Вычисление определенных интегралов: Задание 4

Задание 4

Вычислить:

\(\int_{1}^{2} (5x - 2)^4 dx + \int_{2}^{3} (x^2 - 3x) dx\)

Решение:

Задание состоит из двух частей: вычисление определенного интеграла от функции \((5x - 2)^4\) и определенного интеграла от функции \((x^2 - 3x)\).

Часть 1: Вычисление \(\int_{1}^{2} (5x - 2)^4 dx\)

Для вычисления этого интеграла воспользуемся методом замены переменной.
Пусть \(u = 5x - 2\). Тогда \(du = 5 dx\), или \(dx = \frac{1}{5} du\).

Изменим пределы интегрирования:
При \(x = 1\), \(u = 5(1) - 2 = 3\).
При \(x = 2\), \(u = 5(2) - 2 = 8\).

Теперь интеграл примет вид:
\(\int_{3}^{8} u^4 \cdot \frac{1}{5} du = \frac{1}{5} \int_{3}^{8} u^4 du\)

Найдем первообразную для \(u^4\):
\(\int u^4 du = \frac{u^{4+1}}{4+1} = \frac{u^5}{5}\)

Теперь вычислим определенный интеграл:
\(\frac{1}{5} \left[ \frac{u^5}{5} \right]_{3}^{8} = \frac{1}{5} \left( \frac{8^5}{5} - \frac{3^5}{5} \right)\)
\(= \frac{1}{25} (8^5 - 3^5)\)
\(= \frac{1}{25} (32768 - 243)\)
\(= \frac{32525}{25}\)
\(= 1301\)

Часть 2: Вычисление \(\int_{2}^{3} (x^2 - 3x) dx\)

Найдем первообразную для функции \(x^2 - 3x\):
\(\int (x^2 - 3x) dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} - 3 \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2}\)

Теперь вычислим определенный интеграл:
\(\left[ \frac{x^3}{3} - \frac{3x^2}{2} \right]_{2}^{3} = \left( \frac{3^3}{3} - \frac{3(3^2)}{2} \right) - \left( \frac{2^3}{3} - \frac{3(2^2)}{2} \right)\)
\(= \left( \frac{27}{3} - \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{8}{3} - \frac{12}{2} \right)\)
\(= \left( 9 - \frac{27}{2} \right) - \left( \frac{8}{3} - 6 \right)\)
\(= \left( \frac{18 - 27}{2} \right) - \left( \frac{8 - 18}{3} \right)\)
\(= \left( -\frac{9}{2} \right) - \left( -\frac{10}{3} \right)\)
\(= -\frac{9}{2} + \frac{10}{3}\)
Приведем к общему знаменателю (6):
\(= -\frac{9 \cdot 3}{6} + \frac{10 \cdot 2}{6}\)
\(= -\frac{27}{6} + \frac{20}{6}\)
\(= -\frac{7}{6}\)

Сложение результатов:

Теперь сложим результаты обеих частей:
\(1301 + \left(-\frac{7}{6}\right) = 1301 - \frac{7}{6}\)
Приведем к общему знаменателю (6):
\(= \frac{1301 \cdot 6}{6} - \frac{7}{6}\)
\(= \frac{7806 - 7}{6}\)
\(= \frac{7799}{6}\)

Окончательный ответ:

\(\frac{7799}{6}\)