Построение эпюр внутренних силовых факторов: продольной силы, поперечной силы и изгибающего момента

Задание 8

В данном задании требуется построить эпюры внутренних силовых факторов (продольной силы, поперечной силы и изгибающего момента) для стержня, подверженного действию внешних нагрузок.

Исходные данные:

• \(P_1 = 0\)
• \(P_2 = 14ql\)
• \(q\) - распределенная нагрузка
• \(a = l\)
• \(b = 1.5l\)
• \(c = 3l\)

1. Определение опорных реакций

Стержень закреплен слева жесткой заделкой, поэтому в заделке возникают опорные реакции: вертикальная сила (\(Y_A\)), горизонтальная сила (\(X_A\)) и изгибающий момент (\(M_A\)).

В задании указано \(P_1 = 0\), что означает отсутствие внешней горизонтальной силы на правом конце стержня.

Рассмотрим равновесие стержня в горизонтальном направлении:
\(\sum X = 0 \Rightarrow X_A - P_2 = 0 \Rightarrow X_A = P_2 = 14ql\)

Рассмотрим равновесие стержня относительно изгибающих моментов:
\(\sum M_A = 0 \Rightarrow M_A + P_2 \cdot a + q \cdot c \cdot \frac{c}{2} = 0\)
\(M_A = -P_2 \cdot a - q \cdot \frac{c^2}{2}\)
\(M_A = -14ql \cdot l - q \cdot \frac{(3l)^2}{2} = -14ql^2 - q \cdot \frac{9l^2}{2} = -14ql^2 - 4.5ql^2 = -18.5ql^2\)

2. Построение эпюры продольных сил (N)

Продольная сила определяется как сумма всех горизонтальных сил, действующих на рассматриваемый участок стержня.

• Участок 1 (от 0 до a):
  \(N_1(x) = X_A = 14ql\) (постоянная)

• Участок 2 (от a до a+b):
  На этом участке действует распределенная нагрузка \(q\) в направлении, противоположном \(P_2\).
  \(N_2(x) = X_A - q \cdot x'\) (где \(x'\) - координата от начала участка 2)
  \(N_2(x) = 14ql - q \cdot (x-a)\)
  При \(x=a\): \(N_2(a) = 14ql\)
  При \(x=a+b\): \(N_2(a+b) = 14ql - q \cdot b = 14ql - q \cdot 1.5l = 12.5ql\)

• Участок 3 (от a+b до a+b+c):
  На этом участке действует распределенная нагрузка \(q\).
  \(N_3(x) = X_A - q \cdot b - q \cdot x''\) (где \(x''\) - координата от начала участка 3)
  \(N_3(x) = 14ql - q \cdot 1.5l - q \cdot (x-(a+b))\)
  При \(x=a+b\): \(N_3(a+b) = 14ql - 1.5ql = 12.5ql\)
  При \(x=a+b+c\): \(N_3(a+b+c) = 14ql - 1.5ql - q \cdot c = 12.5ql - q \cdot 3l = 9.5ql\).

• На правом конце (x = a+b+c):
  На правом конце действует сила \(P_1 = 0\).
  \(N_{конец} = 14ql - q \cdot b - q \cdot c = 14ql - 1.5ql - 3ql = 9.5ql\).

Эпюра продольных сил (N):
* Начало (x=0): \(14ql\)
* Конец участка 1 (x=a): \(14ql\)
* Конец участка 2 (x=a+b): \(12.5ql\)
* Конец участка 3 (x=a+b+c): \(9.5ql\)

Эпюра будет представлять собой ступенчатую линию.

3. Построение эпюры поперечных сил (Q)

Поперечная сила определяется как сумма всех вертикальных сил, действующих на рассматриваемый участок стержня. В данном случае вертикальных нагрузок нет, кроме опорных реакций (которых тоже нет, так как стержень горизонтальный). Следовательно, эпюра поперечных сил будет равна нулю по всей длине стержня.

• Все участки (0 до a+b+c):
  \(Q(x) = 0\)

Эпюра поперечных сил (Q):
* По всей длине стержня: \(0\)

4. Построение эпюры изгибающих моментов (M)

Изгибающий момент определяется как сумма моментов всех сил, действующих на рассматриваемый участок стержня, относительно рассматриваемого сечения.

• Участок 1 (от 0 до a):
  \(M_1(x) = M_A + X_A \cdot x = -18.5ql^2 + 14ql \cdot x\)
  При \(x=0\): \(M_1(0) = M_A = -18.5ql^2\)
  При \(x=a\): \(M_1(a) = -18.5ql^2 + 14ql \cdot l = -18.5ql^2 + 14ql^2 = -4.5ql^2\)

• Участок 2 (от a до a+b):
  \(M_2(x) = M_A + X_A \cdot x - q \cdot (x-a) \cdot \frac{(x-a)}{2}\)
  \(M_2(x) = -18.5ql^2 + 14ql \cdot x - \frac{q}{2}(x-a)^2\)
  При \(x=a\): \(M_2(a) = -18.5ql^2 + 14ql \cdot a - 0 = -18.5ql^2 + 14ql^2 = -4.5ql^2\)
  При \(x=a+b\): \(M_2(a+b) = -18.5ql^2 + 14ql \cdot (a+b) - \frac{q}{2}b^2\)
  \(M_2(a+b) = -18.5ql^2 + 14ql \cdot (l+1.5l) - \frac{q}{2}(1.5l)^2\)
  \(M_2(a+b) = -18.5ql^2 + 14ql \cdot 2.5l - \frac{q}{2}(2.25l^2)\)
  \(M_2(a+b) = -18.5ql^2 + 35ql^2 - 1.125ql^2 = 15.375ql^2\)

• Участок 3 (от a+b до a+b+c):
  \(M_3(x) = M_A + X_A \cdot x - q \cdot b \cdot (x - (a+b/2)) - q \cdot (x-(a+b)) \cdot \frac{(x-(a+b))}{2}\)
  \(M_3(x) = -18.5ql^2 + 14ql \cdot x - qb(x-a-b/2) - \frac{q}{2}(x-a-b)^2\)
  При \(x=a+b\): \(M_3(a+b) = -18.5ql^2 + 14ql(a+b) - qb(a+b-a-b/2) - 0\)
  \(M_3(a+b) = -18.5ql^2 + 14ql(2.5l) - q(1.5l)(b/2) = -18.5ql^2 + 35ql^2 - q(1.5l)(0.75l) = 16.5ql^2 - 1.125ql^2 = 15.375ql^2\)
  При \(x=a+b+c\): \(M_3(a+b+c) = M_A + X_A \cdot (a+b+c) - q \cdot b \cdot (c + b/2) - q \cdot c \cdot \frac{c}{2}\)
  \(M_3(a+b+c) = -18.5ql^2 + 14ql(l+1.5l+3l) - q(1.5l)(3l + 1.5l/2) - q \frac{(3l)^2}{2}\)
  \(M_3(a+b+c) = -18.5ql^2 + 14ql(5.5l) - q(1.5l)(3l + 0.75l) - q \frac{9l^2}{2}\)
  \(M_3(a+b+c) = -18.5ql^2 + 77ql^2 - q(1.5l)(3.75l) - 4.5ql^2\)
  \(M_3(a+b+c) = -18.5ql^2 + 77ql^2 - 5.625ql^2 - 4.5ql^2 = 48.375ql^2\)

• На правом конце (x = a+b+c):
  \(M_{конец} = 0\) (так как \(P_1 = 0\) и нет других внешних моментов).

Эпюра изгибающих моментов (M):
* Начало (x=0): \(-18.5ql^2\)
* Конец участка 1 (x=a): \(-4.5ql^2\)
* Конец участка 2 (x=a+b): \(15.375ql^2\)
* Конец участка 3 (x=a+b+c): \(48.375ql^2\).

Эпюра будет представлять собой параболические участки.

Графическое представление (эпюры):

К сожалению, я не могу рисовать изображения напрямую. Однако, я могу описать, как будут выглядеть эпюры:

1. Эпюра продольных сил (N):

   • Прямоугольник высотой \(14ql\) от начала стержня до точки \(a\).
   • Далее идет понижение, соответствующее распределенной нагрузке \(q\). На участке \(b\) она уменьшается до \(12.5ql\).
   • На участке \(c\) она продолжает уменьшаться до \(9.5ql\).
   • Эпюра будет ступенчатой.

2. Эпюра поперечных сил (Q):

   • Прямая линия, совпадающая с нулевой осью, по всей длине стержня.

3. Эпюра изгибающих моментов (M):

   • Начало: отрицательное значение \(-18.5ql^2\).
   • Линейное изменение на участке \(a\) до \(-4.5ql^2\).
   • Параболическое изменение на участке \(b\) до положительного значения \(15.375ql^2\).
   • Дальнейшее параболическое изменение на участке \(c\) до максимального положительного значения \(48.375ql^2\).
   • Эпюра будет состоять из участков прямой и параболы.