Построение векторов: умножение на число и вычитание

Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с этим заданием.

Задание 1

а) Построение вектора \(2\vec{a}\)

Чтобы построить вектор \(2\vec{a}\), нужно вектор \(\vec{a}\) умножить на 2. Это означает, что длина вектора увеличится в 2 раза, а направление останется прежним.

• Вектор \(\vec{a}\) занимает 2 клетки вправо.
• Вектор \(2\vec{a}\) будет занимать \(2 \cdot 2 = 4\) клетки вправо.

б) Построение вектора \(-\frac{1}{2}\vec{b}\)

Чтобы построить вектор \(-\frac{1}{2}\vec{b}\), нужно вектор \(\vec{b}\) умножить на \(-\frac{1}{2}\). Это означает, что длина вектора уменьшится в 2 раза, а направление изменится на противоположное.

• Вектор \(\vec{b}\) занимает 2 клетки вправо и 3 клетки вверх.
• Вектор \(-\frac{1}{2}\vec{b}\) будет занимать 1 клетку влево и 1.5 клетки вниз.

в) Построение вектора \(2\vec{b} - 2\vec{a}\)

Чтобы построить вектор \(2\vec{b} - 2\vec{a}\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Построить вектор \(2\vec{b}\). Это вектор, который в два раза длиннее вектора \(\vec{b}\) и имеет то же направление. Вектор \(2\vec{b}\) будет занимать 4 клетки вправо и 6 клеток вверх.
2. Построить вектор \(-2\vec{a}\). Это вектор, который в два раза длиннее вектора \(\vec{a}\) и имеет противоположное направление. Вектор \(-2\vec{a}\) будет занимать 4 клетки влево.
3. Сложить векторы \(2\vec{b}\) и \(-2\vec{a}\). Для этого нужно от конца вектора \(2\vec{b}\) отложить вектор \(-2\vec{a}\). Результирующий вектор будет идти из начала вектора \(2\vec{b}\) в конец вектора \(-2\vec{a}\).

• Вектор \(2\vec{b}\) занимает 4 клетки вправо и 6 клеток вверх.
• Вектор \(-2\vec{a}\) занимает 4 клетки влево.
• Результирующий вектор \(2\vec{b} - 2\vec{a}\) будет занимать 0 клеток вправо и 6 клеток вверх.

Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Задание 1

а) Построение вектора \(2\vec{a}\)

Вектор \(2\vec{a}\) будет в два раза длиннее вектора \(\vec{a}\) и направлен в ту же сторону.

     ----->  (вектор a)
     -------->-------->  (вектор 2a)

б) Построение вектора \(-\frac{1}{2}\vec{b}\)

Вектор \(-\frac{1}{2}\vec{b}\) будет в два раза короче вектора \(\vec{b}\) и направлен в противоположную сторону.

              /|\
             / |
            /  |  (вектор b)
           /   |
      <----    |
         \     |
          \    | (вектор -1/2 b)
           \   |
            \  |
             \|/

в) Построение вектора \(2\vec{b} - 2\vec{a}\)

1. Строим вектор \(2\vec{b}\): увеличиваем длину вектора \(\vec{b}\) в два раза.
2. Строим вектор \(-2\vec{a}\): увеличиваем длину вектора \(\vec{a}\) в два раза и меняем направление на противоположное.
3. Складываем векторы \(2\vec{b}\) и \(-2\vec{a}\): откладываем вектор \(-2\vec{a}\) от конца вектора \(2\vec{b}\).

              /|\
             / |
            /  |  (вектор 2b)
           /   |
  <----<----   |
     \         |
      \        | (вектор 2b - 2a)
       \       |
        \      |
         \     |
          \|/

Задание 2

В параллелограмме \(ABCD\), \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\). Нужно выразить вектор \(\vec{CO}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

• \(O\) - точка пересечения диагоналей параллелограмма, следовательно, \(O\) - середина \(AC\) и \(BD\).
• \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}\) (так как \(\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}\)).
• \(\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\).
• \(\vec{CO} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\).

Ответ: \(\vec{CO} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\)

Задание 3

В параллелограмме \(ABCD\), \(O\) - точка пересечения диагоналей, \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\).

а) Выразить векторы \(\vec{BD}\) и \(\vec{AO}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)

• \(\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\).
• \(\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\).

б) Выразить векторы \(\vec{BM}\) и \(\vec{DM}\), где \(M\) - точка на стороне \(BC\), такая что \(MB:MC = 3:2\)

• \(\vec{BM} = \frac{3}{5}\vec{BC} = \frac{3}{5}\vec{AD} = \frac{3}{5}\vec{b}\).
• \(\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM} = -\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b}\).

в) Выразить векторы \(\vec{KM}\), где \(K\) - точка на стороне \(AD\), такая что \(AK:KD = 1:3\)

• \(\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}\).
• \(\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BM} - \vec{AK} = \vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{b} = \vec{a} + \frac{7}{20}\vec{b}\).

г) Выразить векторы \(\vec{MN}\), где \(N\) - точка на диагонали \(AC\), такая что \(ON = NC\)

• \(\vec{AN} = \frac{2}{3}\vec{AC} = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b})\).
• \(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}\).
• \(\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{15}\vec{b}\).

Ассистент: Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе разобраться с основными понятиями о векторах.

Основные понятия о векторах

1. Определение вектора

Вектор — это направленный отрезок, который характеризуется:

• Началом (точкой, откуда вектор начинается).
• Концом (точкой, куда вектор направлен).
• Длиной (модулем) — расстоянием между началом и концом вектора.
• Направлением — углом, под которым вектор направлен относительно некоторой оси.

Обозначение: \(\vec{a}\), \(\vec{AB}\), где \(A\) — начало вектора, \(B\) — конец вектора.

2. Длина (модуль) вектора

Длина вектора (или модуль вектора) — это расстояние между его началом и концом. Обозначается как \(|\vec{a}|\) или \(|\vec{AB}|\).

Если вектор задан координатами, например, \(\vec{a} = (x, y)\), то его длина вычисляется по формуле:

\(|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}\)

3. Направление вектора

Направление вектора определяется углом, который вектор образует с положительным направлением оси \(x\) (или другой выбранной оси).

4. Координаты вектора

Вектор можно задать координатами. Если у нас есть две точки \(A(x_1, y_1)\) и \(B(x_2, y_2)\), то вектор \(\vec{AB}\) имеет координаты:

\(\vec{AB} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1)\)

5. Операции над векторами

a) Сложение векторов

• Правило треугольника: Чтобы сложить два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), нужно отложить вектор \(\vec{b}\) от конца вектора \(\vec{a}\). Результирующий вектор \(\vec{a} + \vec{b}\) будет идти из начала вектора \(\vec{a}\) в конец вектора \(\vec{b}\).
• Правило параллелограмма: Чтобы сложить два вектора \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\), нужно отложить их от одной точки. Затем построить параллелограмм, сторонами которого являются векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\). Диагональ параллелограмма, выходящая из общей точки, будет вектором \(\vec{a} + \vec{b}\).
• Сложение координат: Если \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\), то \(\vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)\).

b) Вычитание векторов

Чтобы вычесть вектор \(\vec{b}\) из вектора \(\vec{a}\), нужно сложить вектор \(\vec{a}\) с вектором, противоположным вектору \(\vec{b}\) (то есть \(-\vec{b}\)).

• \(\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})\)
• Если \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\), то \(\vec{a} - \vec{b} = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)\).

c) Умножение вектора на число

Чтобы умножить вектор \(\vec{a}\) на число \(k\), нужно умножить каждую координату вектора на это число.

• \(k\vec{a} = (kx_1, ky_1)\), если \(\vec{a} = (x_1, y_1)\).
• Если \(k > 0\), то вектор \(k\vec{a}\) сонаправлен с вектором \(\vec{a}\).
• Если \(k < 0\), то вектор \(k\vec{a}\) противоположно направлен вектору \(\vec{a}\).
• Длина вектора \(k\vec{a}\) равна \(|k| \cdot |\vec{a}|\).

6. Коллинеарные и компланарные векторы

• Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) коллинеарны, если существует такое число \(k\), что \(\vec{a} = k\vec{b}\).
• Компланарные векторы — это векторы, лежащие в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

7. Скалярное произведение векторов

Скалярное произведение двух векторов \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) — это число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

• \(\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos{\theta}\), где \(\theta\) — угол между векторами \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).
• Если \(\vec{a} = (x_1, y_1)\) и \(\vec{b} = (x_2, y_2)\), то \(\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2\).
• Если \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\), то векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\) перпендикулярны.

Ассистент: Привет! Я Homiwork, твой ИИ-ассистент. Сейчас помогу тебе с этими заданиями.

Задание 1

а) Построение вектора \(2\vec{a}\)

Вектор \(\vec{a}\) занимает 2 клетки вправо. Вектор \(2\vec{a}\) будет занимать \(2 \cdot 2 = 4\) клетки вправо.

      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   |   |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   |   |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |--->--->|   |   |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   |   |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+

б) Построение вектора \(-\frac{1}{2}\vec{b}\)

Вектор \(\vec{b}\) занимает 2 клетки вправо и 3 клетки вверх. Вектор \(-\frac{1}{2}\vec{b}\) будет занимать 1 клетку влево и 1.5 клетки вниз.

      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   |   |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   |   |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   | ^ |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |<---\|   |   | |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   | v |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+

в) Построение вектора \(2\vec{b} - 2\vec{a}\)

Вектор \(2\vec{b}\) занимает 4 клетки вправо и 6 клеток вверх. Вектор \(-2\vec{a}\) занимает 4 клетки влево. Результирующий вектор \(2\vec{b} - 2\vec{a}\) будет занимать 0 клеток вправо и 6 клеток вверх.

      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   | ^ |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   | ^ |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   | ^ |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   | ^ |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   | ^ |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+
      |   |   |   |   |   | ^ |   |
      +---+---+---+---+---+---+---+

Задание 2

В параллелограмме \(ABCD\), \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\). Нужно выразить вектор \(\vec{CO}\) через векторы \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\).

• \(O\) - точка пересечения диагоналей параллелограмма, следовательно, \(O\) - середина \(AC\) и \(BD\).
• \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{a} + \vec{b}\) (так как \(\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}\)).
• \(\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\).
• \(\vec{CO} = -\vec{AO} = -\frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\).

Ответ: \(\vec{CO} = -\frac{1}{2}\vec{a} - \frac{1}{2}\vec{b}\)

Задание 3

В параллелограмме \(ABCD\), \(O\) - точка пересечения диагоналей, \(\vec{AB} = \vec{a}\) и \(\vec{AD} = \vec{b}\).

а) Выразить векторы \(\vec{BD}\) и \(\vec{AO}\) через \(\vec{a}\) и \(\vec{b}\)

• \(\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB} = \vec{b} - \vec{a}\).
• \(\vec{AO} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{AB} + \vec{BC}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})\).

б) Выразить векторы \(\vec{BM}\) и \(\vec{DM}\), где \(M\) - точка на стороне \(BC\), такая что \(MB:MC = 3:2\)

• \(\vec{BM} = \frac{3}{5}\vec{BC} = \frac{3}{5}\vec{AD} = \frac{3}{5}\vec{b}\).
• \(\vec{DM} = \vec{DC} + \vec{CM} = -\vec{a} - \frac{2}{5}\vec{b}\).

в) Выразить векторы \(\vec{KM}\), где \(K\) - точка на стороне \(AD\), такая что \(AK:KD = 1:3\)

• \(\vec{AK} = \frac{1}{4}\vec{AD} = \frac{1}{4}\vec{b}\).
• \(\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK} = \vec{AB} + \vec{BM} - \vec{AK} = \vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b} - \frac{1}{4}\vec{b} = \vec{a} + \frac{7}{20}\vec{b}\).

г) Выразить векторы \(\vec{MN}\), где \(N\) - точка на диагонали \(AC\), такая что \(ON = NC\)

• \(\vec{AN} = \frac{2}{3}\vec{AC} = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b})\).
• \(\vec{AM} = \vec{AB} + \vec{BM} = \vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}\).
• \(\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{2}{3}(\vec{a} + \vec{b}) - (\vec{a} + \frac{3}{5}\vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{15}\vec{b}\).