Основные правила работы с буквенными выражениями: сложение, вычитание, умножение, деление и сокращение

はい、承知いたしました。数学の問題を解いていきます。

Задание 1

問題: 次の式を文字式で表しなさい。

(1) \(a \times 1 - 3 \times 1\)
(2) \(x \times y \times p \times 1 - a \times 1 \times (1-x)\)
(3) \(a \times 2 - c \times b\)
(4) \(7 + (a - 1) \times b\)

解説:
文字式では、掛け算の記号「×」や割り算の記号「÷」は省略するのが一般的です。また、数字は文字の前に置きます。1を掛けたり引いたりする場合は、その項はそのままになります。

解答:
(1) \(a - 3\)
(2) \(xyp - a(1-x)\)
(3) \(2a - cb\)
(4) \(7 + (a - 1)b\)

Задание 2

問題: 次の数量を文字式で表しなさい。

(1) 1個が \(a\) 円のりんご 1 個の値段
(2) 1km の道のりを、分速 \(b\) m で歩くときにかかる時間

解説:
(1) りんご1個の値段が \(a\) 円なので、1個の値段はそのまま \(a\) 円です。
(2) 時間を求めるには、道のりを速さで割ります。ただし、単位を揃える必要があります。1km は 1000m です。

解答:
(1) \(a\) 円
(2) \(\frac{1000}{b}\) 分

Задание 3

問題: ある科学博物館の入館料は、学生が 1 人 \(a\) 円、大人 1 人が \(b\) 円である。このとき、次のような料金を表す式を答えなさい。

(1) 学生 1 人と大人 1 人の合計料金
(2) 学生 2 人と大人 1 人の合計料金

解説:
(1) 学生1人の料金が \(a\) 円、大人1人の料金が \(b\) 円なので、合計料金は \(a + b\) 円となります。
(2) 学生2人の料金は \(a \times 2\) 円、大人1人の料金は \(b\) 円なので、合計料金は \(2a + b\) 円となります。

解答:
(1) \(a + b\) 円
(2) \(2a + b\) 円

Задание 4

問題: \(a=2\), \(b=-3\) のとき、次の式の値を求めなさい。

(1) \(6a + 4b\)
(2) \(2a - 5b^2\)

解説:
与えられた \(a\) と \(b\) の値を、それぞれの式に代入して計算します。計算の順序に注意してください。累乗の計算は、掛け算よりも先に行います。

解答:
(1) \(6a + 4b = 6 \times (2) + 4 \times (-3) = 12 - 12 = 0\)
(2) \(2a - 5b^2 = 2 \times (2) - 5 \times (-3)^2 = 4 - 5 \times 9 = 4 - 45 = -41\)

はい、承知いたしました。文字式の基本的なルールについて、加減乗除、省略の観点からまとめて説明します。

文字式の基本的なルール

文字式は、数や文字、そしてそれらを計算記号でつないだ式のことです。数学の様々な場面で、数量の関係を分かりやすく表現するために使われます。

1. 省略のルール

文字式では、計算を簡単にするためにいくつかの記号を省略します。

• 掛け算 (\(\times\)) の省略:

  • 数字と文字の間では、掛け算の記号は省略します。数字は文字の前に書きます。
    • 例: \(a \times 3 \rightarrow 3a\)
  • 文字と文字の間では、掛け算の記号は省略します。アルファベット順に並べることが多いです。
    • 例: \(b \times a \rightarrow ab\)
  • 同じ文字が掛けられている場合は、累乗の形で表します。
    • 例: \(a \times a \rightarrow a^2\), \(b \times b \times b \rightarrow b^3\)
  • 数字と文字の積で、数字が1の場合は1も省略します。
    • 例: \(1 \times a \rightarrow a\)
  • カッコがある場合、カッコの前にある文字や数字との掛け算は省略します。
    • 例: \(a \times (b+c) \rightarrow a(b+c)\)

• 割り算 (\(\div\)) の省略:

  • 割り算は分数で表し、割り算の記号は省略します。
    • 例: \(a \div b \rightarrow \frac{a}{b}\)
    • 例: \((a+b) \div 3 \rightarrow \frac{a+b}{3}\)

2. 加減乗除のルール

• 足し算 (+) と引き算 (-):

  • 文字の部分が同じ項（同類項）は、まとめることができます。
    • 例: \(3a + 2a = (3+2)a = 5a\)
    • 例: \(5b - 2b = (5-2)b = 3b\)
  • 同類項でない場合は、そのまま足し算・引き算の記号を使って表します。
    • 例: \(3a + 2b\) （これ以上まとめることはできません）
  • カッコを含む式の計算では、カッコを外す際の符号の扱いに注意が必要です。
    • 例: \(a + (b+c) = a+b+c\)
    • 例: \(a - (b+c) = a-b-c\) （カッコの中の符号が変わります）
    • 例: \(a + (b-c) = a+b-c\)
    • 例: \(a - (b-c) = a-b+c\) （カッコの中の符号が変わります）

• 掛け算 (\(\times\)) と割り算 (\(\div\)):

  • 掛け算と割り算が混じった式では、原則として左から順に計算しますが、分数で表して整理すると分かりやすい場合が多いです。
    • 例: \(a \times b \div c = \frac{a \times b}{c} = \frac{ab}{c}\)
    • 例: \(a \div b \times c = \frac{a}{b} \times c = \frac{ac}{b}\)
  • 掛け算では、項の順序を入れ替えても結果は同じです（交換法則）。
    • 例: \(2 \times a \times b = 2ab\)
  • 分配法則を使ってカッコを展開することがあります。
    • 例: \(a(b+c) = ab + ac\)
    • 例: \((a+b)c = ac + bc\)

3. 値の代入

文字に具体的な数値を当てはめて計算することを「代入する」といいます。

• 注意点:
  • 負の数を代入するときは、カッコでくくることが重要です。
    • 例: \(a = -2\) のとき、\(a^2 = (-2)^2 = 4\) （もしカッコをつけずに \(-2^2\) とすると、\(- (2^2) = -4\) となり、意味が変わってしまいます。）
  • 掛け算の記号を省略している箇所には、代入する際に掛け算の記号を補って計算します。
    • 例: \(a=3, b=5\) のとき、\(2ab = 2 \times 3 \times 5 = 30\)

これらのルールを理解することで、様々な文字式の計算を正確に行うことができるようになります。