Решение математических примеров с обыкновенными дробями

Задание 880 (2)

В этом задании необходимо вычислить значение выражения, переводя все числа в обыкновенные дроби.

Выражение: \(23,4 \cdot 1\frac{1}{2} \cdot (2,652 : 1,3 - 1\frac{17}{30} + 0,06) - [29,21 - (14,26 - \frac{5}{24} : \frac{25}{42})]\)

Шаг 1: Переведем десятичные и смешанные дроби в обыкновенные.

• \(23,4 = \frac{234}{10} = \frac{117}{5}\)
• \(1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}\)
• \(2,652 = \frac{2652}{1000} = \frac{663}{250}\)
• \(1,3 = \frac{13}{10}\)
• \(1\frac{17}{30} = \frac{1 \cdot 30 + 17}{30} = \frac{47}{30}\)
• \(0,06 = \frac{6}{100} = \frac{3}{50}\)
• \(29,21 = \frac{2921}{100}\)
• \(14,26 = \frac{1426}{100} = \frac{713}{50}\)

Теперь выражение выглядит так:
\(\frac{117}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot (\frac{663}{250} : \frac{13}{10} - \frac{47}{30} + \frac{3}{50}) - [\frac{2921}{100} - (\frac{713}{50} - \frac{5}{24} : \frac{25}{42})]\)

Шаг 2: Выполним действия в скобках и квадратных скобках.

Сначала разберемся с первой частью выражения в круглых скобках:
\((\frac{663}{250} : \frac{13}{10} - \frac{47}{30} + \frac{3}{50})\)

• Деление дробей: \(\frac{663}{250} : \frac{13}{10} = \frac{663}{250} \cdot \frac{10}{13}\)
  \(663 \div 13 = 51\)
  \(250 \div 10 = 25\)
  Получаем: \(\frac{51}{25}\)

• Теперь сложим и вычтем дроби с общим знаменателем. Наименьший общий знаменатель для 25, 30 и 50 равен 150.
  \(\frac{51}{25} = \frac{51 \cdot 6}{25 \cdot 6} = \frac{306}{150}\)
  \(\frac{47}{30} = \frac{47 \cdot 5}{30 \cdot 5} = \frac{235}{150}\)
  \(\frac{3}{50} = \frac{3 \cdot 3}{50 \cdot 3} = \frac{9}{150}\)

• Вычисляем: \(\frac{306}{150} - \frac{235}{150} + \frac{9}{150} = \frac{306 - 235 + 9}{150} = \frac{71 + 9}{150} = \frac{80}{150} = \frac{8}{15}\)

Теперь первая часть выражения: \(\frac{117}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{15}\)

• Умножаем дроби: \(\frac{117}{5} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{15} = \frac{117 \cdot 3 \cdot 8}{5 \cdot 2 \cdot 15}\)
  Можно сократить:
  \(8\) и \(2\) → \(4\) и \(1\)
  \(3\) и \(15\) → \(1\) и \(5\)
  Получаем: \(\frac{117 \cdot 1 \cdot 4}{5 \cdot 1 \cdot 5} = \frac{468}{25}\)

Теперь разберемся со второй частью выражения в квадратных скобках:
\([29,21 - (14,26 - \frac{5}{24} : \frac{25}{42})]\)

• Сначала вычислим деление в скобках: \(\frac{5}{24} : \frac{25}{42} = \frac{5}{24} \cdot \frac{42}{25}\)
  Сократим:
  \(5\) и \(25\) → \(1\) и \(5\)
  \(42\) и \(24\) (делим на 6) → \(7\) и \(4\)
  Получаем: \(\frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 5} = \frac{7}{20}\)

• Теперь вычитание в скобках: \(14,26 - \frac{7}{20}\)
  Переведем 14,26 в дробь: \(14,26 = \frac{1426}{100} = \frac{713}{50}\)
  Найдем общий знаменатель для \(\frac{713}{50}\) и \(\frac{7}{20}\). Общий знаменатель равен 100.
  \(\frac{713}{50} = \frac{713 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{1426}{100}\)
  \(\frac{7}{20} = \frac{7 \cdot 5}{20 \cdot 5} = \frac{35}{100}\)
  Вычитаем: \(\frac{1426}{100} - \frac{35}{100} = \frac{1391}{100}\)

• Теперь вычитание в квадратных скобках: \(29,21 - \frac{1391}{100}\)
  Переведем 29,21 в дробь: \(29,21 = \frac{2921}{100}\)
  Вычитаем: \(\frac{2921}{100} - \frac{1391}{100} = \frac{2921 - 1391}{100} = \frac{1530}{100} = \frac{153}{10}\)

Шаг 3: Выполним последнее вычитание.

Теперь у нас есть: \(\frac{468}{25} - \frac{153}{10}\)

• Найдем общий знаменатель для 25 и 10, он равен 50.
  \(\frac{468}{25} = \frac{468 \cdot 2}{25 \cdot 2} = \frac{936}{50}\)
  \(\frac{153}{10} = \frac{153 \cdot 5}{10 \cdot 5} = \frac{765}{50}\)

• Вычитаем: \(\frac{936}{50} - \frac{765}{50} = \frac{936 - 765}{50} = \frac{171}{50}\)

Шаг 4: Переведем результат в десятичную дробь (если требуется, или оставим в виде обыкновенной).

\(\frac{171}{50} = \frac{171 \cdot 2}{50 \cdot 2} = \frac{342}{100} = 3,42\)

Ответ: 3,42