Бесконечно малые последовательности: определение и примеры

Язык задания: Russian.

Задание: Выбор бесконечно малых последовательностей

Необходимо определить, какие из предложенных последовательностей являются бесконечно малыми.

Бесконечно малая последовательность - это последовательность, предел которой равен нулю.

Рассмотрим каждую последовательность:

1. log₅(1/n)

   При \(n \to \infty\), \(1/n \to 0\). Следовательно, \(\log_5(1/n) \to -\infty\). Эта последовательность не является бесконечно малой.

2. log₁/n(5)

   При \(n \to \infty\), \(1/n \to 0\). Тогда \(\log_{1/n}(5)\) можно переписать как \(\frac{\ln(5)}{\ln(1/n)} = \frac{\ln(5)}{-\ln(n)}\). При \(n \to \infty\), \(\ln(n) \to \infty\), следовательно, \(\frac{\ln(5)}{-\ln(n)} \to 0\). Эта последовательность является бесконечно малой.

3. 5^(ln(1/n))

   При \(n \to \infty\), \(1/n \to 0\). Тогда \(\ln(1/n) = -\ln(n) \to -\infty\). Следовательно, \(5^{\ln(1/n)} = 5^{-\ln(n)} = \frac{1}{5^{\ln(n)}} \to 0\). Эта последовательность является бесконечно малой.

4. ln(5^(1/n))

   При \(n \to \infty\), \(1/n \to 0\). Тогда \(5^{1/n} \to 5^0 = 1\). Следовательно, \(\ln(5^{1/n}) \to \ln(1) = 0\). Эта последовательность является бесконечно малой.

Ответ: Бесконечно малыми являются последовательности:

• log₁/n(5)
• 5^(ln(1/n))
• ln(5^(1/n))