Решение задач по математике: дроби и НОД

المهمة 1

المعطيات:
لدينا العبارة A حيث \(A = \frac{3575}{4225}\)

المطلوب:
اكتب العبارة A على شكل كسر غير قابل للاختزال.

الحل:
1. تحليل البسط والمقام إلى عواملهما الأولية:
* البسط: \(3575\)
* \(3575 \div 5 = 715\)
* \(715 \div 5 = 143\)
* \(143 \div 11 = 13\)
* \(13 \div 13 = 1\)
إذن، \(3575 = 5 \times 5 \times 11 \times 13\)
* المقام: \(4225\)
* \(4225 \div 5 = 845\)
* \(845 \div 5 = 169\)
* \(169 \div 13 = 13\)
* \(13 \div 13 = 1\)
إذن، \(4225 = 5 \times 5 \times 13 \times 13\)

2. اختزال الكسر:
   \(A = \frac{3575}{4225} = \frac{5 \times 5 \times 11 \times 13}{5 \times 5 \times 13 \times 13}\)

   نختزل العوامل المشتركة (5، 5، 13):
   \(A = \frac{11}{13}\)

الإجابة:
العبارة A على شكل كسر غير قابل للاختزال هي \(\frac{11}{13}\).

المهمة 2

المعطيات:
لدينا العبارة H حيث \(H = \frac{4}{35} + \frac{7}{35}\)

المطلوب:
اكتب العبارة H على شكل كسر مُبسط بطريقة الحساب.

الحل:
1. توحيد المقامات:
المقامات في العبارة H متحدة بالفعل (كلاهما 35).

2. جمع البسطين:
   \(H = \frac{4 + 7}{35}\)
   \(H = \frac{11}{35}\)

3. تبسيط الكسر:
   نبحث عن عوامل مشتركة بين البسط (11) والمقام (35).

   • عوامل 11 هي: 1، 11 (11 عدد أولي).
   • عوامل 35 هي: 1، 5، 7، 35.
     العامل المشترك الوحيد هو 1.
     إذن، الكسر \(\frac{11}{35}\) هو في أبسط صورة.

الإجابة:
العبارة H على شكل كسر مُبسط هي \(\frac{11}{35}\).

المهمة 3

المعطيات:
1. لدينا العددان 1317 و 1566.
2. عند بستاني 1317 وردة حمراء و 1756 وردة بيضاء. يريد تشكيل باقات متماثلة بحيث يضع في كل باقة نفس العدد من الورود البيضاء ونفس العدد من الورود الحمراء.

المطلوب:
ما أكبر عدد من الباقات المتماثلة التي يمكن تشكيلها، مع حساب عدد الورود في كل باقة؟

الحل:
لإيجاد أكبر عدد من الباقات المتماثلة، نحتاج إلى إيجاد القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) للعددين 1317 (عدد الورود الحمراء) و 1756 (عدد الورود البيضاء).

1. إيجاد القاسم المشترك الأكبر (ق.م.أ) للعددين 1317 و 1756 باستخدام خوارزمية إقليدس:

   • نقسم العدد الأكبر على العدد الأصغر:
     \(1756 = 1 \times 1317 + 439\)
   • نقسم المقسوم عليه (1317) على الباقي (439):
     \(1317 = 2 \times 439 + 439\) (لاحظ أن 439 * 3 = 1317، إذن 1317 = 3 * 439 + 0)
     \(1317 = 3 \times 439 + 0\)

   القاسم المشترك الأكبر هو آخر باقي غير صفري، وهو 439.
   إذن، أكبر عدد من الباقات المتماثلة يمكن تشكيلها هو 439 باقة.

2. حساب عدد الورود في كل باقة:

   • عدد الورود الحمراء في كل باقة = (إجمالي عدد الورود الحمراء) / (عدد الباقات)
     عدد الورود الحمراء = \(1317 \div 439 = 3\) وردات حمراء.
   • عدد الورود البيضاء في كل باقة = (إجمالي عدد الورود البيضاء) / (عدد الباقات)
     عدد الورود البيضاء = \(1756 \div 439 = 4\) وردات بيضاء.

الإجابة:
أكبر عدد من الباقات المتماثلة التي يمكن تشكيلها هو 439 باقة.
كل باقة ستحتوي على 3 وردات حمراء و 4 وردات بيضاء.