Решение задач по алгебре и началам анализа: уравнения, неравенства, упрощение выражений

Задание 1

Даны \(x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}\) и \(y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2}\). Требуется найти значения выражений (1) \(x+y\), (2) \(xy\), (3) \(x^3+y^3\), (4) \(x^3+y^3\).

Решение

Для начала упростим выражения для \(x\) и \(y\), избавившись от иррациональности в знаменателе:

\(x = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2} = \frac{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}-2)}{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}-2)} = \frac{(\sqrt{6})^2 - 2 \cdot 2 \sqrt{6} + 2^2}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{6 - 4\sqrt{6} + 4}{6 - 4} = \frac{10 - 4\sqrt{6}}{2} = 5 - 2\sqrt{6}\)

\(y = \frac{\sqrt{6}+2}{\sqrt{6}-2} = \frac{(\sqrt{6}+2)(\sqrt{6}+2)}{(\sqrt{6}-2)(\sqrt{6}+2)} = \frac{(\sqrt{6})^2 + 2 \cdot 2 \sqrt{6} + 2^2}{(\sqrt{6})^2 - 2^2} = \frac{6 + 4\sqrt{6} + 4}{6 - 4} = \frac{10 + 4\sqrt{6}}{2} = 5 + 2\sqrt{6}\)

Теперь найдем значения выражений:

(1) \(x+y\)

\(x+y = (5 - 2\sqrt{6}) + (5 + 2\sqrt{6}) = 5 - 2\sqrt{6} + 5 + 2\sqrt{6} = 10\)

Ответ: \(x+y = 10\)

(2) \(xy\)

\(xy = (5 - 2\sqrt{6})(5 + 2\sqrt{6})\)

Это разность квадратов, по формуле \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\):
\(xy = 5^2 - (2\sqrt{6})^2 = 25 - (4 \cdot 6) = 25 - 24 = 1\)

Ответ: \(xy = 1\)

(3) \(x^3+y^3\)

Мы можем использовать формулу суммы кубов: \(x^3+y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)\).
Сначала найдем \(x^2+y^2\):
\(x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy = 10^2 - 2 \cdot 1 = 100 - 2 = 98\)

Теперь подставим в формулу суммы кубов:
\(x^3+y^3 = (x+y)(x^2+y^2 - xy) = 10 \cdot (98 - 1) = 10 \cdot 97 = 970\)

Ответ: \(x^3+y^3 = 970\)

(4) \(x^3+y^3\)

В задании предполагается, что этот пункт отличается от предыдущего. Однако, как указано в исходном изображении, это выражение совпадает с пунктом (3). Поэтому решение будет тем же. Если имелось в виду другое выражение, пожалуйста, уточните.

Ответ: \(x^3+y^3 = 970\)

Задание 2

Требуется упростить следующие выражения: (1) \(\sqrt{7+2\sqrt{12}}\), (2) \(\sqrt{11-\sqrt{72}}\), (3) \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\).

Решение

(1) \(\sqrt{7+2\sqrt{12}}\)

Это выражение вида \(\sqrt{a+2\sqrt{b}}\). Мы ищем два числа, сумма которых равна \(a\) (в данном случае 7) и произведение которых равно \(b\) (в данном случае 12).
Пары чисел, произведение которых равно 12: (1, 12), (2, 6), (3, 4).
Проверим сумму этих пар:
1+12 = 13
2+6 = 8
3+4 = 7
Найдена пара: 3 и 4.
Значит, \(\sqrt{7+2\sqrt{12}} = \sqrt{(\sqrt{3}+\sqrt{4})^2} = \sqrt{3} + \sqrt{4} = \sqrt{3} + 2\).

Ответ: \(\sqrt{7+2\sqrt{12}} = 2+\sqrt{3}\)

(2) \(\sqrt{11-\sqrt{72}}\)

Сначала упростим \(\sqrt{72}\):
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\).
Теперь выражение выглядит как \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}\).
Чтобы привести его к виду \(\sqrt{a-2\sqrt{b}}\), умножим и разделим на 2 под корнем:
\(\sqrt{11-2\sqrt{\frac{36 \cdot 2}{4}}} = \sqrt{11-2\sqrt{18}}\).
Теперь ищем два числа, сумма которых равна 11, а произведение равно 18.
Пары чисел, произведение которых равно 18: (1, 18), (2, 9), (3, 6).
Проверим сумму этих пар:
1+18 = 19
2+9 = 11
3+6 = 9
Найдена пара: 2 и 9.
Значит, \(\sqrt{11-2\sqrt{18}} = \sqrt{(\sqrt{9}-\sqrt{2})^2} = \sqrt{9} - \sqrt{2} = 3 - \sqrt{2}\).

Ответ: \(\sqrt{11-\sqrt{72}} = 3-\sqrt{2}\)

(3) \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\)

Это выражение уже максимально упрощено, так как под корнями простые числа, и нет возможности для дальнейших преобразований, кроме как оценить значение.

Ответ: \(\sqrt{2}-\sqrt{3}\)

Задание 3

Требуется решить следующие неравенства и, если применимо, изобразить решение на числовой прямой:
(1) \(-2x-1 < 1\)
(2) \(\frac{4}{3}x + \frac{1}{6}x > \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\)

Решение

(1) \(-2x-1 < 1\)

1. Прибавим 1 к обеим частям неравенства:
   \(-2x - 1 + 1 < 1 + 1\)
   \(-2x < 2\)

2. Разделим обе части неравенства на -2. Важно: при делении или умножении неравенства на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.
   \(\frac{-2x}{-2} > \frac{2}{-2}\)
   \(x > -1\)

Решение: \(x > -1\).

Изображение на числовой прямой:
Отметим точку -1 на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое (\(>\)), точка -1 не включается в решение. Все значения больше -1 будут заштрихованы справа от -1.

     <----------------|------------------>
     -2               -1                0
                      (------------------>

Ответ: \(x > -1\)

(2) \(\frac{4}{3}x + \frac{1}{6}x > \frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\)

1. Приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3, 6, 2, 2 — это 6.
   Умножим каждую часть неравенства на 6, чтобы избавиться от дробей:
   \(6 \cdot \left(\frac{4}{3}x + \frac{1}{6}x\right) > 6 \cdot \left(\frac{1}{2}x - \frac{3}{2}\right)\)
   \(6 \cdot \frac{4}{3}x + 6 \cdot \frac{1}{6}x > 6 \cdot \frac{1}{2}x - 6 \cdot \frac{3}{2}\)
   \(8x + x > 3x - 9\)

2. Сложим слагаемые с \(x\) в левой части:
   \(9x > 3x - 9\)

3. Перенесем все слагаемые с \(x\) в левую часть, а константы — в правую. Вычтем \(3x\) из обеих частей:
   \(9x - 3x > -9\)
   \(6x > -9\)

4. Разделим обе части неравенства на 6 (положительное число, знак неравенства не меняется):
   \(\frac{6x}{6} > \frac{-9}{6}\)
   \(x > -\frac{3}{2}\)

Решение: \(x > -\frac{3}{2}\).

Изображение на числовой прямой:
Отметим точку \(-\frac{3}{2}\) (или -1.5) на числовой прямой. Поскольку неравенство строгое (\(>\)), точка \(-\frac{3}{2}\) не включается в решение. Все значения больше \(-\frac{3}{2}\) будут заштрихованы справа от \(-\frac{3}{2}\).

     <----------------|------------------>
     -2              -3/2              0
                     (------------------>

Ответ: \(x > -\frac{3}{2}\)

Задание 4

Нужно купить 50 фруктов: яблоки по 70 йен за штуку и апельсины по 40 йен за штуку. Общая стоимость покупки должна быть не более 3000 йен. Определите, какое максимальное количество яблок можно купить.

Решение

Пусть \(x\) — количество яблок, а \(y\) — количество апельсинов.
Из условия задачи мы имеем две информации:
1. Общее количество фруктов: \(x + y = 50\)
2. Общая стоимость: \(70x + 40y \le 3000\)

Нам нужно найти максимальное значение \(x\).

Из первого уравнения выразим \(y\):
\(y = 50 - x\)

Теперь подставим это выражение во второе неравенство:
\(70x + 40(50 - x) \le 3000\)

Раскроем скобки:
\(70x + 40 \cdot 50 - 40x \le 3000\)
\(70x + 2000 - 40x \le 3000\)

Сгруппируем слагаемые с \(x\):
\((70 - 40)x + 2000 \le 3000\)
\(30x + 2000 \le 3000\)

Вычтем 2000 из обеих частей неравенства:
\(30x \le 3000 - 2000\)
\(30x \le 1000\)

Разделим обе части на 30 (положительное число, знак неравенства не меняется):
\(x \le \frac{1000}{30}\)
\(x \le \frac{100}{3}\)
\(x \le 33.333...\)

Поскольку количество яблок должно быть целым числом, максимальное целое значение \(x\), удовлетворяющее условию \(x \le 33.333...\), равно 33.

Проверим, что при \(x=33\) можно купить 50 фруктов и уложиться в бюджет:
Если \(x=33\), то \(y = 50 - 33 = 17\).
Стоимость: \(70 \cdot 33 + 40 \cdot 17 = 2310 + 680 = 2990\) йен.
\(2990 \le 3000\), что верно.

Если бы мы попытались купить \(x=34\) яблока, то \(y = 50 - 34 = 16\).
Стоимость: \(70 \cdot 34 + 40 \cdot 16 = 2380 + 640 = 3020\) йен.
\(3020 > 3000\), что не соответствует условию.

Ответ: Максимальное количество яблок, которое можно купить, равно 33.