Нахождение первообразных функций: примеры и правила

Конечно, я помогу вам найти первообразные для указанных функций.

Общий вид первообразной

Первообразной для функции \(f(x)\) называется такая функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\). Общий вид первообразной для функции \(f(x)\) записывается как \(F(x) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.

Находим первообразные для каждой функции:

1. \(f(x) = x^3 + \cos x\)

   • Первообразная для \(x^3\) равна \(\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}\).
   • Первообразная для \(\cos x\) равна \(\sin x\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = x^3 + \cos x\) будет:
     \(F(x) = \frac{x^4}{4} + \sin x + C\)

2. \(f(x) = 3 \sin x\)

   • Первообразная для \(\sin x\) равна \(-\cos x\).
   • Умножаем на константу 3: \(3 \times (-\cos x) = -3 \cos x\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = 3 \sin x\) будет:
     \(F(x) = -3 \cos x + C\)

3. \(f(x) = \sin (3x - 2)\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \(\sin(ax+b)\), мы используем правило: первообразная равна \(-\frac{1}{a} \cos(ax+b)\).
   • В данном случае \(a=3\) и \(b=-2\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = \sin (3x - 2)\) будет:
     \(F(x) = -\frac{1}{3} \cos (3x - 2) + C\)

4. \(f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \(\cos(ax+b)\), мы используем правило: первообразная равна \(\frac{1}{a} \sin(ax+b)\).
   • В данном случае \(a=1\) и \(b=\frac{\pi}{3}\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\) будет:
     \(F(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + C\)

5. \(f(x) = (3x - 12)^4\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \((ax+b)^n\), мы используем правило: первообразная равна \(\frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}\).
   • В данном случае \(a=3\), \(b=-12\) и \(n=4\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = (3x - 12)^4\) будет:
     \(F(x) = \frac{1}{3} \frac{(3x - 12)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{3} \frac{(3x - 12)^5}{5} + C = \frac{(3x - 12)^5}{15} + C\)

Конечно, я помогу вам найти первообразные для указанных функций.

Общий вид первообразной

Первообразной для функции \(f(x)\) называется такая функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\). Общий вид первообразной для функции \(f(x)\) записывается как \(F(x) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.

Находим первообразные для каждой функции:

1. \(f(x) = x^3 + \cos x\)

   • Первообразная для \(x^3\) равна \(\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}\).
   • Первообразная для \(\cos x\) равна \(\sin x\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = x^3 + \cos x\) будет:
     \(F(x) = \frac{x^4}{4} + \sin x + C\)

2. \(f(x) = 3 \sin x\)

   • Первообразная для \(\sin x\) равна \(-\cos x\).
   • Умножаем на константу 3: \(3 \times (-\cos x) = -3 \cos x\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = 3 \sin x\) будет:
     \(F(x) = -3 \cos x + C\)

3. \(f(x) = \sin (3x - 2)\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \(\sin(ax+b)\), мы используем правило: первообразная равна \(-\frac{1}{a} \cos(ax+b)\).
   • В данном случае \(a=3\) и \(b=-2\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = \sin (3x - 2)\) будет:
     \(F(x) = -\frac{1}{3} \cos (3x - 2) + C\)

4. \(f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \(\cos(ax+b)\), мы используем правило: первообразная равна \(\frac{1}{a} \sin(ax+b)\).
   • В данном случае \(a=1\) и \(b=\frac{\pi}{3}\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\) будет:
     \(F(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + C\)

5. \(f(x) = (3x - 12)^4\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \((ax+b)^n\), мы используем правило: первообразная равна \(\frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}\).
   • В данном случае \(a=3\), \(b=-12\) и \(n=4\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = (3x - 12)^4\) будет:
     \(F(x) = \frac{1}{3} \frac{(3x - 12)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{3} \frac{(3x - 12)^5}{5} + C = \frac{(3x - 12)^5}{15} + C\)

Конечно, я помогу вам найти первообразные для указанных функций.

Общий вид первообразной

Первообразной для функции \(f(x)\) называется такая функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\). Общий вид первообразной для функции \(f(x)\) записывается как \(F(x) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.

Находим первообразные для каждой функции:

1. \(f(x) = x^3 + \cos x\)

   • Первообразная для \(x^3\) равна \(\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}\).
   • Первообразная для \(\cos x\) равна \(\sin x\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = x^3 + \cos x\) будет:
     \(F(x) = \frac{x^4}{4} + \sin x + C\)

2. \(f(x) = 3 \sin x\)

   • Первообразная для \(\sin x\) равна \(-\cos x\).
   • Умножаем на константу 3: \(3 \times (-\cos x) = -3 \cos x\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = 3 \sin x\) будет:
     \(F(x) = -3 \cos x + C\)

3. \(f(x) = \sin (3x - 2)\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \(\sin(ax+b)\), мы используем правило: первообразная равна \(-\frac{1}{a} \cos(ax+b)\).
   • В данном случае \(a=3\) и \(b=-2\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = \sin (3x - 2)\) будет:
     \(F(x) = -\frac{1}{3} \cos (3x - 2) + C\)

4. \(f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \(\cos(ax+b)\), мы используем правило: первообразная равна \(\frac{1}{a} \sin(ax+b)\).
   • В данном случае \(a=1\) и \(b=\frac{\pi}{3}\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\) будет:
     \(F(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + C\)

5. \(f(x) = (3x - 12)^4\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \((ax+b)^n\), мы используем правило: первообразная равна \(\frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}\).
   • В данном случае \(a=3\), \(b=-12\) и \(n=4\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = (3x - 12)^4\) будет:
     \(F(x) = \frac{1}{3} \frac{(3x - 12)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{3} \frac{(3x - 12)^5}{5} + C = \frac{(3x - 12)^5}{15} + C\)

Конечно, я помогу вам найти первообразные для указанных функций.

Общий вид первообразной

Первообразной для функции \(f(x)\) называется такая функция \(F(x)\), производная которой равна \(f(x)\), то есть \(F'(x) = f(x)\). Общий вид первообразной для функции \(f(x)\) записывается как \(F(x) + C\), где \(C\) — произвольная постоянная.

Находим первообразные для каждой функции:

1. \(f(x) = x^3 + \cos x\)

   • Первообразная для \(x^3\) равна \(\frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4}\).
   • Первообразная для \(\cos x\) равна \(\sin x\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = x^3 + \cos x\) будет:
     \(F(x) = \frac{x^4}{4} + \sin x + C\)

2. \(f(x) = 3 \sin x\)

   • Первообразная для \(\sin x\) равна \(-\cos x\).
   • Умножаем на константу 3: \(3 \times (-\cos x) = -3 \cos x\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = 3 \sin x\) будет:
     \(F(x) = -3 \cos x + C\)

3. \(f(x) = \sin (3x - 2)\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \(\sin(ax+b)\), мы используем правило: первообразная равна \(-\frac{1}{a} \cos(ax+b)\).
   • В данном случае \(a=3\) и \(b=-2\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = \sin (3x - 2)\) будет:
     \(F(x) = -\frac{1}{3} \cos (3x - 2) + C\)

4. \(f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \(\cos(ax+b)\), мы используем правило: первообразная равна \(\frac{1}{a} \sin(ax+b)\).
   • В данном случае \(a=1\) и \(b=\frac{\pi}{3}\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = \cos \left(x + \frac{\pi}{3}\right)\) будет:
     \(F(x) = \sin \left(x + \frac{\pi}{3}\right) + C\)

5. \(f(x) = (3x - 12)^4\)

   • Для нахождения первообразной функции вида \((ax+b)^n\), мы используем правило: первообразная равна \(\frac{1}{a} \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}\).
   • В данном случае \(a=3\), \(b=-12\) и \(n=4\).
   • Следовательно, общий вид первообразной для \(f(x) = (3x - 12)^4\) будет:
     \(F(x) = \frac{1}{3} \frac{(3x - 12)^{4+1}}{4+1} + C = \frac{1}{3} \frac{(3x - 12)^5}{5} + C = \frac{(3x - 12)^5}{15} + C\)