha}\) -
Связь котангенса и синуса:
\(1 + \operatorname{ctg}^2 \alpha = \frac{1}{\sin^2 \alpha}\)
Пример применения:
Найдите \(\sin \alpha\), если \(\cos \alpha = \frac{3}{5}\) и \(\alpha\) – угол в первой четверти.
Используем основное тригонометрическое тождество:
\(\sin^2 \alpha + (\frac{3}{5})^2 = 1\)
\(\sin^2 \alpha + \frac{9}{25} = 1\)
\(\sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}\)
\(\sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}\)
Так как \(\alpha\) в первой четверти, \(\sin \alpha > 0\), следовательно, \(\sin \alpha = \frac{4}{5}\).
3. Формулы приведения
Формулы приведения позволяют свести вычисление тригонометрических функций произвольных углов к вычислению функций острых углов.
Правила:
- Если при аргументе есть \(\frac{\pi}{2}\) или \(\frac{3\pi}{2}\) (т.е. угол находится на оси \(Oy\)), то название функции меняется на кофункцию (sin на cos, cos на sin, tg на ctg, ctg на tg).
- Если при аргументе есть \(\pi\) или \(2\pi\) (т.е. угол находится на оси \(Ox\)), то название функции не меняется.
- Знак результата определяется знаком исходной функции в той четверти, в которую попадает исходный аргумент.
Примеры:
- \(\sin(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \cos \alpha\) (меняем sin на cos, \(\frac{\pi}{2} - \alpha\) в первой четверти, где sin положителен, но здесь мы сводим к \(\cos \alpha\), которое тоже положительно в первой четверти)
- \(\cos(\pi - \alpha) = -\cos \alpha\) (название не меняется, \(\pi - \alpha\) во второй четверти, где cos отрицателен)
- \(\operatorname{tg}(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\operatorname{ctg} \alpha\) (меняем tg на ctg, \(\frac{3\pi}{2} + \alpha\) в четвертой четверти, где tg отрицателен)
4. Тригонометрические уравнения
Это уравнения, содержащие неизвестные под знаком тригонометрических функций.
Простейшие тригонометрические уравнения:
- \(\sin x = a\):
- Если \(|a| > 1\), решений нет.
- Если \(|a| \le 1\), то \(x = \pm \arcsin a + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).
- \(\cos x = a\):
- Если \(|a| > 1\), решений нет.
- Если \(|a| \le 1\), то \(x = \pm \arccos a + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).
- \(\operatorname{tg} x = a\):
- \(x = \operatorname{arctg} a + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).
- \(\operatorname{ctg} x = a\):
- \(x = \operatorname{arcctg} a + \pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).
Пример:
Решите уравнение \(\sin x = \frac{1}{2}\).
Здесь \(a = \frac{1}{2}\), \(|a| \le 1\).
\(x = \pm \arcsin \frac{1}{2} + 2\pi n\)
Так как \(\arcsin \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}\), то:
\(x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n\), \(n \in \mathbb{Z}\).
Это дает два семейства решений: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n\).
5. Тригонометрические неравенства
Решаются с помощью единичной окружности или графиков тригонометрических функций.
Пример:
Решите неравенство \(\cos x > \frac{1}{2}\).
1. Находим точки на единичной окружности, где \(\cos x = \frac{1}{2}\). Это \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{3}\) (или \(\frac{5\pi}{3}\)).
2. Так как \(\cos x\) – это абсцисса точки на окружности, нам нужны точки, где абсцисса больше \(\frac{1}{2}\). Это дуга между \(-\frac{\pi}{3}\) и \(\frac{\pi}{3}\).
3. Записываем решение в виде промежутка: \(x \in (-\frac{\pi}{3} + 2\pi n, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)\), \(n \in \mathbb{Z}\).
Homi
Задание 1. Найдите область определения функций.
1. \(y = \frac{2}{1 - \cos x}\)
Область определения функции определяется условием, что знаменатель не равен нулю.
\(1 - \cos x \neq 0\)
\(\cos x \neq 1\)
\(x \neq 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\) (целые числа).
Таким образом, область определения: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}\).
2. \(y = \sqrt[3]{2 \cos x}\)
Так как корень кубический (нечетной степени), он определен для любого значения подкоренного выражения. Область определения: \(x \in \mathbb{R}\).
3. \(y = \arccos\left(\frac{x}{2}\right)\)
Область определения арккосинуса определяется условием, что аргумент находится в пределах от -1 до 1.
\(-1 \le \frac{x}{2} \le 1\)
Умножим все части неравенства на 2:
\(-2 \le x \le 2\)
Таким образом, область определения: \(x \in [-2, 2]\).
4. \(y = \arcsin\left(\frac{2x^2 - 5}{2}\right)\)
Область определения арксинуса определяется условием, что аргумент находится в пределах от -1 до 1.
\(-1 \le \frac{2x^2 - 5}{2} \le 1\)
Умножим все части неравенства на 2:
\(-2 \le 2x^2 - 5 \le 2\)
Разобьем на два неравенства:
1) \(2x^2 - 5 \ge -2\)
\(2x^2 \ge 3\)
\(x^2 \ge \frac{3}{2}\)
\(x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}\) или \(x \ge \sqrt{\frac{3}{2}}\)
2) \(2x^2 - 5 \le 2\)
\(2x^2 \le 7\)
\(x^2 \le \frac{7}{2}\)
\(-\sqrt{\frac{7}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{7}{2}}\)
Объединяя оба условия, получаем:
\(-\sqrt{\frac{7}{2}} \le x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}\) или \(\sqrt{\frac{3}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{7}{2}}\)
Таким образом, область определения: \(x \in \left[-\sqrt{\frac{7}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right]\).
Задание 2. Найдите множество значений функций.
1. \(y = 2\sin x - 1\)
Известно, что множество значений функции \(\sin x\) равно \([-1, 1]\).
Тогда для \(2\sin x\): \(2 \times [-1, 1] = [-2, 2]\).
Для \(2\sin x - 1\): \([-2, 2] - 1 = [-3, 1]\).
Таким образом, множество значений функции: \(y \in [-3, 1]\).
2. \(y = 4\cos x\)
Известно, что множество значений функции \(\cos x\) равно \([-1, 1]\).
Тогда для \(4\cos x\): \(4 \times [-1, 1] = [-4, 4]\).
Таким образом, множество значений функции: \(y \in [-4, 4]\).
Задание 3. Выясните, является функция четной или нечетной.
1. \(y = x + \sin x\)
Проверим условие четности/нечетности: \(f(-x) = f(x)\) (четная) или \(f(-x) = -f(x)\) (нечетная).
\(f(-x) = (-x) + \sin(-x)\)
Так как \(\sin(-x) = -\sin x\), то:
\(f(-x) = -x - \sin x\)
\(f(-x) = -(x + \sin x)\)
\(f(-x) = -f(x)\)
Следовательно, функция является нечетной.
2. \(y = x^2 \cos x\)
Проверим условие четности/нечетности:
\(f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)\)
Так как \((-x)^2 = x^2\) и \(\cos(-x) = \cos x\), то:
\(f(-x) = x^2 \cos x\)
\(f(-x) = f(x)\)
Следовательно, функция является четной.
Задание 4. Решите графически уравнения.
1. \(\sin x = \frac{1}{2}\)
Графически это означает найти точки пересечения графиков функций \(y = \sin x\) и \(y = \frac{1}{2}\).
На интервале \([0, 2\pi]\) решениями являются \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{5\pi}{6}\).
Общее решение: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
2. \(\cos x = |x|\)
Графически это означает найти точки пересечения графиков функций \(y = \cos x\) и \(y = |x|\).
График \(y = |x|\) состоит из двух лучей: \(y = x\) для \(x \ge 0\) и \(y = -x\) для \(x < 0\).
График \(y = \cos x\) колеблется между -1 и 1.
При \(x=0\), \(\cos(0) = 1\) и \(|0| = 0\).
При \(x > 0\), \(\cos x\) убывает от 1 до 0 в \([0, \pi/2]\), а \(y=x\) возрастает от 0. Они пересекутся в одной точке.
При \(x < 0\), \(\cos x\) возрастает от 1 до 0 в \([-\pi/2, 0]\), а \(y=-x\) возрастает от 0. Они пересекутся в одной точке.
Из-за симметрии графиков \(y=\cos x\) (четная функция) и \(y=|x|\) (четная функция), если \(x_0\) является решением, то и \(-x_0\) является решением.
Точное решение этого уравнения аналитически найти сложно, но графически видно, что есть два решения, симметричные относительно оси \(y\). Одно решение находится в интервале \((0, \pi/2)\), другое в \((-\pi/2, 0)\).
3. \(\operatorname{arc}\cos y = x\)
Это уравнение является определением обратной функции. Если \(y = \cos x\), то \(x = \operatorname{arc}\cos y\).
Графически это означает, что мы ищем точки, где график функции \(x = \operatorname{arc}\cos y\) пересекает график прямой \(x=x\). Это верно для всех точек, где функция определена.
Область определения \(x = \operatorname{arc}\cos y\) это \(x \in [0, \pi]\). Область значений \(y \in [-1, 1]\).
Если рассматривать это как \(y = \cos x\), то решениями будут все точки на графике \(y = \cos x\).
Задание 5. Найдите все решения неравенств, принадлежащие промежутку \([-\pi; \pi]\).
1. \(1 - 2\cos x \ge 0\)
\(1 \ge 2\cos x\)
\(\cos x \le \frac{1}{2}\)
На единичной окружности значения косинуса меньше или равны \(\frac{1}{2}\) находятся в промежутке от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{5\pi}{3}\).
Учитывая промежуток \([-\pi; \pi]\):
\(\cos x = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{3}\).
Значит, \(\cos x \le \frac{1}{2}\) при \(x \in [-\pi, -\frac{\pi}{3}]\) и \(x \in [\frac{\pi}{3}, \pi]\).
Решения на промежутке \([-\pi; \pi]\): \(x \in [-\pi; -\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{\pi}{3}; \pi]\).
2. \(2 + \lg x > 0\)
\(\lg x > -2\)
\(x > 10^{-2}\)
\(x > 0.01\)
Также необходимо учесть область определения логарифма: \(x > 0\).
Объединяя условия, получаем \(x > 0.01\).
На промежутке \([-\pi; \pi]\) решениями будут \(x \in (0.01, \pi]\).
Задание 6. Постройте графики функций.
1. \(y = -\cos |x|\)
Функция \(y = \cos x\) является четной. Функция \(y = |x|\) также является четной.
Функция \(y = \cos |x|\) будет четной. График \(y = \cos |x|\) совпадает с графиком \(y = \cos x\) для \(x \ge 0\), а для \(x < 0\) он симметричен относительно оси \(y\).
График \(y = -\cos |x|\) получается отражением графика \(y = \cos |x|\) относительно оси \(x\).
- Для \(x \ge 0\), \(y = -\cos x\). На отрезке \([0, \pi]\), \(\cos x\) убывает от 1 до -1, значит \(-\cos x\) возрастает от -1 до 1. На отрезке \([\pi, 2\pi]\), \(\cos x\) возрастает от -1 до 1, значит \(-\cos x\) убывает от 1 до -1.
- Для \(x < 0\), график симметричен относительно оси \(y\).
2. \(y = \sin^2 x\)
Используем формулу понижения степени: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\).
График \(y = \sin^2 x\) будет колебаться между 0 и 1.
Период функции \(y = \cos(2x)\) равен \(\frac{2\pi}{2} = \pi\). Следовательно, период \(y = \sin^2 x\) также равен \(\pi\).
* При \(x=0\), \(y = \sin^2 0 = 0\).
* При \(x=\pi/2\), \(y = \sin^2 (\pi/2) = 1^2 = 1\).
* При \(x=\pi\), \(y = \sin^2 \pi = 0\).
* При \(x=3\pi/2\), \(y = \sin^2 (3\pi/2) = (-1)^2 = 1\).
График будет состоять из "волн", которые начинаются и заканчиваются на оси \(x\) в точках, кратных \(\pi\), и достигают максимума 1 в точках, кратных \(\pi/2\).
Homi
Задание 1. Найдите область определения функций.
1. \(y = \frac{2}{1 - \cos x}\)
Область определения функции определяется условием, что знаменатель не равен нулю.
\(1 - \cos x \neq 0\)
\(\cos x \neq 1\)
\(x \neq 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\) (целые числа).
Таким образом, область определения: \(x \in \mathbb{R} \setminus \{2\pi n \mid n \in \mathbb{Z}\}\).
2. \(y = \sqrt[3]{2 \cos x}\)
Так как корень кубический (нечетной степени), он определен для любого значения подкоренного выражения. Область определения: \(x \in \mathbb{R}\).
3. \(y = \arccos\left(\frac{x}{2}\right)\)
Область определения арккосинуса определяется условием, что аргумент находится в пределах от -1 до 1.
\(-1 \le \frac{x}{2} \le 1\)
Умножим все части неравенства на 2:
\(-2 \le x \le 2\)
Таким образом, область определения: \(x \in [-2, 2]\).
4. \(y = \arcsin\left(\frac{2x^2 - 5}{2}\right)\)
Область определения арксинуса определяется условием, что аргумент находится в пределах от -1 до 1.
\(-1 \le \frac{2x^2 - 5}{2} \le 1\)
Умножим все части неравенства на 2:
\(-2 \le 2x^2 - 5 \le 2\)
Разобьем на два неравенства:
1) \(2x^2 - 5 \ge -2\)
\(2x^2 \ge 3\)
\(x^2 \ge \frac{3}{2}\)
\(x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}\) или \(x \ge \sqrt{\frac{3}{2}}\)
2) \(2x^2 - 5 \le 2\)
\(2x^2 \le 7\)
\(x^2 \le \frac{7}{2}\)
\(-\sqrt{\frac{7}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{7}{2}}\)
Объединяя оба условия, получаем:
\(-\sqrt{\frac{7}{2}} \le x \le -\sqrt{\frac{3}{2}}\) или \(\sqrt{\frac{3}{2}} \le x \le \sqrt{\frac{7}{2}}\)
Таким образом, область определения: \(x \in \left[-\sqrt{\frac{7}{2}}, -\sqrt{\frac{3}{2}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{3}{2}}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right]\).
Задание 2. Найдите множество значений функций.
1. \(y = 2\sin x - 1\)
Известно, что множество значений функции \(\sin x\) равно \([-1, 1]\).
Тогда для \(2\sin x\): \(2 \times [-1, 1] = [-2, 2]\).
Для \(2\sin x - 1\): \([-2, 2] - 1 = [-3, 1]\).
Таким образом, множество значений функции: \(y \in [-3, 1]\).
2. \(y = 4\cos x\)
Известно, что множество значений функции \(\cos x\) равно \([-1, 1]\).
Тогда для \(4\cos x\): \(4 \times [-1, 1] = [-4, 4]\).
Таким образом, множество значений функции: \(y \in [-4, 4]\).
Задание 3. Выясните, является функция четной или нечетной.
1. \(y = x + \sin x\)
Проверим условие четности/нечетности: \(f(-x) = f(x)\) (четная) или \(f(-x) = -f(x)\) (нечетная).
\(f(-x) = (-x) + \sin(-x)\)
Так как \(\sin(-x) = -\sin x\), то:
\(f(-x) = -x - \sin x\)
\(f(-x) = -(x + \sin x)\)
\(f(-x) = -f(x)\)
Следовательно, функция является нечетной.
2. \(y = x^2 \cos x\)
Проверим условие четности/нечетности:
\(f(-x) = (-x)^2 \cos(-x)\)
Так как \((-x)^2 = x^2\) и \(\cos(-x) = \cos x\), то:
\(f(-x) = x^2 \cos x\)
\(f(-x) = f(x)\)
Следовательно, функция является четной.
Задание 4. Решите графически уравнения.
1. \(\sin x = \frac{1}{2}\)
Графически это означает найти точки пересечения графиков функций \(y = \sin x\) и \(y = \frac{1}{2}\).
На интервале \([0, 2\pi]\) решениями являются \(x = \frac{\pi}{6}\) и \(x = \frac{5\pi}{6}\).
Общее решение: \(x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n\) и \(x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).
2. \(\cos x = |x|\)
Графически это означает найти точки пересечения графиков функций \(y = \cos x\) и \(y = |x|\).
График \(y = |x|\) состоит из двух лучей: \(y = x\) для \(x \ge 0\) и \(y = -x\) для \(x < 0\).
График \(y = \cos x\) колеблется между -1 и 1.
При \(x=0\), \(\cos(0) = 1\) и \(|0| = 0\).
При \(x > 0\), \(\cos x\) убывает от 1 до 0 в \([0, \pi/2]\), а \(y=x\) возрастает от 0. Они пересекутся в одной точке.
При \(x < 0\), \(\cos x\) возрастает от 1 до 0 в \([-\pi/2, 0]\), а \(y=-x\) возрастает от 0. Они пересекутся в одной точке.
Из-за симметрии графиков \(y=\cos x\) (четная функция) и \(y=|x|\) (четная функция), если \(x_0\) является решением, то и \(-x_0\) является решением.
Точное решение этого уравнения аналитически найти сложно, но графически видно, что есть два решения, симметричные относительно оси \(y\). Одно решение находится в интервале \((0, \pi/2)\), другое в \((-\pi/2, 0)\).
3. \(\operatorname{arc}\cos y = x\)
Это уравнение является определением обратной функции. Если \(y = \cos x\), то \(x = \operatorname{arc}\cos y\).
Графически это означает, что мы ищем точки, где график функции \(x = \operatorname{arc}\cos y\) пересекает график прямой \(x=x\). Это верно для всех точек, где функция определена.
Область определения \(x = \operatorname{arc}\cos y\) это \(x \in [0, \pi]\). Область значений \(y \in [-1, 1]\).
Если рассматривать это как \(y = \cos x\), то решениями будут все точки на графике \(y = \cos x\).
Задание 5. Найдите все решения неравенств, принадлежащие промежутку \([-\pi; \pi]\).
1. \(1 - 2\cos x \ge 0\)
\(1 \ge 2\cos x\)
\(\cos x \le \frac{1}{2}\)
На единичной окружности значения косинуса меньше или равны \(\frac{1}{2}\) находятся в промежутке от \(\frac{\pi}{3}\) до \(\frac{5\pi}{3}\).
Учитывая промежуток \([-\pi; \pi]\):
\(\cos x = \frac{1}{2}\) при \(x = \frac{\pi}{3}\) и \(x = -\frac{\pi}{3}\).
Значит, \(\cos x \le \frac{1}{2}\) при \(x \in [-\pi, -\frac{\pi}{3}]\) и \(x \in [\frac{\pi}{3}, \pi]\).
Решения на промежутке \([-\pi; \pi]\): \(x \in [-\pi; -\frac{\pi}{3}] \cup [\frac{\pi}{3}; \pi]\).
2. \(2 + \lg x > 0\)
\(\lg x > -2\)
\(x > 10^{-2}\)
\(x > 0.01\)
Также необходимо учесть область определения логарифма: \(x > 0\).
Объединяя условия, получаем \(x > 0.01\).
На промежутке \([-\pi; \pi]\) решениями будут \(x \in (0.01, \pi]\).
Задание 6. Постройте графики функций.
1. \(y = -\cos |x|\)
Функция \(y = \cos x\) является четной. Функция \(y = |x|\) также является четной.
Функция \(y = \cos |x|\) будет четной. График \(y = \cos |x|\) совпадает с графиком \(y = \cos x\) для \(x \ge 0\), а для \(x < 0\) он симметричен относительно оси \(y\).
График \(y = -\cos |x|\) получается отражением графика \(y = \cos |x|\) относительно оси \(x\).
- Для \(x \ge 0\), \(y = -\cos x\). На отрезке \([0, \pi]\), \(\cos x\) убывает от 1 до -1, значит \(-\cos x\) возрастает от -1 до 1. На отрезке \([\pi, 2\pi]\), \(\cos x\) возрастает от -1 до 1, значит \(-\cos x\) убывает от 1 до -1.
- Для \(x < 0\), график симметричен относительно оси \(y\).
2. \(y = \sin^2 x\)
Используем формулу понижения степени: \(\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}\).
График \(y = \sin^2 x\) будет колебаться между 0 и 1.
Период функции \(y = \cos(2x)\) равен \(\frac{2\pi}{2} = \pi\). Следовательно, период \(y = \sin^2 x\) также равен \(\pi\).
* При \(x=0\), \(y = \sin^2 0 = 0\).
* При \(x=\pi/2\), \(y = \sin^2 (\pi/2) = 1^2 = 1\).
* При \(x=\pi\), \(y = \sin^2 \pi = 0\).
* При \(x=3\pi/2\), \(y = \sin^2 (3\pi/2) = (-1)^2 = 1\).
График будет состоять из "волн", которые начинаются и заканчиваются на оси \(x\) в точках, кратных \(\pi\), и достигают максимума 1 в точках, кратных \(\pi/2\).
Homi
Задание 1.
В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности дугу в \(120^\circ\). Длина оси равна 5, ее расстояние от секущей плоскости 2. Определите площадь сечения, объем и площадь полной поверхности цилиндра.
Решение:
-
Находим радиус основания цилиндра:
Плоскость отсекает дугу в \(120^\circ\). Рассмотрим треугольник, образованный центром основания, двумя точками на окружности, соответствующими концам дуги, и центром окружности. Этот треугольник равнобедренный. Угол при центре равен \(120^\circ\). Опустим высоту из центра на хорду, которая является основанием дуги. Эта высота делит угол пополам (\(60^\circ\)) и хорду пополам.
Пусть \(R\) - радиус основания. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и высотой, имеем:
\(\sin(60^\circ) = \frac{\text{половина хорды}}{R}\)
\(\cos(60^\circ) = \frac{\text{расстояние от центра до плоскости}}{R}\)
Нам дано расстояние от оси до секущей плоскости, которое равно 2. Это и есть расстояние от центра основания до хорды.
Следовательно, \(\cos(60^\circ) = \frac{2}{R}\).
Так как \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), то \(\frac{1}{2} = \frac{2}{R}\), откуда \(R = 4\). -
Находим высоту цилиндра:
Длина оси цилиндра равна его высоте. По условию, высота \(h = 5\). -
Находим площадь сечения:
Сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона прямоугольника - высота цилиндра (\(h=5\)), другая - длина хорды, которая стягивает дугу в \(120^\circ\).
Длина хорды \(l = 2 \cdot R \cdot \sin(\frac{120^\circ}{2}) = 2 \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
Площадь сечения \(S_{сеч} = h \cdot l = 5 \cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\). -
Находим объем цилиндра:
Объем цилиндра \(V = \pi R^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 5 = \pi \cdot 16 \cdot 5 = 80\pi\). -
Находим площадь полной поверхности цилиндра:
Площадь полной поверхности \(S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R h = 2 \pi (4^2) + 2 \pi (4)(5) = 2 \pi (16) + 40\pi = 32\pi + 40\pi = 72\pi\).
Ответ:
* Площадь сечения: \(20\sqrt{3}\)
* Объем цилиндра: \(80\pi\)
* Площадь полной поверхности цилиндра: \(72\pi\)
Задание 2.
Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 1,5 см от вершины. Найдите радиус, площадь боковой, площадь полной поверхности конуса.
Решение:
-
Находим высоту конуса:
Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания (\(R\)), высотой (\(H\)) и образующей (\(L\)):
\(R^2 + H^2 = L^2\)
\(20^2 + H^2 = 20.5^2\)
\(400 + H^2 = 420.25\)
\(H^2 = 420.25 - 400 = 20.25\)
\(H = \sqrt{20.25} = 4.5\) см. -
Находим радиус сечения:
Плоскость параллельна основанию и отстоит от вершины на 1,5 см. Это означает, что высота малого конуса (отсеченного плоскостью) \(h_{мал} = 1.5\) см.
Малый конус подобен большому конусу. Отношение высот равно отношению радиусов:
\(\frac{h_{мал}}{H} = \frac{r_{мал}}{R}\)
\(\frac{1.5}{4.5} = \frac{r_{мал}}{20}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{r_{мал}}{20}\)
\(r_{мал} = \frac{20}{3}\) см. -
Находим образующую малого конуса:
Аналогично, отношение высот равно отношению образующих:
\(\frac{h_{мал}}{H} = \frac{l_{мал}}{L}\)
\(\frac{1.5}{4.5} = \frac{l_{мал}}{20.5}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{l_{мал}}{20.5}\)
\(l_{мал} = \frac{20.5}{3} = \frac{41}{6}\) см. -
Находим площадь боковой поверхности большого конуса:
\(S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 20 \cdot 20.5 = 410\pi\) см\(^2\). -
Находим площадь основания большого конуса:
\(S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 20^2 = 400\pi\) см\(^2\). -
Находим площадь полной поверхности большого конуса:
\(S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 410\pi + 400\pi = 810\pi\) см\(^2\).
Ответ:
* Радиус сечения: \(\frac{20}{3}\) см.
* Площадь боковой поверхности конуса: \(410\pi\) см\(^2\).
* Площадь полной поверхности конуса: \(810\pi\) см\(^2\).
Задание 3.
Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания 6 дм и 8 дм, высотой 14 дм. Найдите площадь полной поверхности и объем.
Решение:
-
Находим площадь основания:
Основание - прямоугольник со сторонами \(a=6\) дм и \(b=8\) дм.
\(S_{осн} = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48\) дм\(^2\). -
Находим площадь боковой поверхности:
Боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников. Два прямоугольника с размерами \(a \times h\) и два с размерами \(b \times h\).
\(S_{бок} = 2(a \cdot h) + 2(b \cdot h) = 2(6 \cdot 14) + 2(8 \cdot 14) = 2(84) + 2(112) = 168 + 224 = 392\) дм\(^2\). -
Находим площадь полной поверхности:
\(S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 48 + 392 = 96 + 392 = 488\) дм\(^2\). -
Находим объем параллелепипеда:
\(V = S_{осн} \cdot h = 48 \cdot 14 = 672\) дм\(^3\).
Ответ:
* Площадь полной поверхности: 488 дм\(^2\).
* Объем: 672 дм\(^3\).
Homi
Задание 1.
В цилиндре проведена параллельно оси плоскость, отсекающая от окружности дугу в \(120^\circ\). Длина оси равна 5, ее расстояние от секущей плоскости 2. Определите площадь сечения, объем и площадь полной поверхности цилиндра.
Решение:
-
Находим радиус основания цилиндра:
Плоскость отсекает дугу в \(120^\circ\). Рассмотрим треугольник, образованный центром основания, двумя точками на окружности, соответствующими концам дуги, и центром окружности. Этот треугольник равнобедренный. Угол при центре равен \(120^\circ\). Опустим высоту из центра на хорду, которая является основанием дуги. Эта высота делит угол пополам (\(60^\circ\)) и хорду пополам.
Пусть \(R\) - радиус основания. В прямоугольном треугольнике, образованном радиусом, половиной хорды и высотой, имеем:
\(\cos(60^\circ) = \frac{\text{расстояние от центра до плоскости}}{R}\)
Нам дано расстояние от оси до секущей плоскости, которое равно 2. Это и есть расстояние от центра основания до хорды.
Следовательно, \(\cos(60^\circ) = \frac{2}{R}\).
Так как \(\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}\), то \(\frac{1}{2} = \frac{2}{R}\), откуда \(R = 4\). -
Находим высоту цилиндра:
Длина оси цилиндра равна его высоте. По условию, высота \(h = 5\). -
Находим площадь сечения:
Сечение представляет собой прямоугольник. Одна сторона прямоугольника - высота цилиндра (\(h=5\)), другая - длина хорды, которая стягивает дугу в \(120^\circ\).
Длина хорды \(l = 2 \cdot R \cdot \sin(\frac{120^\circ}{2}) = 2 \cdot 4 \cdot \sin(60^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}\).
Площадь сечения \(S_{сеч} = h \cdot l = 5 \cdot 4\sqrt{3} = 20\sqrt{3}\). -
Находим объем цилиндра:
Объем цилиндра \(V = \pi R^2 h = \pi \cdot 4^2 \cdot 5 = \pi \cdot 16 \cdot 5 = 80\pi\). -
Находим площадь полной поверхности цилиндра:
Площадь полной поверхности \(S_{полн} = 2 \pi R^2 + 2 \pi R h = 2 \pi (4^2) + 2 \pi (4)(5) = 2 \pi (16) + 40\pi = 32\pi + 40\pi = 72\pi\).
Ответ:
* Площадь сечения: \(20\sqrt{3}\)
* Объем цилиндра: \(80\pi\)
* Площадь полной поверхности цилиндра: \(72\pi\)
Задание 2.
Радиус основания конуса равен 20 см, образующая – 20,5 см. Конус пересечен плоскостью, параллельной основанию, на расстоянии 1,5 см от вершины. Найдите радиус, площадь боковой, площадь полной поверхности конуса.
Решение:
-
Находим высоту конуса:
Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом основания (\(R\)), высотой (\(H\)) и образующей (\(L\)):
\(R^2 + H^2 = L^2\)
\(20^2 + H^2 = 20.5^2\)
\(400 + H^2 = 420.25\)
\(H^2 = 420.25 - 400 = 20.25\)
\(H = \sqrt{20.25} = 4.5\) см. -
Находим радиус сечения:
Плоскость параллельна основанию и отстоит от вершины на 1,5 см. Это означает, что высота малого конуса (отсеченного плоскостью) \(h_{мал} = 1.5\) см.
Малый конус подобен большому конусу. Отношение высот равно отношению радиусов:
\(\frac{h_{мал}}{H} = \frac{r_{мал}}{R}\)
\(\frac{1.5}{4.5} = \frac{r_{мал}}{20}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{r_{мал}}{20}\)
\(r_{мал} = \frac{20}{3}\) см. -
Находим образующую малого конуса:
Аналогично, отношение высот равно отношению образующих:
\(\frac{h_{мал}}{H} = \frac{l_{мал}}{L}\)
\(\frac{1.5}{4.5} = \frac{l_{мал}}{20.5}\)
\(\frac{1}{3} = \frac{l_{мал}}{20.5}\)
\(l_{мал} = \frac{20.5}{3} = \frac{41}{6}\) см. -
Находим площадь боковой поверхности большого конуса:
\(S_{бок} = \pi R L = \pi \cdot 20 \cdot 20.5 = 410\pi\) см\(^2\). -
Находим площадь основания большого конуса:
\(S_{осн} = \pi R^2 = \pi \cdot 20^2 = 400\pi\) см\(^2\). -
Находим площадь полной поверхности большого конуса:
\(S_{полн} = S_{бок} + S_{осн} = 410\pi + 400\pi = 810\pi\) см\(^2\).
Ответ:
* Радиус сечения: \(\frac{20}{3}\) см.
* Площадь боковой поверхности конуса: \(410\pi\) см\(^2\).
* Площадь полной поверхности конуса: \(810\pi\) см\(^2\).
Задание 3.
Прямоугольный параллелепипед со сторонами основания 6 дм и 8 дм, высотой 14 дм. Найдите площадь полной поверхности и объем.
Решение:
-
Находим площадь основания:
Основание - прямоугольник со сторонами \(a=6\) дм и \(b=8\) дм.
\(S_{осн} = a \cdot b = 6 \cdot 8 = 48\) дм\(^2\). -
Находим площадь боковой поверхности:
Боковая поверхность состоит из четырех прямоугольников. Два прямоугольника с размерами \(a \times h\) и два с размерами \(b \times h\).
\(S_{бок} = 2(a \cdot h) + 2(b \cdot h) = 2(6 \cdot 14) + 2(8 \cdot 14) = 2(84) + 2(112) = 168 + 224 = 392\) дм\(^2\). -
Находим площадь полной поверхности:
\(S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} = 2 \cdot 48 + 392 = 96 + 392 = 488\) дм\(^2\). -
Находим объем параллелепипеда:
\(V = S_{осн} \cdot h = 48 \cdot 14 = 672\) дм\(^3\).
Ответ:
* Площадь полной поверхности: 488 дм\(^2\).
* Объем: 672 дм\(^3\).
Homi
