Как найти наименьшее общее кратное (НОК): объяснение и примеры

Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Задание 1 (a)

Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей \(\frac{11}{160}\) и \(\frac{12}{120}\), нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 160 и 120.

1. Разложим числа на простые множители:

   • \(160 = 2^5 \cdot 5\)
   • \(120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5\)

2. Найдем НОК:
   Чтобы найти НОК, берем каждый простой множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в разложениях чисел.
   \(НОК(160, 120) = 2^5 \cdot 3 \cdot 5 = 32 \cdot 3 \cdot 5 = 480\)

Ответ: Наименьший общий знаменатель для дробей \(\frac{11}{160}\) и \(\frac{12}{120}\) равен 480.

Задание 1 (б)

Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей \(\frac{15}{72}\) и \(\frac{11}{45}\), нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 72 и 45.

1. Разложим числа на простые множители:

   • \(72 = 2^3 \cdot 3^2\)
   • \(45 = 3^2 \cdot 5\)

2. Найдем НОК:
   Чтобы найти НОК, берем каждый простой множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в разложениях чисел.
   \(НОК(72, 45) = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 = 8 \cdot 9 \cdot 5 = 360\)

Ответ: Наименьший общий знаменатель для дробей \(\frac{15}{72}\) и \(\frac{11}{45}\) равен 360.

Задание 1 (в)

Чтобы найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для дробей \(\frac{48}{99}\) и \(\frac{52}{100}\), нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей, то есть чисел 99 и 100.

1. Разложим числа на простые множители:

   • \(99 = 3^2 \cdot 11\)
   • \(100 = 2^2 \cdot 5^2\)

2. Найдем НОК:
   Чтобы найти НОК, берем каждый простой множитель в наивысшей степени, в которой он встречается в разложениях чисел.
   \(НОК(99, 100) = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 11 = 4 \cdot 9 \cdot 25 \cdot 11 = 9900\)

Ответ: Наименьший общий знаменатель для дробей \(\frac{48}{99}\) и \(\frac{52}{100}\) равен 9900.

Homiwork: Конечно, сейчас объясню!

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или более чисел — это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Как найти НОК:

1. Разложение на простые множители:

   • Представьте каждое число в виде произведения простых множителей. Простым множителем является число, которое делится только на 1 и на само себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.).

2. Выбор множителей:

   • Выберите каждый простой множитель, который встречается хотя бы в одном из разложений.

3. Наивысшие степени:

   • Для каждого выбранного простого множителя возьмите его наивысшую степень, в которой он встречается в разложениях чисел.

4. Перемножение:

   • Перемножьте все выбранные простые множители в их наивысших степенях. Полученное произведение и будет НОК.

Примеры:

Пример 1: Найти НОК(12, 18)

1. Разложение на простые множители:

   • \(12 = 2^2 \cdot 3\)
   • \(18 = 2 \cdot 3^2\)

2. Выбор множителей и наивысшие степени:

   • Простые множители: 2 и 3
   • Наивысшая степень для 2: \(2^2\)
   • Наивысшая степень для 3: \(3^2\)

3. Перемножение:

   • \(НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36\)

Ответ: НОК(12, 18) = 36

Пример 2: Найти НОК(15, 20, 25)

1. Разложение на простые множители:

   • \(15 = 3 \cdot 5\)
   • \(20 = 2^2 \cdot 5\)
   • \(25 = 5^2\)

2. Выбор множителей и наивысшие степени:

   • Простые множители: 2, 3 и 5
   • Наивысшая степень для 2: \(2^2\)
   • Наивысшая степень для 3: \(3^1\)
   • Наивысшая степень для 5: \(5^2\)

3. Перемножение:

   • \(НОК(15, 20, 25) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2 = 4 \cdot 3 \cdot 25 = 300\)

Ответ: НОК(15, 20, 25) = 300