Решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными

Задание 1.16

Нам дано дифференциальное уравнение:
$$ \sqrt{5+y^2} + y'y\sqrt{1-x^2} = 0 $$

Шаг 1: Перепишем уравнение, выразив \(y'\)

Наша цель — привести уравнение к виду, где переменные разделены. Для начала, выделим член с \(y'\):
$$ y'y\sqrt{1-x^2} = -\sqrt{5+y^2} $$

Теперь, разделим обе части на \(y\sqrt{1-x^2}\), чтобы изолировать \(y'\):
$$ y' = \frac{-\sqrt{5+y^2}}{y\sqrt{1-x^2}} $$
Учитывая, что \(y' = \frac{dy}{dx}\), мы можем переписать это как:
$$ \frac{dy}{dx} = \frac{-\sqrt{5+y^2}}{y\sqrt{1-x^2}} $$

Шаг 2: Разделение переменных

Теперь разделим переменные, перенеся все члены, содержащие \(y\), в одну сторону, а все члены, содержащие \(x\), — в другую. Умножим обе части на \(dx\) и на \(\frac{y}{\sqrt{5+y^2}}\):
$$ \frac{y}{\sqrt{5+y^2}} dy = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$

Шаг 3: Интегрирование обеих частей

Теперь проинтегрируем обе части уравнения:
$$ \int \frac{y}{\sqrt{5+y^2}} dy = \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx $$

Рассмотрим левую часть: \(\int \frac{y}{\sqrt{5+y^2}} dy\).
Для этого интеграла сделаем замену \(u = 5+y^2\). Тогда \(du = 2y \, dy\), или \(y \, dy = \frac{1}{2} du\).
$$ \int \frac{1}{\sqrt{u}} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = \frac{1}{2} \frac{u^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}} = u^{\frac{1}{2}} = \sqrt{u} $$
Подставляя обратно \(u = 5+y^2\), получаем \(\sqrt{5+y^2}\).

Рассмотрим правую часть: \(\int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx\).
Этот интеграл является стандартным:
$$ \int \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = -\arcsin(x) + C $$
где \(C\) — константа интегрирования.

Шаг 4: Получение общего решения

Приравнивая результаты интегрирования левой и правой частей, получаем:
$$ \sqrt{5+y^2} = -\arcsin(x) + C $$

Шаг 5: Выражение \(y\) (если возможно и требуется)

Чтобы выразить \(y\), возведем обе части в квадрат:
$$ 5+y^2 = (-\arcsin(x) + C)^2 $$
$$ y^2 = (-\arcsin(x) + C)^2 - 5 $$
$$ y = \pm \sqrt{(C - \arcsin(x))^2 - 5} $$

Окончательный ответ:
Общее решение данного дифференциального уравнения:
$$ \sqrt{5+y^2} = C - \arcsin(x) $$
или
$$ y = \pm \sqrt{(C - \arcsin(x))^2 - 5} $$
где \(C\) — произвольная постоянная.