Решение тригонометрического уравнения и отбор корней

Решим уравнение \(\cos 2x + \sqrt{3} \sin(x + \pi) - 1 = 0\).

Шаг 1: Упростим выражение с синусом

Используем свойство \(\sin(x + \pi) = -\sin(x)\). Тогда уравнение примет вид:

\(\cos 2x - \sqrt{3} \sin x - 1 = 0\).

Шаг 2: Преобразуем \(\cos 2x\)

Используем формулу двойного угла \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\). Подставим в уравнение:

\(1 - 2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x - 1 = 0\).

Шаг 3: Упростим и решим квадратное уравнение

Упростим уравнение:

\(-2\sin^2 x - \sqrt{3} \sin x = 0\).

Вынесем \(-\sin x\) за скобки:

\(-\sin x (2\sin x + \sqrt{3}) = 0\).

Получаем два случая:

1) \(\sin x = 0\),
2) \(2\sin x + \sqrt{3} = 0\).

Шаг 4: Решим первый случай

\(\sin x = 0 \Rightarrow x = \pi n\), где \(n \in \mathbb{Z}\).

Шаг 5: Решим второй случай

\(2\sin x + \sqrt{3} = 0 \Rightarrow \sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Решения этого уравнения:

\(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\) или \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(k \in \mathbb{Z}\).

Ответ: \(x = \pi n\), \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\), \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\), где \(n, k \in \mathbb{Z}\).

Теперь укажем корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\).

Шаг 1: Рассмотрим серию \(x = \pi n\)

Нужно найти целые \(n\), при которых \(2\pi \le \pi n \le \frac{7\pi}{2}\). Разделим все части неравенства на \(\pi\):

\(2 \le n \le \frac{7}{2} = 3.5\).

Целые значения \(n\), удовлетворяющие этому неравенству: \(n = 2\) и \(n = 3\).

Тогда корни: \(x = 2\pi\) и \(x = 3\pi\).

Шаг 2: Рассмотрим серию \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k\)

Нужно найти целые \(k\), при которых \(2\pi \le -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{7\pi}{2}\). Прибавим \(\frac{\pi}{3}\) ко всем частям неравенства:

\(2\pi + \frac{\pi}{3} \le 2\pi k \le \frac{7\pi}{2} + \frac{\pi}{3}\).

\(\frac{7\pi}{3} \le 2\pi k \le \frac{23\pi}{6}\).

Разделим все части неравенства на \(2\pi\):

\(\frac{7}{6} \le k \le \frac{23}{12}\).

Приблизительно: \(1.17 \le k \le 1.92\).

Целое значение \(k\), удовлетворяющее этому неравенству: \(k = 1\).

Тогда корень: \(x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}\). Но \(\frac{5\pi}{3} < 2\pi\), поэтому этот корень не входит в заданный отрезок.

Шаг 3: Рассмотрим серию \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi k\)

Нужно найти целые \(k\), при которых \(2\pi \le \frac{4\pi}{3} + 2\pi k \le \frac{7\pi}{2}\). Вычтем \(\frac{4\pi}{3}\) из всех частей неравенства:

\(2\pi - \frac{4\pi}{3} \le 2\pi k \le \frac{7\pi}{2} - \frac{4\pi}{3}\).

\(\frac{2\pi}{3} \le 2\pi k \le \frac{13\pi}{6}\).

Разделим все части неравенства на \(2\pi\):

\(\frac{1}{3} \le k \le \frac{13}{12}\).

Приблизительно: \(0.33 \le k \le 1.08\).

Целое значение \(k\), удовлетворяющее этому неравенству: \(k = 1\).

Тогда корень: \(x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}\).

Ответ: Корни, принадлежащие отрезку \(\left[2\pi; \frac{7\pi}{2}\right]\): \(2\pi\), \(3\pi\), \(\frac{10\pi}{3}\).

Давай еще раз проанализируем, как мы отбирали корни уравнения, принадлежащие отрезку \(\\left[2\\pi; \\frac{7\\pi}{2}\\right]\).

Основные моменты:

1. Общий вид решений: Мы получили три серии решений тригонометрического уравнения: \(x = \\pi n\), \(x = -\\frac{\\pi}{3} + 2\\pi k\), \(x = \\frac{4\\pi}{3} + 2\\pi k\), где \(n, k \\in \\mathbb{Z}\).
2. Отрезок: Нам нужно найти корни, которые попадают в отрезок \(\\left[2\\pi; \\frac{7\\pi}{2}\\right]\), что приблизительно равно \(\\[6.28; 10.99]\).

Подробный разбор каждой серии:

• Серия 1: \(x = \\pi n\)

  • Мы ищем такие целые \(n\), чтобы \(2\\pi \\le \\pi n \\le \\frac{7\\pi}{2}\).
  • Разделив все части неравенства на \(\\pi\), получаем \(2 \\le n \\le 3.5\).
  • Подходящие целые значения \(n\): 2 и 3.
  • Соответствующие корни: \(x = 2\\pi\) и \(x = 3\\pi\).

• Серия 2: \(x = -\\frac{\\pi}{3} + 2\\pi k\)

  • Мы ищем такие целые \(k\), чтобы \(2\\pi \\le -\\frac{\\pi}{3} + 2\\pi k \\le \\frac{7\\pi}{2}\).
  • Прибавив \(\\frac{\\pi}{3}\) ко всем частям неравенства, получаем \(\\frac{7\\pi}{3} \\le 2\\pi k \\le \\frac{23\\pi}{6}\).
  • Разделив все части неравенства на \(2\\pi\), получаем \(\\frac{7}{6} \\le k \\le \\frac{23}{12}\), что приблизительно равно \(1.17 \\le k \\le 1.92\).
  • Подходящее целое значение \(k\): 1.
  • Соответствующий корень: \(x = -\\frac{\\pi}{3} + 2\\pi = \\frac{5\\pi}{3}\).
  • Проверка: \(\\frac{5\\pi}{3} \\approx 5.24\), что меньше \(2\\pi \\approx 6.28\), поэтому этот корень не входит в заданный отрезок.

• Серия 3: \(x = \\frac{4\\pi}{3} + 2\\pi k\)

  • Мы ищем такие целые \(k\), чтобы \(2\\pi \\le \\frac{4\\pi}{3} + 2\\pi k \\le \\frac{7\\pi}{2}\).
  • Вычтя \(\\frac{4\\pi}{3}\) из всех частей неравенства, получаем \(\\frac{2\\pi}{3} \\le 2\\pi k \\le \\frac{13\\pi}{6}\).
  • Разделив все части неравенства на \(2\\pi\), получаем \(\\frac{1}{3} \\le k \\le \\frac{13}{12}\), что приблизительно равно \(0.33 \\le k \\le 1.08\).
  • Подходящее целое значение \(k\): 1.
  • Соответствующий корень: \(x = \\frac{4\\pi}{3} + 2\\pi = \\frac{10\\pi}{3}\).
  • Проверка: \(\\frac{10\\pi}{3} \\approx 10.47\), что находится в пределах отрезка \(\\left[2\\pi; \\frac{7\\pi}{2}\\right]\).

Финальный ответ: Корни, принадлежащие отрезку \(\\left[2\\pi; \\frac{7\\pi}{2}\\right]\): \(2\\pi\), \(3\\pi\), \(\\frac{10\\pi}{3}\).