Решение неравенств и построение графиков парабол

Certamente! Analizziamo insieme i compiti.

Verifica 1: Risolvere le seguenti disequazioni

Qui ci sono diverse disequazioni da risolvere. Procederemo una per una.

Disequazione A) \(x^2 - 5x + 4 > 0\)

1. Trovare le radici dell'equazione associata: Consideriamo l'equazione \(x^2 - 5x + 4 = 0\). Possiamo risolverla usando la formula quadratica \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) o fattorizzando.
   • Fattorizzazione: Cerchiamo due numeri che moltiplicati diano 4 e sommati diano -5. Questi numeri sono -1 e -4.
     Quindi, \((x-1)(x-4) = 0\).
     Le radici sono \(x_1 = 1\) e \(x_2 = 4\).
2. Studiare il segno del trinomio: La parabola \(y = x^2 - 5x + 4\) ha il coefficiente di \(x^2\) positivo (1), quindi è rivolta verso l'alto. Questo significa che il trinomio è positivo al di fuori delle radici e negativo tra le radici.
3. Soluzione: Poiché vogliamo \(x^2 - 5x + 4 > 0\), la soluzione è \(x < 1\) o \(x > 4\).

Disequazione B) \(x^2 - 3x \le 0\)

1. Trovare le radici dell'equazione associata: Consideriamo l'equazione \(x^2 - 3x = 0\).
   • Fattorizzazione: Possiamo raccogliere la x: \(x(x-3) = 0\).
     Le radici sono \(x_1 = 0\) e \(x_2 = 3\).
2. Studiare il segno del trinomio: La parabola \(y = x^2 - 3x\) è rivolta verso l'alto. Il trinomio è negativo o nullo tra le radici (inclusi gli estremi).
3. Soluzione: Poiché vogliamo \(x^2 - 3x \le 0\), la soluzione è \(0 \le x \le 3\).

Disequazione C) \(x^2 - 10x + 25 \ge 0\)

1. Trovare le radici dell'equazione associata: Consideriamo l'equazione \(x^2 - 10x + 25 = 0\).
   • Questo è un quadrato perfetto: \((x-5)^2 = 0\).
     La radice è \(x = 5\) (doppia).
2. Studiare il segno del trinomio: La parabola \(y = x^2 - 10x + 25\) è rivolta verso l'alto e tocca l'asse x nel punto \(x=5\). Questo significa che il trinomio è sempre maggiore o uguale a zero per ogni valore di \(x\).
3. Soluzione: Poiché vogliamo \(x^2 - 10x + 25 \ge 0\), la soluzione è \(\forall x \in \mathbb{R}\) (tutti i numeri reali).

Disequazione D) \(x^2 - 10x + 25 \le 0\)

1. Riferimento alla Disequazione C: Abbiamo già analizzato il trinomio \(x^2 - 10x + 25\). Sappiamo che è sempre \(\ge 0\).
2. Soluzione: L'unico caso in cui \(x^2 - 10x + 25 \le 0\) è quando è esattamente uguale a zero. Questo accade solo per \(x=5\).

Disequazione E) \(x^2 - 10x + 25 = 0\)

1. Riferimento alla Disequazione C e D: Questa è l'equazione associata ai trinomio precedentemente studiati.
2. Soluzione: Come trovato in C, la soluzione è \(x = 5\).

Disequazione F) \(x^2 - 10x + 25 = 0\)

Questa è la stessa disequazione della E.

Disequazione G) \(x^2 - x + 4 > 0\)

1. Trovare le radici dell'equazione associata: Consideriamo l'equazione \(x^2 - x + 4 = 0\).
   • Calcoliamo il discriminante: \(\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(4) = 1 - 16 = -15\).
2. Studiare il segno del trinomio: Poiché il discriminante è negativo (\(\Delta < 0\)) e il coefficiente di \(x^2\) è positivo (1), la parabola \(y = x^2 - x + 4\) è sempre rivolta verso l'alto e non interseca mai l'asse x. Questo significa che il trinomio è sempre positivo per ogni valore di \(x\).
3. Soluzione: Poiché vogliamo \(x^2 - x + 4 > 0\), la soluzione è \(\forall x \in \mathbb{R}\) (tutti i numeri reali).

Disequazione H) \(x^2 - x + 4 < 0\)

1. Riferimento alla Disequazione G: Abbiamo appena dimostrato che il trinomio \(x^2 - x + 4\) è sempre positivo.
2. Soluzione: Pertanto, non esiste alcun valore di \(x\) per cui \(x^2 - x + 4 < 0\). La soluzione è \(\emptyset\) (insieme vuoto).

Disequazione I) \(\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 4} > 0\)

Questa è una disequazione fratta.

1. Studiare il segno del numeratore: \(x^2 - 3x > 0 \implies x(x-3) > 0\). Le radici sono 0 e 3. Il trinomio è positivo per \(x < 0\) o \(x > 3\).
2. Studiare il segno del denominatore: \(x^2 - 4 > 0 \implies (x-2)(x+2) > 0\). Le radici sono -2 e 2. Il trinomio è positivo per \(x < -2\) o \(x > 2\).
3. Determinare le condizioni di esistenza: Il denominatore non può essere zero, quindi \(x^2 - 4 \ne 0\), il che significa \(x \ne 2\) e \(x \ne -2\).

4. Studiare il segno della frazione: Costruiamo una tabella dei segni considerando i segni del numeratore e del denominatore nei vari intervalli determinati dalle radici (in ordine: -2, 0, 2, 3).

   Intervallo	\(x^2 - 3x\)	\(x^2 - 4\)	\(\frac{x^2 - 3x}{x^2 - 4}\)
   \(x < -2\)	+	+	+
   \(-2 < x < 0\)	+	-	-
   \(0 < x < 2\)	-	-	+
   \(2 < x < 3\)	-	+	-
   \(x > 3\)	+	+	+

5. Soluzione: Vogliamo che la frazione sia maggiore di zero (positiva). Dalla tabella, questo accade quando \(x < -2\) o \(0 < x < 2\) o \(x > 3\).

Esercizio 2: Rappresentare graficamente le parabole delle equazioni

Qui devi rappresentare graficamente delle parabole. Per farlo, di solito si considerano le equazioni della forma \(y = ax^2 + bx + c\).

Grafico della parabola \(Y = x^2 - 5x\)

1. Identificare i coefficienti: In questo caso, \(a=1\), \(b=-5\), \(c=0\).
2. Intersezione con l'asse y: Si ottiene ponendo \(x=0\). \(Y = 0^2 - 5(0) = 0\). Quindi, il punto di intersezione è \((0,0)\).
3. Intersezione con l'asse x: Si ottiene ponendo \(Y=0\): \(x^2 - 5x = 0\).
   • Fattorizzando: \(x(x-5) = 0\).
   • Le intersezioni sono \(x=0\) e \(x=5\). I punti sono \((0,0)\) e \((5,0)\).
4. Vertice della parabola: Le coordinate del vertice \((x_v, y_v)\) sono date da:
   • \(x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-5)}{2(1)} = \frac{5}{2} = 2.5\)
   • \(y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25\)
     Il vertice è \((2.5, -6.25)\).
5. Orientamento della parabola: Poiché \(a=1 > 0\), la parabola è rivolta verso l'alto.
6. Rappresentazione grafica: Traccia gli assi cartesiani. Segna i punti \((0,0)\), \((5,0)\) e il vertice \((2.5, -6.25)\). Disegna una curva che passi per questi punti, tenendo conto che la parabola è simmetrica rispetto alla retta verticale passante per il vertice (\(x=2.5\)) e rivolta verso l'alto.