Решение задач на вычисление значений выражений с дробями

Отлично! Я готов помочь с решением этих заданий. Это задачи на вычисление значений выражений, включающие дроби, десятичные дроби и смешанные числа. Будем решать их по порядку.

Задание 1

Найдите значение выражения:
$$ \frac{1}{\frac{1}{9} - \frac{1}{12}} $$

Пошаговое решение:
1. Найдем разность в знаменателе:
Для вычитания дробей \(\frac{1}{9}\) и \(\frac{1}{12}\) нужно привести их к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 9 и 12 равно 36.
* \(\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{4}{36}\)
* \(\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{3}{36}\)
* Теперь вычтем дроби: \(\frac{4}{36} - \frac{3}{36} = \frac{4 - 3}{36} = \frac{1}{36}\)

2. Подставим полученное значение в исходное выражение:
   Выражение примет вид: \(\frac{1}{\frac{1}{36}}\)

3. Разделим 1 на дробь:
   Деление на дробь равносильно умножению на обратную дробь.

   • \(1 : \frac{1}{36} = 1 \cdot \frac{36}{1} = 36\)

Окончательный ответ:
Значение выражения равно 36.

Задание 2

Найдите значение выражения:
$$ \left(\frac{3}{20} + \frac{7}{30}\right) \cdot 15 $$

Пошаговое решение:
1. Выполним сложение дробей в скобках:
Для сложения дробей \(\frac{3}{20}\) и \(\frac{7}{30}\) нужно привести их к общему знаменателю. НОК чисел 20 и 30 равно 60.
* \(\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60}\)
* \(\frac{7}{30} = \frac{7 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{14}{60}\)
* Теперь сложим дроби: \(\frac{9}{60} + \frac{14}{60} = \frac{9 + 14}{60} = \frac{23}{60}\)

2. Умножим полученную сумму на 15:

   • \(\frac{23}{60} \cdot 15\)
   • Можно сократить 60 и 15 на 15: \(60 \div 15 = 4\), \(15 \div 15 = 1\).
   • Получаем: \(\frac{23}{4} \cdot 1 = \frac{23}{4}\)

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число или десятичную дробь (по желанию, если не указано иное):

   • \(\frac{23}{4} = 5 \frac{3}{4}\) или \(5.75\)

Окончательный ответ:
Значение выражения равно \(\frac{23}{4}\) или \(5.75\).

Задание 3

Найдите значение выражения:
$$ \left(\frac{3}{8} - \frac{1}{20}\right) \cdot 10 $$

Пошаговое решение:
1. Выполним вычитание дробей в скобках:
Для вычитания дробей \(\frac{3}{8}\) и \(\frac{1}{20}\) нужно привести их к общему знаменателю. НОК чисел 8 и 20 равно 40.
* \(\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}\)
* \(\frac{1}{20} = \frac{1 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{2}{40}\)
* Теперь вычтем дроби: \(\frac{15}{40} - \frac{2}{40} = \frac{15 - 2}{40} = \frac{13}{40}\)

2. Умножим полученную разность на 10:

   • \(\frac{13}{40} \cdot 10\)
   • Можно сократить 40 и 10 на 10: \(40 \div 10 = 4\), \(10 \div 10 = 1\).
   • Получаем: \(\frac{13}{4} \cdot 1 = \frac{13}{4}\)

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число или десятичную дробь:

   • \(\frac{13}{4} = 3 \frac{1}{4}\) или \(3.25\)

Окончательный ответ:
Значение выражения равно \(\frac{13}{4}\) или \(3.25\).