Решение задачи на движение и систему уравнений

Задание 8

Это задание представляет собой задачу на движение и систему уравнений.

Условие:

Таро и Ханако используют 100-ступенчатую лестницу и начинают игру со стартовой позиции согласно [Правилам].

[Правила]:

(i) Оба начинают с 20-й ступеньки снизу.
(ii) Каждый ход игры (камень-ножницы-бумага) приводит к следующему движению:
* Если выиграет Таро, Таро поднимается на 4 ступеньки, а Ханако спускается на 1 ступеньку.
* Если выиграет Ханако, Ханако поднимается на 5 ступенек, а Таро спускается на 1 ступеньку.
* Если ничья, Таро поднимается на 2 ступеньки, а Ханако поднимается на 1 ступеньку.
(iii) Оба двигаются согласно (ii) со своих текущих позиций после завершения каждого хода.

После 15 ходов игры, когда оба закончили свое движение, Ханако находилась на 14 ступенек выше Таро. Если количество ничьих составило 3, найдите количество побед Таро и Ханако соответственно.

Решение:

1. Определим переменные:

   • Пусть \(T\) - количество побед Таро.
   • Пусть \(H\) - количество побед Ханако.
   • Пусть \(D\) - количество ничьих.

2. Составим уравнения на основе условий:

   • Общее количество ходов: Из условия известно, что общее количество ходов равно 15.
     \(T + H + D = 15\)

   • Количество ничьих: По условию, количество ничьих равно 3.
     \(D = 3\)

   • Подставим значение D в первое уравнение:
     \(T + H + 3 = 15\)
     \(T + H = 12\) (Уравнение 1)

   • Изменение позиций:

     • Начальная позиция: 20-я ступенька.
     • Если выиграет Таро: Таро +4, Ханако -1.
     • Если выиграет Ханако: Таро -1, Ханако +5.
     • Если ничья: Таро +2, Ханако +1.

   • Конечные позиции:

     • Конечная позиция Таро = \(20 + 4T - 1H + 2D\)
     • Конечная позиция Ханако = \(20 - 1T + 5H + 1D\)

   • Разница в позициях: По условию, Ханако находится на 14 ступенек выше Таро.
     (Конечная позиция Ханако) - (Конечная позиция Таро) = 14
     \((20 - T + 5H + D) - (20 + 4T - H + 2D) = 14\)

   • Упростим уравнение разницы позиций:
     \(20 - T + 5H + D - 20 - 4T + H - 2D = 14\)
     \((-T - 4T) + (5H + H) + (D - 2D) = 14\)
     \(-5T + 6H - D = 14\)

   • Подставим значение D = 3 в уравнение разницы позиций:
     \(-5T + 6H - 3 = 14\)
     \(-5T + 6H = 17\) (Уравнение 2)

3. Решим систему из двух уравнений (Уравнение 1 и Уравнение 2):

   • Уравнение 1: \(T + H = 12\)
   • Уравнение 2: \(-5T + 6H = 17\)

   Из Уравнения 1 выразим \(T\):
   \(T = 12 - H\)

   Подставим это выражение для \(T\) в Уравнение 2:
   \(-5(12 - H) + 6H = 17\)
   \(-60 + 5H + 6H = 17\)
   \(11H = 17 + 60\)
   \(11H = 77\)
   \(H = \frac{77}{11}\)
   \(H = 7\)

   Теперь найдем \(T\), подставив значение \(H\) в \(T = 12 - H\):
   \(T = 12 - 7\)
   \(T = 5\)

4. Проверка:

   • Количество ходов: \(T + H + D = 5 + 7 + 3 = 15\) (Верно)
   • Разница позиций:
     • Таро: \(20 + 4(5) - 1(7) + 2(3) = 20 + 20 - 7 + 6 = 39\)
     • Ханако: \(20 - 1(5) + 5(7) + 1(3) = 20 - 5 + 35 + 3 = 53\)
     • Разница: \(53 - 39 = 14\) (Верно)

Ответ:

Количество побед Таро: 5
Количество побед Ханако: 7