Анализ и решение задач по физике: волны, ультразвук, эхолокация

Exercice 1 : Propagation d'une onde le long d'une corde

1. Nature de l'onde : L'onde est une onde mécanique progressive. Elle est mécanique car elle nécessite un milieu matériel (la corde) pour se propager, et progressive car elle se déplace le long de la corde.

2. Dimension de l'onde : L'onde est unidimensionnelle car elle se propage le long d'une seule dimension (la longueur de la corde).

3. Points se dirigeant vers le bas et vers le haut : Les points qui se dirigent vers le bas sont ceux qui sont dans la partie descendante de l'oscillation, tandis que ceux qui se dirigent vers le haut sont dans la partie ascendante. Sur le graphique, on peut observer que les points entre l'origine et le maximum d'amplitude se dirigent vers le haut, et ceux entre le maximum et le retour à la position d'équilibre se dirigent vers le bas.

4. Célérité de l'onde : Pour calculer la célérité (\(v\)), nous avons besoin de la distance parcourue par l'onde et du temps mis pour la parcourir. D'après la figure, l'onde parcourt une certaine distance en un temps donné. Si nous considérons la distance parcourue par le front de l'onde entre le début de la perturbation (à \(t=0\)) et un point M, et le temps correspondant, nous pouvons calculer la célérité. Cependant, les informations directes pour un calcul précis ne sont pas fournies dans cette question. Si nous supposons que le graphique représente la propagation sur une certaine longueur et que le temps est indiqué, nous pourrions estimer. Sans information supplémentaire, on ne peut pas calculer la célérité.

5. Durée pendant laquelle un point est affecté : La durée pendant laquelle un point de la corde est affecté par le passage de la perturbation correspond à la durée pendant laquelle ce point oscille. D'après le graphique, la perturbation commence à \(t=0\) et semble se terminer autour de \(t=40\) ms. Donc, un point est affecté pendant environ 40 ms.

6. Instant où le point M s'arrête : Le point M s'arrête lorsque la perturbation ne l'atteint plus, c'est-à-dire lorsque le front de l'onde a dépassé le point M. Si le point M est à une certaine distance de la source S, il sera affecté après un certain temps de propagation. Le point M s'arrêtera d'osciller après que la perturbation l'ait traversé.

7. Instant d'arrivée de l'onde au point N : L'onde arrive au point N lorsque le front de l'onde atteint ce point. Sachant que la distance entre S et N est de 20 cm et que la perturbation commence à \(t=0\), le temps d'arrivée est le temps de propagation. Si nous connaissons la célérité, nous pouvons calculer ce temps.

8. Représentation graphique de l'aspect de la corde à \(t = -10\) ms : À \(t = -10\) ms, la perturbation n'a pas encore commencé à se propager depuis la source S (puisque la propagation commence à \(t=0\)). Donc, à cet instant, toute la corde est dans sa position d'équilibre, et l'aspect de la corde est une ligne droite horizontale.

9. Relation entre l'élongation du point M et celle de la source S :

   • L'élongation d'un point M à un instant \(t\) dépend de l'élongation de la source S à un instant antérieur (\(t - \Delta t\)), où \(\Delta t\) est le temps de propagation entre S et M.
   • Si \(y_S(t)\) est l'élongation de la source S en fonction du temps, alors l'élongation du point M, \(y_M(t)\), est donnée par \(y_M(t) = y_S(t - \Delta t)\).
   • Les propositions données sont :
     1. \(y_M(t) = y_S(t - 0,04)\) : Ceci implique un temps de propagation de 0,04 s (ou 40 ms).
     2. \(y_M(t) = y_S(t + 0,04)\) : Ceci impliquerait une propagation "vers le passé", ce qui est physiquement impossible pour une onde progressive.
     3. \(y_M(t) = y_S(t - 0,04)\) : Identique à la proposition 1.
     4. \(y_M(t) = y_S(t - 0,04)\) : Identique à la proposition 1.

   Il semble y avoir une répétition dans les propositions. En supposant que les propositions 1, 3 et 4 sont identiques et représentent une propagation correcte, et que la proposition 2 est incorrecte. Si le temps de propagation est de 40 ms, alors la relation correcte est \(y_M(t) = y_S(t - 0,04)\).

Exercice 2 : Le sonar

1. Différence entre ondes sonores et ondes ultrasonores : La principale différence réside dans leur fréquence. Les ondes sonores audibles par l'homme ont des fréquences comprises entre 20 Hz et 20 kHz. Les ondes ultrasonores ont des fréquences supérieures à 20 kHz, ce qui les rend inaudibles pour l'oreille humaine.

2. Nature de l'onde ultrasonore : L'onde ultrasonore est une onde mécanique longitudinale. Elle est mécanique car elle se propage dans un milieu (l'eau dans ce cas) et longitudinale car les vibrations des particules du milieu sont parallèles à la direction de propagation de l'onde.

3. Onde ultrasonore longitudinale ou transversale : L'onde ultrasonore dans l'eau est longitudinale. La justification est que les ondes sonores (et ultrasonores) dans les fluides (liquides et gaz) sont toujours longitudinales. Les ondes transversales nécessitent un milieu solide avec une certaine rigidité pour que les particules puissent osciller perpendiculairement à la direction de propagation.

4. Utilisation des ultrasons pour la navigation : Les ultrasons de fréquence \(f = 200\) kHz se propagent dans l'eau avec une célérité \(v = 1500\) m/s.

   4.1. Durée \(\Delta t\) : Le graphique montre que le signal émis par E est reçu par R après un certain temps. Le graphique représente le signal émis (courbe rouge) et le signal reçu (courbe bleue). La durée \(\Delta t\) est la différence de temps entre la réception du signal et son émission. D'après la figure 2, le signal émis commence à \(t=0\) (ou une valeur proche) et le signal reçu commence à une valeur de temps plus tardive. En observant la figure 2, le signal reçu commence à environ 0,2 ms (ou \(2 \times 10^{-4}\) s). Donc, \(\Delta t \approx 0,2\) ms.

   4.2. Profondeur \(d\) en fonction de \(\Delta t\) et \(v\) : L'onde ultrasonore parcourt la distance jusqu'au fond de la mer et revient. La distance totale parcourue est donc \(2d\). Le temps mis pour ce trajet aller-retour est \(\Delta t\). La relation entre la distance, la célérité et le temps est :
   Distance = Célérité × Temps
   \(2d = v \times \Delta t\)
   Donc, la profondeur \(d\) est donnée par :
   \(d = \frac{v \times \Delta t}{2}\)

   En utilisant les valeurs données : \(v = 1500\) m/s et \(\Delta t \approx 0,2\) ms \(= 0,2 \times 10^{-3}\) s.
   \(d = \frac{1500 \text{ m/s} \times 0,2 \times 10^{-3} \text{ s}}{2}\)
   \(d = \frac{0,3 \text{ m}}{2}\)
   \(d = 0,15 \text{ m}\)

   Il semble y avoir une incohérence entre la figure 2 et les valeurs typiques pour la mesure de profondeur. La figure 2 montre une durée de 0,2 ms, ce qui donne une profondeur de 0,15 m. Si l'on considère que la figure 2 représente un exemple de signal et que la question demande d'exprimer la profondeur en fonction de \(\Delta t\) et \(v\), la formule \(d = \frac{v \times \Delta t}{2}\) est la réponse attendue. Si l'on doit calculer la valeur de \(d\) en utilisant les données de la figure 2, le résultat est 0,15 m.

Exercice 3 : Détermination de l'épaisseur d'une nappe souterraine de pétrole

Partie I : Détermination de la célérité des ondes ultrasonores dans l'air

1. Détermination de l'oscillogramme : L'oscillogramme représente les signaux reçus par les deux récepteurs \(R_1\) et \(R_2\). Le signal émis par l'émetteur E se propage dans l'air et atteint d'abord \(R_1\), puis \(R_2\). Le temps de propagation entre E et \(R_1\) est \(t_1\), et le temps de propagation entre E et \(R_2\) est \(t_2\). Le temps de propagation entre \(R_1\) et \(R_2\) est \(\Delta t = t_2 - t_1\).

   • Le signal reçu par \(R_1\) sera le premier à apparaître sur l'oscillogramme (après le signal émis).
   • Le signal reçu par \(R_2\) apparaîtra plus tard.
   • La figure 2 montre deux signaux. Le premier signal (qui commence plus tôt) correspond au récepteur le plus proche de l'émetteur, soit \(R_1\). Le second signal (qui commence plus tard) correspond au récepteur le plus éloigné, soit \(R_2\).

2. Calcul de la célérité des ultrasons dans l'air :
   La distance entre \(R_1\) et \(R_2\) est \(d = 0,5\) m.
   Le temps mis par l'onde pour parcourir la distance entre \(R_1\) et \(R_2\) est \(\Delta t\). D'après la figure 2, le début du signal reçu par \(R_1\) est à environ 1,4 ms, et le début du signal reçu par \(R_2\) est à environ 2,9 ms.
   Donc, \(\Delta t = 2,9 \text{ ms} - 1,4 \text{ ms} = 1,5 \text{ ms} = 1,5 \times 10^{-3}\) s.

   La célérité \(v\) est donnée par :
   \(v = \frac{\text{distance}}{\text{temps}} = \frac{d}{\Delta t}\)
   \(v = \frac{0,5 \text{ m}}{1,5 \times 10^{-3} \text{ s}}\)
   \(v = \frac{0,5}{0,0015} \text{ m/s}\)
   \(v \approx 333,33 \text{ m/s}\)

3. Expression de l'élongation \(y_A(t)\) du point B à l'instant \(t\) :
   Le point B est le point où se trouve l'émetteur E. L'élongation \(y_A(t)\) du point A (qui est le point d'émission) à l'instant \(t\) est simplement l'élongation de la source elle-même. Si l'on considère que le signal est émis à partir de \(t=0\), alors \(y_A(t)\) est la fonction qui décrit l'oscillation de la source. Sans connaître la forme exacte de l'oscillation (sinusoïdale, etc.), on ne peut pas donner une expression précise. Cependant, si l'on considère que le signal émis est \(y_E(t)\), alors \(y_A(t) = y_E(t)\). Si la question fait référence à un point spécifique sur la corde, il faudrait plus de détails. En supposant que "point B" fait référence à la source, et que le signal émis est \(y_S(t)\), alors \(y_A(t) = y_S(t)\).

Partie II : Détermination de l'épaisseur d'une nappe souterraine de pétrole

Pour déterminer l'épaisseur de la nappe souterraine de pétrole, un ingénieur utilise la sonde d'un échographieur. Cette méthode implique l'envoi d'ondes ultrasonores dans le sol et la mesure du temps de retour des échos réfléchis par les différentes couches du sous-sol, y compris la nappe de pétrole. En connaissant la célérité des ondes ultrasonores dans les différentes couches (pétrole, sol, eau), on peut calculer les épaisseurs en utilisant la relation distance = célérité × temps.