Решение системы линейных уравнений онлайн

Язык задания: Russian

В задании представлена система линейных уравнений. Необходимо решить эту систему.

Задание 1

Решить систему линейных уравнений:

\(\begin{cases} 0x_1 + 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \\ x_1 + 0x_2 + 0x_3 + 2x_4 = 1 \\ x_1 + 4x_2 - x_3 + 0x_4 = -3 \\ 0x_1 + 0x_2 - x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}\)

Решение:

1. Упростим систему:

\(\begin{cases} 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \\ x_1 + 2x_4 = 1 \\ x_1 + 4x_2 - x_3 = -3 \\ -x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}\)

2. Выразим \(x_1\) из второго уравнения:

\(x_1 = 1 - 2x_4\)

3. Подставим выражение для \(x_1\) в третье уравнение:

\((1 - 2x_4) + 4x_2 - x_3 = -3\)
\(4x_2 - x_3 - 2x_4 = -4\)

4. Теперь у нас есть следующая система:

\(\begin{cases} 4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1 \\ 4x_2 - x_3 - 2x_4 = -4 \\ -x_3 + 2x_4 = 0 \end{cases}\)

5. Вычтем второе уравнение из первого:

\((4x_2 - x_3 + 3x_4) - (4x_2 - x_3 - 2x_4) = 1 - (-4)\)
\(5x_4 = 5\)
\(x_4 = 1\)

6. Подставим \(x_4 = 1\) в уравнение \(-x_3 + 2x_4 = 0\):

\(-x_3 + 2(1) = 0\)
\(x_3 = 2\)

7. Подставим \(x_4 = 1\) и \(x_3 = 2\) в уравнение \(4x_2 - x_3 + 3x_4 = 1\):

\(4x_2 - 2 + 3(1) = 1\)
\(4x_2 + 1 = 1\)
\(4x_2 = 0\)
\(x_2 = 0\)

8. Подставим \(x_4 = 1\) в уравнение \(x_1 = 1 - 2x_4\):

\(x_1 = 1 - 2(1)\)
\(x_1 = -1\)

Ответ:

\(x_1 = -1, x_2 = 0, x_3 = 2, x_4 = 1\)