Вычисление выражений с дробями: решение и объяснения

Язык задания: Russian

В тексте четыре задания. Начнем с первого.

Задание 1

Вычислить: \(27\frac{22}{35} + 56\frac{5}{21} - 51 - \frac{2}{15} - 32\frac{1}{22} + 25\frac{41}{55} - \frac{1}{5}\)

Решение:

1. Сгруппируем целые и дробные части:
   \((27 + 56 - 51 - 32 + 25) + (\frac{22}{35} + \frac{5}{21} - \frac{2}{15} - \frac{1}{22} + \frac{41}{55} - \frac{1}{5})\)
2. Вычислим целую часть:
   \(27 + 56 - 51 - 32 + 25 = 25\)
3. Найдем общий знаменатель для дробей:
   НОК(35, 21, 15, 22, 55, 5) = 2310
4. Приведем дроби к общему знаменателю:
   \(\frac{22}{35} = \frac{22 \cdot 66}{35 \cdot 66} = \frac{1452}{2310}\)
   \(\frac{5}{21} = \frac{5 \cdot 110}{21 \cdot 110} = \frac{550}{2310}\)
   \(\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 154}{15 \cdot 154} = \frac{308}{2310}\)
   \(\frac{1}{22} = \frac{1 \cdot 105}{22 \cdot 105} = \frac{105}{2310}\)
   \(\frac{41}{55} = \frac{41 \cdot 42}{55 \cdot 42} = \frac{1722}{2310}\)
   \(\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 462}{5 \cdot 462} = \frac{462}{2310}\)
5. Вычислим дробную часть:
   \(\frac{1452 + 550 - 308 - 105 + 1722 - 462}{2310} = \frac{2849}{2310}\)
6. Выделим целую часть из неправильной дроби:
   \(\frac{2849}{2310} = 1\frac{539}{2310}\)
7. Сократим дробь:
   \(\frac{539}{2310} = \frac{77}{330}\)
8. Сложим целые части:
   \(25 + 1 = 26\)
9. Запишем окончательный ответ:
   \(26\frac{77}{330}\)

Ответ: \(26\frac{77}{330}\)

Задание 2

Вычислить: \(30 - (82\frac{7}{65} - 81\frac{9}{10} + \frac{9}{13}) - 28\frac{1}{10} + (88\frac{59}{75} - 63\frac{3}{25})\)

Решение:

1. Раскроем скобки:
   \(30 - 82\frac{7}{65} + 81\frac{9}{10} - \frac{9}{13} - 28\frac{1}{10} + 88\frac{59}{75} - 63\frac{3}{25}\)
2. Сгруппируем целые и дробные части:
   \((30 - 82 + 81 - 28 + 88 - 63) + (-\frac{7}{65} + \frac{9}{10} - \frac{9}{13} - \frac{1}{10} + \frac{59}{75} - \frac{3}{25})\)
3. Вычислим целую часть:
   \(30 - 82 + 81 - 28 + 88 - 63 = 26\)
4. Найдем общий знаменатель для дробей:
   НОК(65, 10, 13, 75, 25) = 1950
5. Приведем дроби к общему знаменателю:
   \(-\frac{7}{65} = -\frac{7 \cdot 30}{65 \cdot 30} = -\frac{210}{1950}\)
   \(\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 195}{10 \cdot 195} = \frac{1755}{1950}\)
   \(-\frac{9}{13} = -\frac{9 \cdot 150}{13 \cdot 150} = -\frac{1350}{1950}\)
   \(-\frac{1}{10} = -\frac{1 \cdot 195}{10 \cdot 195} = -\frac{195}{1950}\)
   \(\frac{59}{75} = \frac{59 \cdot 26}{75 \cdot 26} = \frac{1534}{1950}\)
   \(-\frac{3}{25} = -\frac{3 \cdot 78}{25 \cdot 78} = -\frac{234}{1950}\)
6. Вычислим дробную часть:
   \(\frac{-210 + 1755 - 1350 - 195 + 1534 - 234}{1950} = \frac{1300}{1950}\)
7. Сократим дробь:
   \(\frac{1300}{1950} = \frac{2}{3}\)
8. Запишем окончательный ответ:
   \(26 + \frac{2}{3} = 26\frac{2}{3}\)

Ответ: \(26\frac{2}{3}\)

Задание 3

Вычислить: \(67\frac{33}{140} - 40 - (11\frac{11}{15} + (15\frac{3}{5} - 2\frac{22}{105} + 19\frac{16}{35}) - 48\frac{5}{7}) - \frac{1}{5}\)

Решение:

1. Раскроем внутренние скобки:
   \(67\frac{33}{140} - 40 - (11\frac{11}{15} + 15\frac{3}{5} - 2\frac{22}{105} + 19\frac{16}{35} - 48\frac{5}{7}) - \frac{1}{5}\)
2. Раскроем внешние скобки:
   \(67\frac{33}{140} - 40 - 11\frac{11}{15} - 15\frac{3}{5} + 2\frac{22}{105} - 19\frac{16}{35} + 48\frac{5}{7} - \frac{1}{5}\)
3. Сгруппируем целые и дробные части:
   \((67 - 40 - 11 - 15 + 2 - 19 + 48) + (\frac{33}{140} - \frac{11}{15} - \frac{3}{5} + \frac{22}{105} - \frac{16}{35} + \frac{5}{7} - \frac{1}{5})\)
4. Вычислим целую часть:
   \(67 - 40 - 11 - 15 + 2 - 19 + 48 = 32\)
5. Найдем общий знаменатель для дробей:
   НОК(140, 15, 5, 105, 35, 7) = 420
6. Приведем дроби к общему знаменателю:
   \(\frac{33}{140} = \frac{33 \cdot 3}{140 \cdot 3} = \frac{99}{420}\)
   \(-\frac{11}{15} = -\frac{11 \cdot 28}{15 \cdot 28} = -\frac{308}{420}\)
   \(-\frac{3}{5} = -\frac{3 \cdot 84}{5 \cdot 84} = -\frac{252}{420}\)
   \(\frac{22}{105} = \frac{22 \cdot 4}{105 \cdot 4} = \frac{88}{420}\)
   \(-\frac{16}{35} = -\frac{16 \cdot 12}{35 \cdot 12} = -\frac{192}{420}\)
   \(\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 60}{7 \cdot 60} = \frac{300}{420}\)
   \(-\frac{1}{5} = -\frac{1 \cdot 84}{5 \cdot 84} = -\frac{84}{420}\)
7. Вычислим дробную часть:
   \(\frac{99 - 308 - 252 + 88 - 192 + 300 - 84}{420} = \frac{-349}{420}\)
8. Выделим целую часть:
   \(32 - \frac{349}{420} = 31 + 1 - \frac{349}{420} = 31 + \frac{420 - 349}{420} = 31 + \frac{71}{420}\)

Ответ: \(31\frac{71}{420}\)