Пришли своё уравнение с дробями в чат — разберём его по шагам и найдём корень. Ниже разобраны шесть заданий по теме «уравнения с дробями» из учебника 6 класса: сравнение произведений без вычисления и пять уравнений разной сложности — чтобы было видно, как устроено решение, прежде чем присылать своё.
Подойдёт любое уравнение: из учебника, тетради или придуманное самим — просто нажми и опиши его в чате.
Решить моё уравнение →Как решать уравнения с дробями: общий метод
- Смешанные числа переводим в неправильные дроби: целую часть умножаем на знаменатель и прибавляем числитель.
- Слагаемые с одной переменной, но разными знаменателями сначала приводим к общему знаменателю.
- Переносим числа через знак равенства с переменой знака на противоположный.
- Разделить на дробь — значит умножить на обратную ей (перевёрнутую) дробь.
Задачи и решения
141 Не выполняя умножения, сравните значения выражений: 55 целых 55/59, умноженное на 18/17, и 55 целых 55/59, умноженное на 17/18.
Ответ 55 55/59 · 18/17 больше, чем 55 55/59 · 17/18
Дано: два произведения с одинаковым положительным множителем 55 целых 55/59, но с разными вторыми множителями — 18/17 и 17/18.
Сравниваем вторые множители, не вычисляя сами произведения:
— 18/17 — неправильная дробь: числитель больше знаменателя, значит эта дробь больше 1.
— 17/18 — правильная дробь: числитель меньше знаменателя, значит эта дробь меньше 1.
При умножении положительного числа на множитель, который больше 1, результат становится больше исходного числа. При умножении на множитель, который меньше 1, результат становится меньше исходного числа.
Поэтому 55 55/59 · 18/17 больше, чем само число 55 55/59, а 55 55/59 · 17/18 меньше, чем 55 55/59. Значит: 55 55/59 · 18/17 больше 55 55/59 · 17/18.
142 а Решите уравнение: 8/25 умножить на y равно 3 целых 1/5.
Ответ y = 10
Дано уравнение: 8/25 · y = 3 1/5.
-
Переводим смешанное число в неправильную дробь: 3 1/5 = (3 · 5 + 1)/5 = 16/5.
-
Уравнение принимает вид: 8/25 · y = 16/5.
-
Чтобы найти y, делим 16/5 на 8/25. Разделить на дробь — значит умножить на обратную ей: y = 16/5 · 25/8.
-
Сокращаем и перемножаем: 16/5 · 25/8 = (16 · 25)/(5 · 8) = 400/40 = 10.
Ответ: y = 10.
142 б Решите уравнение: 3 целых 1/12 минус 1 целая 5/6, умноженное на n, равно 1 целая 17/24.
Ответ n = 3/4
Дано уравнение: 3 1/12 − 1 5/6 · n = 1 17/24.
-
Переводим смешанные числа в неправильные дроби: 3 1/12 = 37/12; 1 5/6 = 11/6; 1 17/24 = 41/24.
-
Уравнение принимает вид: 37/12 − 11/6 · n = 41/24.
-
Переносим 37/12 в правую часть с переменой знака: −11/6 · n = 41/24 − 37/12.
-
Приводим дроби в правой части к общему знаменателю 24: 37/12 = 74/24, значит 41/24 − 74/24 = −33/24.
-
Получаем: −11/6 · n = −33/24. Делим обе части на −11/6, то есть умножаем на обратную дробь −6/11: n = −33/24 · (−6/11) = (33 · 6)/(24 · 11) = 198/264.
-
Сокращаем дробь на 66: 198/264 = 3/4.
Ответ: n = 3/4.
142 в Решите уравнение: (7/12 плюс 11/30, умноженное на x), делённое на 7 целых 1/4, равно 1/3.
Ответ x = 5
Дано уравнение: (7/12 + 11/30 · x) : 7 1/4 = 1/3.
-
Переводим смешанное число в неправильную дробь: 7 1/4 = 29/4.
-
Уравнение принимает вид: (7/12 + 11/30 · x) : 29/4 = 1/3.
-
Чтобы избавиться от деления, умножаем обе части на 29/4: 7/12 + 11/30 · x = 1/3 · 29/4 = 29/12.
-
Переносим 7/12 в правую часть: 11/30 · x = 29/12 − 7/12 = 22/12.
-
Сокращаем дробь: 22/12 = 11/6. Уравнение принимает вид: 11/30 · x = 11/6.
-
Делим обе части на 11/30, то есть умножаем на обратную дробь 30/11: x = 11/6 · 30/11 = (11 · 30)/(6 · 11) = 30/6 = 5.
Ответ: x = 5.
142 г Решите уравнение: 1/9 z плюс 7/18 z минус 11/27 z равно 2 целых 1/2.
Ответ z = 27
Дано уравнение: 1/9 z + 7/18 z − 11/27 z = 2 1/2.
-
В левой части три слагаемых с одной и той же переменной z, но с разными знаменателями — 9, 18 и 27. Приводим их к общему знаменателю 54: 1/9 = 6/54; 7/18 = 21/54; 11/27 = 22/54.
-
Складываем и вычитаем числители по порядку: 6/54 + 21/54 − 22/54 = (6 + 21 − 22)/54 = 5/54.
-
Уравнение принимает вид: 5/54 · z = 2 1/2.
-
Переводим смешанное число в неправильную дробь: 2 1/2 = 5/2.
-
Делим 5/2 на 5/54, то есть умножаем на обратную дробь 54/5: z = 5/2 · 54/5 = (5 · 54)/(2 · 5) = 54/2 = 27.
Ответ: z = 27.
142 д Решите уравнение: a минус 13/18 a равно 1/3.
Ответ a = 6/5 (то есть 1 целая 1/5)
Дано уравнение: a − 13/18 · a = 1/3.
-
В левой части оба слагаемых содержат a, поэтому саму переменную можно представить как 18/18 a: 18/18 a − 13/18 a = (18 − 13)/18 a = 5/18 a.
-
Уравнение принимает вид: 5/18 · a = 1/3.
-
Делим 1/3 на 5/18, то есть умножаем на обратную дробь 18/5: a = 1/3 · 18/5 = 18/15.
-
Сокращаем дробь на 3: 18/15 = 6/5. Это неправильная дробь, переводим в смешанное число: 6/5 = 1 1/5.
Ответ: a = 6/5, то есть 1 целая 1/5.
Частые ошибки в уравнениях с дробями
-
Смешанное число оставляют как есть и пытаются сразу делить или умножать по частям (отдельно целую часть, отдельно дробную).
Сначала всегда переводить смешанное число в неправильную дробь: целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель. Только после этого выполнять действия с уравнением.
-
При переносе слагаемого через знак равенства забывают поменять его знак на противоположный.
Перенос слагаемого в другую часть уравнения всегда меняет его знак на противоположный. Если в итоге уравнение приняло вид «−число · переменная = −число», обе части нужно разделить на отрицательное число — знаки при делении сократятся.
-
Слагаемые с одной переменной, но с разными знаменателями (как 1/9 z, 7/18 z и 11/27 z в 142 г), складывают и вычитают напрямую, не приводя к общему знаменателю.
Прежде чем сложить или вычесть дробные коэффициенты при одной и той же переменной, привести все дроби к общему знаменателю — иначе результат будет неверным.
-
Деление на дробь заменяют умножением на ту же дробь, не переворачивая её.
Разделить число на дробь — значит умножить это число на обратную дробь, то есть на дробь с поменянными местами числителем и знаменателем.
Вопросы и ответы
Как перевести смешанное число в неправильную дробь?
Умножить целую часть на знаменатель дробной части и прибавить числитель — это будет новый числитель, а знаменатель остаётся тем же. Например: 3 целых 1/5 = (3 умножить на 5, плюс 1), делённое на 5 = 16/5.
Как разделить обыкновенную дробь на дробь?
Разделить на дробь — значит умножить на дробь, обратную ей (у которой числитель и знаменатель поменяны местами). Например: 16/5, делённое на 8/25, равно 16/5 умножить на 25/8.
Что делать, если у нескольких слагаемых с одной переменной разные дробные коэффициенты?
Сначала привести все коэффициенты к общему знаменателю, сложить или вычесть числители и получить одно слагаемое с одним дробным коэффициентом — и только потом решать уравнение обычным способом.
Как проверить, что уравнение решено верно?
Подставить найденное значение переменной в исходное уравнение вместо буквы и выполнить все действия. Если левая часть равна правой (тому числу, что было в условии), корень найден верно.
