Построение сечений — тема, где готового ответа на все случаи не бывает: результат целиком зависит от того, на каких рёбрах и как стоят именно твои точки. Опиши свою фигуру в чате — разберём её пошагово, с точным алгоритмом построения. А ниже для примера — разбор шести чертежей с типового листа «Построение сечений»: три тетраэдра и три параллелепипеда с разным расположением точек, от простого треугольника до пятиугольника.
Точки на твоём чертеже почти наверняка стоят по-другому — пришли свою фигуру, и мы построим сечение именно для неё, с объяснением каждого шага.
Разбор шести чертежей с листа
1 Тетраэдр $DABC$. На ребре $AD$ отмечена точка $M$ (примерно посередине, чуть ближе к $D$), и сразу даны вершины $B$ и $C$. Построить сечение, проходящее через точку $M$ и эти две вершины.
Ответ Сечение — треугольник $MBC$.
Точка \(M\) лежит на ребре \(AD\), а \(B\) и \(C\) — вершины тетраэдра, которые и так уже есть на чертеже, поэтому построение получается коротким.
- Точки \(M\) и \(B\) лежат в одной грани — \(ABD\) (в неё входят рёбра \(AD\) и \(AB\)). Значит, отрезок \(MB\) можно провести прямо внутри этой грани.
- Точки \(M\) и \(C\) лежат в другой общей грани — \(ACD\). Проводим отрезок \(MC\).
- Отрезок \(BC\) уже есть — это ребро тетраэдра, третья сторона сечения.
Соединив \(M\), \(B\) и \(C\) по порядку, получаем сечение — треугольник \(MBC\). Это самый простой случай: искать точки пересечения на других рёбрах не нужно, потому что две из трёх заданных точек — уже вершины тетраэдра.
2 Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На чертеже отмечены сразу обе вершины ребра $AA_1$ — точки $A$ и $A_1$ — и вершина $C$ нижнего основания. Построить сечение, проходящее через эти точки.
Ответ Сечение — параллелограмм $ACC_1A_1$ (диагональное сечение).
Раз в секущей плоскости отмечены сразу обе точки ребра \(AA_1\) — сама точка \(A\) и точка \(A_1\) — значит, этой плоскости принадлежит всё ребро \(AA_1\) целиком, а не просто точка на нём.
- Соединяем \(A\) и \(C\): это диагональ нижнего основания \(ABCD\), она целиком лежит в плоскости основания.
- Ребро \(CC_1\) параллельно ребру \(AA_1\) — в параллелепипеде все боковые рёбра параллельны и равны. Секущая плоскость уже содержит прямую \(AA_1\), поэтому грань \(DCC_1D_1\) она пересекает по прямой, параллельной \(AA_1\), то есть по самому ребру \(CC_1\). Значит, точка \(C_1\) тоже лежит в сечении.
- Соединяем \(C_1\) и \(A_1\): это диагональ верхнего основания \(A_1B_1C_1D_1\).
В итоге сечение — четырёхугольник \(ACC_1A_1\), у которого \(AC\) параллельна \(A_1C_1\), а \(AA_1\) параллельна \(CC_1\) — это параллелограмм. Такое сечение называют диагональным: плоскость проходит через два противоположных боковых ребра параллелепипеда.
3 Тетраэдр без подписанных вершин (для объяснения обозначим их как на чертеже №1: $S$ — верхняя вершина, $A$ — левая нижняя, $B$ — правая нижняя, $C$ — передняя нижняя). Отмечены три точки на рёбрах: $M$ на $SB$ (близко к $S$), $N$ на $AC$ (примерно посередине) и $P$ на $CB$ (примерно посередине). Построить сечение через $M$, $N$, $P$.
Ответ Сечение — четырёхугольник $NPMQ$, где $Q$ — дополнительная точка на ребре $SA$, найденная построением.
Здесь все три точки лежат на разных рёбрах, и ни одна не совпадает с вершиной, поэтому напрямую соединить можно не любую пару — нужен метод следов.
- Точки \(N\) (на \(AC\)) и \(P\) (на \(CB\)) лежат в одной грани — основании \(ABC\). Проводим отрезок \(NP\) прямо внутри этой грани.
- Продолжаем прямую \(NP\) за пределы треугольника \(ABC\) до пересечения с прямой \(AB\) — получаем вспомогательную точку \(K\). Это «след» секущей плоскости на плоскости грани \(SAB\).
- Точки \(K\) и \(M\) лежат в одной грани \(SAB\) (\(K\) — на прямой \(AB\), \(M\) — на ребре \(SB\)), проводим прямую \(KM\). Она пересекает ребро \(SA\) в точке \(Q\).
- Точки \(Q\) (на \(SA\)) и \(N\) (на \(AC\)) лежат в общей грани \(SAC\) — соединяем их отрезком \(QN\).
Обходим точки в порядке \(N\), \(P\), \(M\), \(Q\) и снова \(N\) — получаем четырёхугольник, четвёртая вершина которого (\(Q\)) не была дана в условии, а найдена построением. Это общий случай: у тетраэдра всего 4 грани, и сечение по трём точкам на разных рёбрах чаще всего получается именно четырёхугольником.
4 Тетраэдр без подписанных вершин (обозначения как в №3: $S$, $A$, $B$, $C$). На чертеже отмечена сама вершина $S$, точка $N$ на ребре $AC$ (практически посередине, чуть ближе к $A$) и точка $P$ на ребре $CB$ (примерно посередине). Построить сечение через $S$, $N$, $P$.
Ответ Сечение — треугольник $SNP$.
В отличие от №3, здесь одна из трёх точек — сама вершина \(S\), а не точка на ребре, поэтому построение получается коротким.
- \(S\) и \(N\) лежат в одной грани \(SAC\) (\(N\) — на ребре \(AC\)) — проводим \(SN\).
- \(S\) и \(P\) лежат в одной грани \(SCB\) (\(P\) — на ребре \(CB\)) — проводим \(SP\).
- \(N\) и \(P\) лежат в основании \(ABC\) — проводим \(NP\).
Все три пары точек нашлись в общих гранях, поэтому вспомогательные точки не нужны. Сечение — треугольник \(SNP\). Сравнение с №3 показывает главное правило: как только одна из трёх точек — вершина многогранника, построение почти всегда упрощается.
5 Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На чертеже отмечена точка $Q$ на ребре $BC$ вблизи вершины $B$, точка $N$ на ребре $AD$ (ближе к $D$) и точка $K$ на ребре $CC_1$ (примерно посередине). Построить сечение через $Q$, $N$, $K$.
Ответ Сечение — четырёхугольник $NQKR$, где $R$ — дополнительная точка на ребре $DD_1$, найденная построением.
- \(Q\) и \(N\) лежат в основании \(ABCD\) (\(Q\) — на ребре \(BC\), \(N\) — на ребре \(AD\)) — проводим \(QN\).
- \(Q\) и \(K\) лежат в грани \(BCC_1B_1\) (\(Q\) — на ребре \(BC\), \(K\) — на ребре \(CC_1\)) — проводим \(QK\).
- Осталось связать \(N\) и \(K\) — общей грани у них нет. Грань \(ADD_1A_1\) (где лежит \(N\)) и грань \(BCC_1B_1\) (где лежит \(Q\) и \(K\)) — противоположные и параллельные грани параллелепипеда, так как \(AD\) параллельна \(BC\). Значит, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым: через \(N\) проводим прямую, параллельную уже построенной \(QK\), — она пересекает ребро \(DD_1\) в точке \(R\).
- \(R\) и \(K\) лежат в общей грани \(DCC_1D_1\) — проводим \(RK\).
Обходим точки в порядке \(N\), \(Q\), \(K\), \(R\) — получаем четырёхугольник. Ключевой приём здесь — правило параллельных следов: если секущая плоскость пересекает одну из двух параллельных граней по известной прямой, на второй грани след обязательно ей параллелен.
6 Параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. На чертеже отмечена вершина $D_1$, точка $M$ на ребре $AA_1$ (близко к $A$) и точка $N$ на ребре $BC$ (ближе к $B$). Построить сечение через $D_1$, $M$, $N$.
Ответ Сечение — пятиугольник $MPNQD_1$, где $P$ (на ребре $AB$) и $Q$ (на ребре $CC_1$) — дополнительные точки, найденные построением.
Это самый сложный из шести случаев: у данных точек нет общих граней, кроме одной пары, поэтому нужны два вспомогательных построения подряд.
- \(M\) (на \(AA_1\)) и \(D_1\) (вершина) лежат в общей грани \(ADD_1A_1\) — проводим \(MD_1\).
- Продолжаем прямую \(MD_1\) за пределы грани до пересечения с прямой \(AD\), продолженной за вершину \(A\), — получаем вспомогательную точку \(T\). Это след секущей плоскости на плоскости основания.
- Соединяем \(T\) с данной точкой \(N\) (на ребре \(BC\)) — прямая \(TN\) лежит в плоскости основания \(ABCD\) и пересекает ребро \(AB\) в точке \(P\).
- Продолжаем ту же прямую дальше, до пересечения с прямой \(DC\), продолженной за вершину \(C\), — получаем вторую вспомогательную точку \(U\).
- Соединяем \(U\) с \(D_1\) — эта прямая лежит в плоскости грани \(DCC_1D_1\) и пересекает ребро \(CC_1\) в точке \(Q\).
Теперь все точки сечения найдены: \(M\) (на \(AA_1\)), \(P\) (на \(AB\)), \(N\) (на \(BC\)), \(Q\) (на \(CC_1\)) и \(D_1\) (вершина). Обходим их по порядку — получаем пятиугольник \(MPNQD_1\). Пять сторон — не ошибка: сечение параллелепипеда может иметь от 3 до 6 сторон, и пятиугольник получается ровно тогда, когда секущая плоскость задевает пять из шести граней.
Частые ошибки
-
Соединяют отрезком две точки, которые лежат в разных гранях многогранника
Напрямую можно соединять только точки одной общей грани. Если общей грани нет — ищут вспомогательную точку пересечения через метод следов (продолжают прямую до пересечения с другим ребром или его продолжением)
-
Считают, что сечение тетраэдра — всегда треугольник
Если все три заданные точки лежат на разных рёбрах и ни одна не совпадает с вершиной, сечение обычно получается четырёхугольником — как в задаче №3
-
Забывают, что если в секущей плоскости отмечены сразу обе вершины одного ребра, то плоскости принадлежит всё это ребро целиком
В этом случае третья точка сразу определяет ещё одну вершину сечения по параллельности противоположных рёбер — как в задаче №2
-
В параллелепипеде ищут след секущей плоскости на грани, забывая, что противоположные грани параллельны
Если след на одной из двух параллельных граней уже найден, на второй грани секущая плоскость даёт параллельную ему прямую — не нужно искать её заново с нуля
Вопросы и ответы
Сколько сторон может быть у сечения тетраэдра?
Три или четыре. У тетраэдра всего 4 грани, поэтому секущая плоскость пересекает не больше четырёх из них — сечение бывает треугольником или четырёхугольником.
Сколько сторон может быть у сечения параллелепипеда?
От трёх до шести — по числу граней, которые задевает секущая плоскость. Треугольник получается, если плоскость отсекает один угол, а шестиугольник — когда она пересекает все шесть граней.
Что делать, если две из заданных точек не лежат в одной грани?
Строить сразу отрезок между ними нельзя. Нужно продолжить прямую через уже построенные точки (лежащие в общих гранях с обеими) до пересечения с ребром или его продолжением — так находится дополнительная точка сечения. Это и есть метод следов.
Как быстро понять, что сечение получится простым треугольником?
Если хотя бы одна из трёх заданных точек — уже вершина многогранника, часто (но не всегда) каждая пара точек попадёт в общую грань, и сечение можно построить прямыми отрезками без вспомогательных точек — как в задачах №1 и №4. Гарантии тут нет: в задаче №6 среди точек тоже есть вершина (\(D_1\)), но она не лежит в общей грани с обеими остальными точками сразу, и всё равно понадобились две последовательные вспомогательные точки. Проверяй по факту — есть ли общая грань у каждой пары точек, а не только по тому, есть ли среди них вершина.
