Доказательство свойств функций: нечетность и периодичность

Задание 59(a)
Доказать, что функция \(f(x) = x^3 \sin(x^2)\) является нечетной.

Функция \(f(x)\) является нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = (-x)^3 \sin((-x)^2) = -x^3 \sin(x^2)\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(-f(x)\):
   \(-f(x) = - (x^3 \sin(x^2)) = -x^3 \sin(x^2)\)

3. Так как \(f(-x) = -x^3 \sin(x^2) = -f(x)\), то функция \(f(x) = x^3 \sin(x^2)\) является нечетной.

Задание 63(a)
Доказать, что функция \(f(x) = 2 - \cos(x)\) является периодической.

Функция \(f(x)\) является периодической, если существует такое число \(T \neq 0\), что \(f(x + T) = f(x)\) для всех \(x\).

1. Вспомним, что период функции \(\cos(x)\) равен \(2\pi\), то есть \(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\).

2. Проверим, будет ли \(T = 2\pi\) периодом для \(f(x) = 2 - \cos(x)\):
   \(f(x + 2\pi) = 2 - \cos(x + 2\pi) = 2 - \cos(x) = f(x)\)

3. Так как \(f(x + 2\pi) = f(x)\), то функция \(f(x) = 2 - \cos(x)\) является периодической с периодом \(2\pi\).

Задание 59(б)
Доказать, что функция \(f(x) = x^5 \cos(3x)\) является нечетной.

Функция \(f(x)\) является нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = (-x)^5 \cos(3(-x)) = -x^5 \cos(-3x) = -x^5 \cos(3x)\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(-f(x)\):
   \(-f(x) = -(x^5 \cos(3x)) = -x^5 \cos(3x)\)

3. Так как \(f(-x) = -x^5 \cos(3x) = -f(x)\), то функция \(f(x) = x^5 \cos(3x)\) является нечетной.

Задание 63(б)
Доказать, что функция \(f(x) = \tan(2x)\) является периодической.

Функция \(f(x)\) является периодической, если существует такое число \(T \neq 0\), что \(f(x + T) = f(x)\) для всех \(x\).

1. Вспомним, что период функции \(\tan(x)\) равен \(\pi\), то есть \(\tan(x + \pi) = \tan(x)\).

2. Проверим, будет ли \(T = \frac{\pi}{2}\) периодом для \(f(x) = \tan(2x)\):
   \(f(x + \frac{\pi}{2}) = \tan(2(x + \frac{\pi}{2})) = \tan(2x + \pi) = \tan(2x) = f(x)\)

3. Так как \(f(x + \frac{\pi}{2}) = f(x)\), то функция \(f(x) = \tan(2x)\) является периодической с периодом \(\frac{\pi}{2}\).

Задание 59(в)
Доказать, что функция \(f(x) = \frac{x^4 + 1}{2x^3}\) является нечетной.

Функция \(f(x)\) является нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = \frac{(-x)^4 + 1}{2(-x)^3} = \frac{x^4 + 1}{-2x^3} = -\frac{x^4 + 1}{2x^3}\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(-f(x)\):
   \(-f(x) = -\frac{x^4 + 1}{2x^3}\)

3. Так как \(f(-x) = -\frac{x^4 + 1}{2x^3} = -f(x)\), то функция \(f(x) = \frac{x^4 + 1}{2x^3}\) является нечетной.

Задание 63(в)
Доказать, что функция \(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\) является периодической.

Функция \(f(x)\) является периодической, если существует такое число \(T \neq 0\), что \(f(x + T) = f(x)\) для всех \(x\).

1. Вспомним, что период функций \(\sin(x)\) и \(\cos(x)\) равен \(2\pi\), то есть \(\sin(x + 2\pi) = \sin(x)\) и \(\cos(x + 2\pi) = \cos(x)\).

2. Проверим, будет ли \(T = 2\pi\) периодом для \(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\):
   \(f(x + 2\pi) = \sin(x + 2\pi) + \cos(x + 2\pi) = \sin(x) + \cos(x) = f(x)\)

3. Так как \(f(x + 2\pi) = f(x)\), то функция \(f(x) = \sin(x) + \cos(x)\) является периодической с периодом \(2\pi\).

Задание 59(г)
Доказать, что функция \(f(x) = x^2(2x - x^3)\) является нечетной.

Функция \(f(x)\) является нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = (-x)^2(2(-x) - (-x)^3) = x^2(-2x + (-x^3)(-1)) = x^2(-2x + x^3) = -x^2(2x - x^3)\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(-f(x)\):
   \(-f(x) = -(x^2(2x - x^3)) = -x^2(2x - x^3)\)

3. Так как \(f(-x) = -x^2(2x - x^3) = -f(x)\), то функция \(f(x) = x^2(2x - x^3)\) является нечетной.

Задание 63(г)
Доказать, что функция \(f(x) = 3 + \sin^2(x)\) является периодической.

Функция \(f(x)\) является периодической, если существует такое число \(T \neq 0\), что \(f(x + T) = f(x)\) для всех \(x\).

1. Вспомним, что период функции \(\sin(x)\) равен \(2\pi\), а период функции \(\sin^2(x)\) равен \(\pi\), то есть \(\sin^2(x + \pi) = \sin^2(x)\).

2. Проверим, будет ли \(T = \pi\) периодом для \(f(x) = 3 + \sin^2(x)\):
   \(f(x + \pi) = 3 + \sin^2(x + \pi) = 3 + \sin^2(x) = f(x)\)

3. Так как \(f(x + \pi) = f(x)\), то функция \(f(x) = 3 + \sin^2(x)\) является периодической с периодом \(\pi\).

Задание 60(a)
Доказать, что функция \(f(x) = \frac{3x}{x^2 + 2}\) является нечетной.

Функция \(f(x)\) является нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = \frac{3(-x)}{(-x)^2 + 2} = \frac{-3x}{x^2 + 2} = -\frac{3x}{x^2 + 2}\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(-f(x)\):
   \(-f(x) = -\frac{3x}{x^2 + 2}\)

3. Так как \(f(-x) = -\frac{3x}{x^2 + 2} = -f(x)\), то функция \(f(x) = \frac{3x}{x^2 + 2}\) является нечетной.

Задание 64(a)
Найти наименьший положительный период функции \(y = \frac{1}{2} \sin(\frac{x}{4})\).

1. Вспомним, что период функции \(\sin(x)\) равен \(2\pi\).

2. Если у нас есть функция \(y = A \sin(Bx)\), то ее период равен \(\frac{2\pi}{|B|}\).

3. В нашем случае \(y = \frac{1}{2} \sin(\frac{x}{4})\), значит \(B = \frac{1}{4}\).

4. Тогда период функции \(y = \frac{1}{2} \sin(\frac{x}{4})\) равен \(\frac{2\pi}{|\frac{1}{4}|} = \frac{2\pi}{\frac{1}{4}} = 8\pi\).

Ответ: \(8\pi\).

Задание 60(б)
Доказать, что функция \(f(x) = \frac{\cos(x^3)}{x(25 - x^2)}\) является нечетной.

Функция \(f(x)\) является нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{(-x)(25 - (-x)^2)} = \frac{\cos(-x^3)}{-x(25 - x^2)} = \frac{\cos(x^3)}{-x(25 - x^2)} = -\frac{\cos(x^3)}{x(25 - x^2)}\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(-f(x)\):
   \(-f(x) = -\frac{\cos(x^3)}{x(25 - x^2)}\)

3. Так как \(f(-x) = -\frac{\cos(x^3)}{x(25 - x^2)} = -f(x)\), то функция \(f(x) = \frac{\cos(x^3)}{x(25 - x^2)}\) является нечетной.

Задание 64(б)
Найти наименьший положительный период функции \(y = 3 \tan(1.5x)\).

1. Вспомним, что период функции \(\tan(x)\) равен \(\pi\).

2. Если у нас есть функция \(y = A \tan(Bx)\), то ее период равен \(\frac{\pi}{|B|}\).

3. В нашем случае \(y = 3 \tan(1.5x)\), значит \(B = 1.5 = \frac{3}{2}\).

4. Тогда период функции \(y = 3 \tan(1.5x)\) равен \(\frac{\pi}{|\frac{3}{2}|} = \frac{\pi}{\frac{3}{2}} = \frac{2\pi}{3}\).

Ответ: \(\frac{2\pi}{3}\).

Задание 57(a)
Доказать, что функция \(f(x) = 3x^2 + x^4\) является четной.

Функция \(f(x)\) является четной, если \(f(-x) = f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = 3(-x)^2 + (-x)^4 = 3x^2 + x^4\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(f(x)\):
   \(f(x) = 3x^2 + x^4\)

3. Так как \(f(-x) = 3x^2 + x^4 = f(x)\), то функция \(f(x) = 3x^2 + x^4\) является четной.

Задание 57(б)
Доказать, что функция \(f(x) = x^5 \sin(\frac{x}{2})\) является четной.

Функция \(f(x)\) является четной, если \(f(-x) = f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = (-x)^5 \sin(\frac{-x}{2}) = -x^5 (-\sin(\frac{x}{2})) = x^5 \sin(\frac{x}{2})\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(f(x)\):
   \(f(x) = x^5 \sin(\frac{x}{2})\)

3. Так как \(f(-x) = x^5 \sin(\frac{x}{2}) = f(x)\), то функция \(f(x) = x^5 \sin(\frac{x}{2})\) является четной.

Задание 57(в)
Доказать, что функция \(f(x) = x^2 \cos(x)\) является четной.

Функция \(f(x)\) является четной, если \(f(-x) = f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = (-x)^2 \cos(-x) = x^2 \cos(x)\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(f(x)\):
   \(f(x) = x^2 \cos(x)\)

3. Так как \(f(-x) = x^2 \cos(x) = f(x)\), то функция \(f(x) = x^2 \cos(x)\) является четной.

Задание 57(г)
Доказать, что функция \(f(x) = 4x^6 - x^2\) является четной.

Функция \(f(x)\) является четной, если \(f(-x) = f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = 4(-x)^6 - (-x)^2 = 4x^6 - x^2\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(f(x)\):
   \(f(x) = 4x^6 - x^2\)

3. Так как \(f(-x) = 4x^6 - x^2 = f(x)\), то функция \(f(x) = 4x^6 - x^2\) является четной.

Задание 58(a)
Доказать, что функция \(f(x) = \frac{\cos(5x) + 1}{|x|}\) является четной.

Функция \(f(x)\) является четной, если \(f(-x) = f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = \frac{\cos(5(-x)) + 1}{|-x|} = \frac{\cos(-5x) + 1}{|x|} = \frac{\cos(5x) + 1}{|x|}\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(f(x)\):
   \(f(x) = \frac{\cos(5x) + 1}{|x|}\)

3. Так как \(f(-x) = \frac{\cos(5x) + 1}{|x|} = f(x)\), то функция \(f(x) = \frac{\cos(5x) + 1}{|x|}\) является четной.

Задание 58(б)
Доказать, что функция \(f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x^2 - 1}\) является четной.

Функция \(f(x)\) является четной, если \(f(-x) = f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = \frac{\sin^2(-x)}{(-x)^2 - 1} = \frac{(-\sin(x))^2}{x^2 - 1} = \frac{\sin^2(x)}{x^2 - 1}\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(f(x)\):
   \(f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x^2 - 1}\)

3. Так как \(f(-x) = \frac{\sin^2(x)}{x^2 - 1} = f(x)\), то функция \(f(x) = \frac{\sin^2(x)}{x^2 - 1}\) является четной.

Задание 58(в)
Доказать, что функция \(f(x) = \frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x^3}\) является нечетной.

Функция \(f(x)\) является нечетной, если \(f(-x) = -f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = \frac{2 \sin(\frac{-x}{2})}{(-x)^3} = \frac{2(-\sin(\frac{x}{2}))}{-x^3} = \frac{-2\sin(\frac{x}{2})}{-x^3} = \frac{2\sin(\frac{x}{2})}{x^3}\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(f(x)\):
   \(f(x) = \frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x^3}\)

3. Проверим, что \(f(-x) = f(x)\). В данном случае, функция является четной, а не нечетной. Но если мы ищем нечетность, то должны проверить, что \(f(-x) = -f(x)\).

4. Вычислим \(-f(x)\):
   \(-f(x) = -\frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x^3}\)

5. Сравним \(f(-x)\) и \(-f(x)\):
   \(f(-x) = \frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x^3} \neq -f(x)\)

Похоже, в задании опечатка. Функция не является ни четной, ни нечетной. Если бы функция была \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x^3}\), то она была бы четной. Если бы функция была \(f(x) = \frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x}\), то она была бы четной.

Однако, если бы функция была \(f(x) = \frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x^3}\), то \(f(-x) = \frac{2 \sin(-\frac{x}{2})}{(-x)^3} = \frac{-2 \sin(\frac{x}{2})}{-x^3} = \frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x^3} = f(x)\).

Если бы функция была \(f(x) = \frac{\sin(x)}{x}\), то \(f(-x) = \frac{\sin(-x)}{-x} = \frac{-\sin(x)}{-x} = \frac{\sin(x)}{x} = f(x)\).

Если предположить, что функция должна быть нечетной, то, возможно, имелась в виду функция \(f(x) = \frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x^3}\). В таком случае, функция является четной, а не нечетной.

Вывод: Функция \(f(x) = \frac{2 \sin(\frac{x}{2})}{x^3}\) является четной.

Задание 58(г)
Доказать, что функция \(f(x) = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2}\) является четной.

Функция \(f(x)\) является четной, если \(f(-x) = f(x)\).

1. Вычислим \(f(-x)\):
   \(f(-x) = \frac{\cos((-x)^3)}{4 - (-x)^2} = \frac{\cos(-x^3)}{4 - x^2} = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2}\)

2. Сравним \(f(-x)\) и \(f(x)\):
   \(f(x) = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2}\)

3. Так как \(f(-x) = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2} = f(x)\), то функция \(f(x) = \frac{\cos(x^3)}{4 - x^2}\) является четной.

Задание 48(a)
Построить графики функций: \(y = \frac{1}{x}\), \(y = \frac{1}{x} + 2\), \(y = \frac{1}{x-2}\).

1. \(y = \frac{1}{x}\) - это гипербола с вертикальной асимптотой \(x = 0\) и горизонтальной асимптотой \(y = 0\).
2. \(y = \frac{1}{x} + 2\) - это гипербола \(y = \frac{1}{x}\), сдвинутая вверх на 2 единицы. Вертикальная асимптота \(x = 0\), горизонтальная асимптота \(y = 2\).
3. \(y = \frac{1}{x-2}\) - это гипербола \(y = \frac{1}{x}\), сдвинутая вправо на 2 единицы. Вертикальная асимптота \(x = 2\), горизонтальная асимптота \(y = 0\).

Задание 48(б)
Построить графики функций: \(y = \cos x\), \(y = \cos x - 3\), \(y = \cos(x + \frac{\pi}{4})\).

1. \(y = \cos x\) - это стандартная косинусоида с периодом \(2\pi\), амплитудой 1 и значениями в диапазоне \([-1, 1]\).
2. \(y = \cos x - 3\) - это косинусоида \(y = \cos x\), сдвинутая вниз на 3 единицы. Значения в диапазоне \([-4, -2]\).
3. \(y = \cos(x + \frac{\pi}{4})\) - это косинусоида \(y = \cos x\), сдвинутая влево на \(\frac{\pi}{4}\) единицы.

Задание 48(в)
Построить графики функций: \(y = -x^2\), \(y = 4 - x^2\), \(y = -(x-2)^2\).

1. \(y = -x^2\) - это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 0).
2. \(y = 4 - x^2\) - это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (0, 4). Это парабола \(y = -x^2\), сдвинутая вверх на 4 единицы.
3. \(y = -(x-2)^2\) - это парабола, ветви которой направлены вниз, с вершиной в точке (2, 0). Это парабола \(y = -x^2\), сдвинутая вправо на 2 единицы.

Задание 48(г)
Построить графики функций: \(y = \sin x\), \(y = \sin x + 2\), \(y = \sin(x + \frac{\pi}{3})\).

1. \(y = \sin x\) - это стандартная синусоида с периодом \(2\pi\), амплитудой 1 и значениями в диапазоне \([-1, 1]\).
2. \(y = \sin x + 2\) - это синусоида \(y = \sin x\), сдвинутая вверх на 2 единицы. Значения в диапазоне \([1, 3]\).
3. \(y = \sin(x + \frac{\pi}{3})\) - это синусоида \(y = \sin x\), сдвинутая влево на \(\frac{\pi}{3}\) единицы.