Решение задач по линейной алгебре: миноры, матрицы, векторное произведение

Здравствуйте! Отлично, давайте решим эти задания по порядку.

Задание 1

Найти минор \(M_{32}\) элемента \(a_{32}\) определителя:

\(\begin{vmatrix} -2 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 4 \\ 4 & 7 & -2 \end{vmatrix}\)

Минор \(M_{32}\) - это определитель матрицы, полученной из исходной путем вычеркивания 3-й строки и 2-го столбца.

\(M_{32} = \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ -1 & 4 \end{vmatrix} = (-2) \cdot 4 - 2 \cdot (-1) = -8 + 2 = -6\)

Ответ: \(M_{32} = -6\)

Задание 2

Даны матрицы:

\(A = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix}\)

Найти \(A - 2B\).

Сначала вычислим \(2B\):

\(2B = 2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -5 \\ 0 & 1 \\ 7 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & -10 \\ 0 & 2 \\ 14 & -6 \end{pmatrix}\)

Теперь вычислим \(A - 2B\):

\(A - 2B = \begin{pmatrix} 5 & 3 \\ -1 & 1 \\ 2 & -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2 & -10 \\ 0 & 2 \\ 14 & -6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-2 & 3-(-10) \\ -1-0 & 1-2 \\ 2-14 & -3-(-6) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 13 \\ -1 & -1 \\ -12 & 3 \end{pmatrix}\)

Ответ: \(A - 2B = \begin{pmatrix} 3 & 13 \\ -1 & -1 \\ -12 & 3 \end{pmatrix}\)

Задание 3

Вычислить векторное произведение векторов:

\(\vec{a} = (-1; 0; 1)\) и \(\vec{b} = (-3; 1; -1)\)

Векторное произведение \(\vec{a} \times \vec{b}\) вычисляется как определитель:

\(\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -3 & -1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -3 & 1 \end{vmatrix}\)

\(= \vec{i}(0 \cdot (-1) - 1 \cdot 1) - \vec{j}((-1) \cdot (-1) - 1 \cdot (-3)) + \vec{k}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot (-3))\)

\(= \vec{i}(0 - 1) - \vec{j}(1 + 3) + \vec{k}(-1 - 0) = -1\vec{i} - 4\vec{j} - 1\vec{k}\)

Таким образом, \(\vec{a} \times \vec{b} = (-1; -4; -1)\)

Ответ: \(\vec{a} \times \vec{b} = (-1; -4; -1)\)

[Продолжить решение]|Продолжи решать все оставшиеся задания с фото, которые еще не были решены, дай подробные объяснения
[Векторная алгебра]|Объясни основные понятия векторной алгебры: векторы, операции, свойства, примеры