Решение задания № 661: Проверка справедливости равенства для функции нескольких переменных

Задание 661

Условие: Проверить справедливость равенства для заданной функции \(u = (x-y)(y-z)(z-x)\). Требуется проверить, выполняется ли следующее равенство:
$$ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = 0 $$

Решение:

1. Находим частные производные функции \(u\).
   Для удобства раскроем скобки:
   \(u = (xy - xz - y^2 + yz)(z-x)\)
   \(u = xyz - x^2y - xz^2 + x^2z - y^2z + xy^2 + yz^2 - xyz\)
   \(u = -x^2y - xz^2 + x^2z - y^2z + xy^2 + yz^2\)

   • Находим \(\frac{\partial u}{\partial x}\):
     При дифференцировании по \(x\) считаем \(y\) и \(z\) константами:
     $$ \frac{\partial u}{\partial x} = -2xy - z^2 + 2xz + y^2 $$

   • Находим \(\frac{\partial u}{\partial y}\):
     При дифференцировании по \(y\) считаем \(x\) и \(z\) константами:
     $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -x^2 - 2yz + x^2 + 2yz $$
     $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 0 $$

   • Находим \(\frac{\partial u}{\partial z}\):
     При дифференцировании по \(z\) считаем \(x\) и \(y\) константами:
     $$ \frac{\partial u}{\partial z} = -2xz - y^2 + y^2 + 2yz $$
     $$ \frac{\partial u}{\partial z} = -2xz + 2yz $$

2. Подставляем найденные производные в левую часть равенства:
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = (-2xy - z^2 + 2xz + y^2) + (0) + (-2xz + 2yz) $$
   $$ = -2xy - z^2 + 2xz + y^2 - 2xz + 2yz $$
   $$ = -2xy - z^2 + y^2 + 2yz $$

   Проверка раскрытия скобок.
   Давайте пересчитаем производные, не раскрывая скобки, чтобы избежать ошибок.
   \(u = (x-y)(y-z)(z-x)\)

   \(\frac{\partial u}{\partial x}\):
   Применим правило произведения. Производная от \((x-y)\) по \(x\) равна 1.
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} = 1 \cdot (y-z)(z-x) + (x-y)(y-z) \cdot \frac{\partial}{\partial x}(z-x) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} = (y-z)(z-x) + (x-y)(y-z)(-1) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} = (y-z)(z-x) - (x-y)(y-z) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} = (y-z)[(z-x) - (x-y)] $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} = (y-z)(z-x-x+y) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} = (y-z)(y+z-2x) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} = y^2 + yz - 2xy - yz - z^2 + 2xz $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} = y^2 - 2xy - z^2 + 2xz $$

   \(\frac{\partial u}{\partial y}\):
   Производная от \((x-y)\) по \(y\) равна -1.
   $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -1 \cdot (y-z)(z-x) + (x-y) \cdot \frac{\partial}{\partial y}(y-z) \cdot (z-x) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -(y-z)(z-x) + (x-y)(1)(z-x) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial y} = -(y-z)(z-x) + (x-y)(z-x) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial y} = (z-x)[-(y-z) + (x-y)] $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial y} = (z-x)(-y+z+x-y) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial y} = (z-x)(x+z-2y) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial y} = xz + z^2 - 2yz - x^2 - xz + 2y x $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial y} = z^2 - 2yz - x^2 + 2xy $$

   \(\frac{\partial u}{\partial z}\):
   Производная от \((y-z)\) по \(z\) равна -1.
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = (x-y)(y-z) \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z-x) + (x-y)(y-z) \cdot 1 $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = (x-y)(y-z)(-1) + (x-y)(y-z) \cdot \frac{\partial}{\partial z}(z-x) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = (x-y) \cdot \frac{\partial}{\partial z}(y-z) \cdot (z-x) + (x-y)(y-z) \cdot 1 $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = (x-y)(-1)(z-x) + (x-y)(y-z) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = -(x-y)(z-x) + (x-y)(y-z) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = (x-y)[-(z-x) + (y-z)] $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = (x-y)(-z+x+y-z) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = (x-y)(x+y-2z) $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = x^2 + xy - 2xz - xy - y^2 + 2yz $$
   $$ \frac{\partial u}{\partial z} = x^2 - 2xz - y^2 + 2yz $$

3. Складываем полученные частные производные:
   $$ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial z} = (y^2 - 2xy - z^2 + 2xz) + (z^2 - 2yz - x^2 + 2xy) + (x^2 - 2xz - y^2 + 2yz) $$
   Сгруппируем подобные члены:
   $$ = (y^2 - y^2) + (-2xy + 2xy) + (-z^2 + z^2) + (2xz - 2xz) + (-2yz + 2yz) + (-x^2 + x^2) $$
   $$ = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 $$
   $$ = 0 $$

Вывод:
Левая часть равенства равна 0, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.

Задание 662

Условие: Проверить справедливость равенства для заданной функции \(z = \sqrt{x} \cdot \sin\frac{y}{x}\). Требуется проверить, выполняется ли следующее равенство:
$$ x \frac{\partial z}{\partial x} + 2y \frac{\partial z}{\partial y} = z $$

Решение:

1. Находим частные производные функции \(z\).

   • Находим \(\frac{\partial z}{\partial x}\):
     При дифференцировании по \(x\) считаем \(y\) константой. Используем правило произведения и правило дифференцирования сложной функции.
     $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\sqrt{x}\right) \cdot \sin\left(\frac{y}{x}\right) + \sqrt{x} \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\sin\left(\frac{y}{x}\right)\right) $$
     $$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\sqrt{x}\right) = \frac{1}{2\sqrt{x}} $$
     $$ \frac{\partial}{\partial x}\left(\sin\left(\frac{y}{x}\right)\right) = \cos\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) = \cos\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \left(y \cdot (-\frac{1}{x^2})\right) = -\frac{y}{x^2}\cos\left(\frac{y}{x}\right) $$
     Подставляем обратно:
     $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin\left(\frac{y}{x}\right) + \sqrt{x} \left(-\frac{y}{x^2}\cos\left(\frac{y}{x}\right)\right) $$
     $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x^2}\sqrt{x}\cos\left(\frac{y}{x}\right) $$
     $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x^{3/2}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) $$

   • Находим \(\frac{\partial z}{\partial y}\):
     При дифференцировании по \(y\) считаем \(x\) константой.
     $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \sqrt{x} \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\sin\left(\frac{y}{x}\right)\right) $$
     $$ \frac{\partial}{\partial y}\left(\sin\left(\frac{y}{x}\right)\right) = \cos\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{y}{x}\right) = \cos\left(\frac{y}{x}\right) \cdot \frac{1}{x} $$
     Подставляем обратно:
     $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \sqrt{x} \cdot \left(\frac{1}{x}\cos\left(\frac{y}{x}\right)\right) $$
     $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sqrt{x}}{x}\cos\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{x}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) $$

2. Подставляем найденные производные в левую часть равенства:
   \(x \frac{\partial z}{\partial x} + 2y \frac{\partial z}{\partial y}\)

   • Вычисляем \(x \frac{\partial z}{\partial x}\):
     $$ x \frac{\partial z}{\partial x} = x \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x^{3/2}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) \right) $$
     $$ = \frac{x}{2\sqrt{x}} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{xy}{x^{3/2}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) $$
     $$ = \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{\sqrt{x}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) $$

   • Вычисляем \(2y \frac{\partial z}{\partial y}\):
     $$ 2y \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \left( \frac{1}{\sqrt{x}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) \right) $$
     $$ = \frac{2y}{\sqrt{x}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) $$

   • Складываем полученные выражения:
     $$ x \frac{\partial z}{\partial x} + 2y \frac{\partial z}{\partial y} = \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{\sqrt{x}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) \right) + \left( \frac{2y}{\sqrt{x}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) \right) $$
     $$ = \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) + \left( -\frac{y}{\sqrt{x}} + \frac{2y}{\sqrt{x}} \right) \cos\left(\frac{y}{x}\right) $$
     $$ = \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{\sqrt{x}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) $$

   • Заметим, что в условии задания есть опечатка. Скорее всего, должно быть \(x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} z\) или подобное, так как полученное выражение не равно \(z\). Проверим еще раз вычисления.

   • Пересчитаем \(\frac{\partial z}{\partial x}\):
     \(z = x^{1/2} \sin(yx^{-1})\)
     \(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2}x^{-1/2} \sin(yx^{-1}) + x^{1/2} \cos(yx^{-1}) \cdot (y \cdot (-1)x^{-2})\)
     \(\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{\sqrt{x}^3} \cos\left(\frac{y}{x}\right)\)

   • Пересчитаем \(x \frac{\partial z}{\partial x}\):
     \(x \frac{\partial z}{\partial x} = x \left( \frac{1}{2\sqrt{x}} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{x\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right) \right)\)
     \(x \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right)\)

   • Пересчитаем \(\frac{\partial z}{\partial y}\):
     \(\frac{\partial z}{\partial y} = x^{1/2} \cos(yx^{-1}) \cdot (1 \cdot x^{-1})\)
     \(\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sqrt{x}}{x} \cos\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right)\)

   • Пересчитаем \(2y \frac{\partial z}{\partial y}\):
     \(2y \frac{\partial z}{\partial y} = 2y \frac{1}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{2y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right)\)

   • Складываем:
     \(x \frac{\partial z}{\partial x} + 2y \frac{\partial z}{\partial y} = \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right) \right) + \frac{2y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right)\)
     \(x \frac{\partial z}{\partial x} + 2y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right)\)

   • Сравниваем с \(z = \sqrt{x} \sin\left(\frac{y}{x}\right)\).
     Полученное выражение \(\frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right)\) не равно \(z\).

   Предполагаемая опечатка в условии:
   Очень вероятно, что равенство должно быть:
   \(x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{2} z\)
   Проверим это равенство:
   \(x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \left( \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right) \right) + y \left( \frac{1}{\sqrt{x}}\cos\left(\frac{y}{x}\right) \right)\)
   $ = \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) - \frac{y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right) + \frac{y}{\sqrt{x}} \cos\left(\frac{y}{x}\right) $
   $ = \frac{\sqrt{x}}{2} \sin\left(\frac{y}{x}\right) $
   $ = \frac{1}{2} \left( \sqrt{x} \sin\left(\frac{y}{x}\right) \right) $
   $ = \frac{1}{2} z $
   Это равенство выполняется.

Вывод:
С учетом предполагаемой опечатки в условии (замена \(2y \frac{\partial z}{\partial y}\) на \(y \frac{\partial z}{\partial y}\) и правая часть на \(\frac{1}{2}z\)), равенство справедливо.
Если же условие было задано строго как в тексте, то равенство не справедливо.

Задание 663

Условие: Проверить справедливость равенства для заданной функции \(z = \ln(x^2 + xy + y^2)\). Требуется проверить, выполняется ли следующее равенство:
$$ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = 2 $$

Решение:

1. Находим частные производные функции \(z\).

   • Находим \(\frac{\partial z}{\partial x}\):
     При дифференцировании по \(x\) считаем \(y\) константой. Используем правило дифференцирования сложной функции: \((\ln u)' = \frac{1}{u} u'\).
     $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + xy + y^2) $$
     $$ \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + xy + y^2) = 2x + y $$
     $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{2x + y}{x^2 + xy + y^2} $$

   • Находим \(\frac{\partial z}{\partial y}\):
     При дифференцировании по \(y\) считаем \(x\) константой.
     $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{x^2 + xy + y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + xy + y^2) $$
     $$ \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + xy + y^2) = x + 2y $$
     $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x + 2y}{x^2 + xy + y^2} $$

2. Подставляем найденные производные в левую часть равенства:
   \(x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y}\)

   • Вычисляем \(x \frac{\partial z}{\partial x}\):
     $$ x \frac{\partial z}{\partial x} = x \cdot \frac{2x + y}{x^2 + xy + y^2} = \frac{2x^2 + xy}{x^2 + xy + y^2} $$

   • Вычисляем \(y \frac{\partial z}{\partial y}\):
     $$ y \frac{\partial z}{\partial y} = y \cdot \frac{x + 2y}{x^2 + xy + y^2} = \frac{xy + 2y^2}{x^2 + xy + y^2} $$

   • Складываем полученные выражения:
     $$ x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2x^2 + xy}{x^2 + xy + y^2} + \frac{xy + 2y^2}{x^2 + xy + y^2} $$
     $$ = \frac{2x^2 + xy + xy + 2y^2}{x^2 + xy + y^2} $$
     $$ = \frac{2x^2 + 2xy + 2y^2}{x^2 + xy + y^2} $$
     $$ = \frac{2(x^2 + xy + y^2)}{x^2 + xy + y^2} $$

3. Упрощаем полученное выражение:
   $$ = 2 $$

Вывод:
Левая часть равенства равна 2, что совпадает с правой частью. Следовательно, равенство справедливо.

Ответ: Равенство справедливо.