Решение задач по математике: действия с рациональными числами, уравнения, проценты

Задание 1. Выполните действия:

а) \(-6 \cdot (-1,6)\)

• При умножении отрицательного числа на отрицательное получаем положительное число.
• \(6 \cdot 1,6 = 9,6\)

Ответ: \(9,6\)

б) \(240 \cdot (-\frac{9}{40})\)

• При умножении положительного числа на отрицательное получаем отрицательное число.
• Можно сократить 240 и 40 на 40. \(240 / 40 = 6\).
• \(6 \cdot (-9) = -54\)

Ответ: \(-54\)

в) \(7\frac{1}{8} : (-57)\)

• Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(7\frac{1}{8} = \frac{7 \cdot 8 + 1}{8} = \frac{57}{8}\).
• При делении положительного числа на отрицательное получаем отрицательное число.
• Деление на число равно умножению на обратное ему число.
• \(\frac{57}{8} : (-57) = \frac{57}{8} \cdot (-\frac{1}{57})\)
• Сократим 57 в числителе и знаменателе.
• \(\frac{1}{8} \cdot (-1) = -\frac{1}{8}\)

Ответ: \(-\frac{1}{8}\)

г) \(-3\frac{1}{7} : (-\frac{11}{14})\)

• При делении отрицательного числа на отрицательное получаем положительное число.
• Переведем смешанное число в неправильную дробь: \(-3\frac{1}{7} = -\frac{3 \cdot 7 + 1}{7} = -\frac{22}{7}\).
• Деление на дробь равно умножению на обратную дробь.
• \(-\frac{22}{7} : (-\frac{11}{14}) = -\frac{22}{7} \cdot (-\frac{14}{11})\)
• Сократим 22 и 11 на 11. \(22/11 = 2\).
• Сократим 14 и 7 на 7. \(14/7 = 2\).
• \((-2) \cdot (-2) = 4\)

Ответ: \(4\)

Задание 2. Вычислите:

а) \(-36 \cdot 9,2 + 26 \cdot 9,2\)

• Вынесем общий множитель \(9,2\) за скобки.
• \(9,2 \cdot (-36 + 26)\)
• \(-36 + 26 = -10\)
• \(9,2 \cdot (-10) = -92\)

Ответ: \(-92\)

б) \(-\frac{3}{8} - \frac{5}{12} - \frac{5}{8} + \frac{5}{12}\)

• Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями.
• \((-\frac{3}{8} - \frac{5}{8}) + (-\frac{5}{12} + \frac{5}{12})\)
• \(-\frac{3+5}{8} + 0\)
• \(-\frac{8}{8} = -1\)

Ответ: \(-1\)

Задание 3. Решите уравнения:

а) \(-0,9x + 0,4 = 1,3\)

• Перенесем свободный член в правую часть уравнения, изменив его знак.
• \(-0,9x = 1,3 - 0,4\)
• \(-0,9x = 0,9\)
• Найдем \(x\), разделив обе части уравнения на коэффициент при \(x\).
• \(x = \frac{0,9}{-0,9}\)
• \(x = -1\)

Ответ: \(x = -1\)

б) \((7+x)(5-x) = 0\)

• Произведение двух множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
• Приравняем каждый множитель к нулю.
• \(7+x = 0 \implies x = -7\)
• \(5-x = 0 \implies x = 5\)

Ответ: \(x = -7\), \(x = 5\)

Задание 4. Сколько существует целых чисел, больших \(-12,9\), но меньших \(8\)? Найдите сумму всех этих чисел.

• Целые числа, большие \(-12,9\), начинаются с \(-12\).
• Целые числа, меньшие \(8\), заканчиваются на \(7\).
• Таким образом, нам нужно найти сумму целых чисел от \(-12\) до \(7\).
• Ряд чисел: \(-12, -11, -10, \dots, 0, \dots, 6, 7\).
• Заметим, что сумма чисел от \(-7\) до \(7\) равна нулю, так как каждое положительное число имеет соответствующее отрицательное число с таким же модулем.
• Сумма будет равна сумме чисел от \(-12\) до \(-8\).
• Сумма = \((-12) + (-11) + (-10) + (-9) + (-8)\)
• Сумма = \(-(12 + 11 + 10 + 9 + 8)\)
• Сумма = \(-(50)\)
• Сумма = \(-50\)

Ответ: Существует 20 целых чисел. Их сумма равна \(-50\).

Задание 5. На сколько процентов 50 больше 40?

• Чтобы найти, на сколько процентов одно число больше другого, нужно найти разницу между этими числами, разделить ее на число, с которым сравниваем, и умножить на 100%.
• Разница между числами: \(50 - 40 = 10\).
• Сравниваем с числом 40.
• \(\frac{10}{40} \cdot 100\%\)
• \(\frac{1}{4} \cdot 100\% = 25\%\)

Ответ: 50 больше 40 на 25%.