Решение задач на вертикальные углы. 7 класс

Я понял! На изображении несколько заданий, связанных с вертикальными углами. Сейчас я решу их по порядку.

Задание 1

Найти углы \(\angle a_1b_1\) и \(\angle ab_1\).

• Дано: \(\angle ab = 120^\circ\)

• Решение:

  • Угол \(\angle a_1b_1\) является вертикальным углом к углу \(\angle ab\). Вертикальные углы равны. Следовательно, \(\angle a_1b_1 = \angle ab = 120^\circ\).

  • Угол \(\angle ab_1\) является смежным углом к углу \(\angle ab\). Сумма смежных углов равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle ab_1 = 180^\circ - \angle ab = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\).

• Ответ: \(\angle a_1b_1 = 120^\circ\), \(\angle ab_1 = 60^\circ\)

Задание 2

Найти углы \(\angle 2\) и \(\angle 4\).

• Дано: \(\angle 1 + \angle 3 = 70^\circ\)

• Решение:

  • Углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) являются вертикальными углами, следовательно, \(\angle 1 = \angle 3\).
  • Тогда, \(\angle 1 + \angle 3 = 2\angle 1 = 70^\circ\), откуда \(\angle 1 = 35^\circ\). Значит, \(\angle 3 = 35^\circ\).
  • Угол \(\angle 2\) является смежным углом к углу \(\angle 1\). Следовательно, \(\angle 2 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ\).
  • Угол \(\angle 4\) является вертикальным углом к углу \(\angle 2\), следовательно, \(\angle 4 = \angle 2 = 145^\circ\).

• Ответ: \(\angle 2 = 145^\circ\), \(\angle 4 = 145^\circ\)

Задание 5

Найти углы \(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\).

• Дано: \(2(\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4\)

• Решение:

  • Углы \(\angle 1\) и \(\angle 3\) вертикальные, значит \(\angle 1 = \angle 3\). Углы \(\angle 2\) и \(\angle 4\) вертикальные, значит \(\angle 2 = \angle 4\).
  • Тогда, \(2(\angle 1 + \angle 1) = \angle 2 + \angle 2\), то есть \(4\angle 1 = 2\angle 2\), или \(\angle 2 = 2\angle 1\).
  • Углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) смежные, значит \(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\).
  • Подставляем \(\angle 2 = 2\angle 1\) в уравнение \(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\):
    \(\angle 1 + 2\angle 1 = 180^\circ\), \(3\angle 1 = 180^\circ\), \(\angle 1 = 60^\circ\).
  • Тогда \(\angle 3 = \angle 1 = 60^\circ\), \(\angle 2 = 2\angle 1 = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\), \(\angle 4 = \angle 2 = 120^\circ\).

• Ответ: \(\angle 1 = 60^\circ\), \(\angle 2 = 120^\circ\), \(\angle 3 = 60^\circ\), \(\angle 4 = 120^\circ\)

Конечно, давай разберем задачу 5 более подробно.

Задание 5 (Подробное решение)

Найти углы \(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\).

• Дано: \(2(\angle 1 + \angle 3) = \angle 2 + \angle 4\)

• Решение:

  1. Определение вертикальных углов:

     • Углы, образованные пересечением двух прямых, называются вертикальными, если они не являются смежными.
     • Вертикальные углы равны. То есть, \(\angle 1 = \angle 3\) и \(\angle 2 = \angle 4\).

  2. Упрощение данного уравнения:

     • Заменим \(\angle 3\) на \(\angle 1\) и \(\angle 4\) на \(\angle 2\) в данном уравнении:
       \(2(\angle 1 + \angle 1) = \angle 2 + \angle 2\)
       \(2(2\angle 1) = 2\angle 2\)
       \(4\angle 1 = 2\angle 2\)
     • Разделим обе части уравнения на 2:
       \(2\angle 1 = \angle 2\)
     • Это означает, что угол \(\angle 2\) в два раза больше угла \(\angle 1\).

  3. Определение смежных углов:

     • Углы, имеющие одну общую сторону, а две другие стороны являются продолжениями друг друга, называются смежными.
     • Сумма смежных углов равна \(180^\circ\).
     • В нашем случае, углы \(\angle 1\) и \(\angle 2\) являются смежными, поэтому \(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\).

  4. Решение системы уравнений:

     • У нас есть два уравнения:
       1. \(\angle 2 = 2\angle 1\)
       2. \(\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ\)
     • Подставим первое уравнение во второе:
       \(\angle 1 + 2\angle 1 = 180^\circ\)
       \(3\angle 1 = 180^\circ\)
     • Разделим обе части уравнения на 3:
       \(\angle 1 = \frac{180^\circ}{3} = 60^\circ\)

  5. Нахождение остальных углов:

     • \(\angle 3 = \angle 1 = 60^\circ\) (так как \(\angle 1\) и \(\angle 3\) вертикальные)
     • \(\angle 2 = 2\angle 1 = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ\)
     • \(\angle 4 = \angle 2 = 120^\circ\) (так как \(\angle 2\) и \(\angle 4\) вертикальные)

• Ответ: \(\angle 1 = 60^\circ\), \(\angle 2 = 120^\circ\), \(\angle 3 = 60^\circ\), \(\angle 4 = 120^\circ\)

Отлично! Теперь решим задачу 6.

Задание 6

Найти угол \(\angle 4\).

• Дано: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 5\angle 4\)

• Решение:

  • Сумма углов, образованных при пересечении двух прямых, равна \(360^\circ\). Следовательно, \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ\).
  • Из условия задачи известно, что \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 5\angle 4\).
  • Подставим это выражение в уравнение суммы углов: \(5\angle 4 + \angle 4 = 360^\circ\).
  • Получаем \(6\angle 4 = 360^\circ\).
  • Разделим обе части уравнения на 6: \(\angle 4 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\).

• Ответ: \(\angle 4 = 60^\circ\)

Ассистент: Конечно, давай разберем задачу 6 более подробно.

Задание 6 (Подробное решение)

Найти угол \(\angle 4\).

• Дано: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 5\angle 4\)

• Решение:

  1. Сумма углов при пересечении двух прямых:

     • Когда две прямые пересекаются, образуются четыре угла. Сумма этих углов всегда равна \(360^\circ\).
     • В нашем случае: \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 360^\circ\).

  2. Использование данного условия:

     • Нам дано, что \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 5\angle 4\). Это значит, что сумма углов 1, 2 и 3 в пять раз больше угла 4.

  3. Подстановка в уравнение:

     • Теперь мы можем заменить выражение \(\angle 1 + \angle 2 + \angle 3\) в уравнении суммы углов на \(5\angle 4\).
     • Получаем: \(5\angle 4 + \angle 4 = 360^\circ\).

  4. Упрощение уравнения:

     • Складываем подобные члены: \(6\angle 4 = 360^\circ\).

  5. Нахождение угла \(\angle 4\):

     • Чтобы найти угол \(\angle 4\), нужно разделить обе части уравнения на 6:
       \(\angle 4 = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\).

• Ответ: \(\angle 4 = 60^\circ\)

Теперь давай решим задачи из раздела "Упражнения в таблицах". Начнем с первой задачи.

Задание 1 (Упражнения в таблицах)

Найти углы \(\angle ac\) и \(\angle cb\).

• Дано: \(\angle ac - \angle cb = 25^\circ\)

• Решение:

  • Углы \(\angle ac\) и \(\angle cb\) являются смежными, значит их сумма равна \(180^\circ\). Следовательно, \(\angle ac + \angle cb = 180^\circ\).
  • У нас есть система уравнений:
    1. \(\angle ac - \angle cb = 25^\circ\)
    2. \(\angle ac + \angle cb = 180^\circ\)
  • Сложим эти два уравнения:
    \(2\angle ac = 205^\circ\)
    \(\angle ac = \frac{205^\circ}{2} = 102.5^\circ\)
  • Теперь найдем \(\angle cb\):
    \(\angle cb = 180^\circ - \angle ac = 180^\circ - 102.5^\circ = 77.5^\circ\)

• Ответ: \(\angle ac = 102.5^\circ\), \(\angle cb = 77.5^\circ\)

Ассистент: Хорошо, давай посмотрим, как получилось \(205^\circ\) в задаче 1 из "Упражнений в таблицах".

Задание 1 (Упражнения в таблицах) - Объяснение получения 205°

• Дано: \(\angle ac - \angle cb = 25^\circ\)

• Решение:

  1. Смежные углы:

     • Углы \(\angle ac\) и \(\angle cb\) являются смежными, а сумма смежных углов равна \(180^\circ\).
     • Поэтому: \(\angle ac + \angle cb = 180^\circ\).

  2. Система уравнений:

     • У нас есть два уравнения:
       1. \(\angle ac - \angle cb = 25^\circ\)
       2. \(\angle ac + \angle cb = 180^\circ\)

  3. Сложение уравнений:

     • Чтобы найти \(\angle ac\), мы складываем два уравнения вместе. При сложении левых частей уравнений и правых частей уравнений, получаем:
       \((\angle ac - \angle cb) + (\angle ac + \angle cb) = 25^\circ + 180^\circ\)

  4. Упрощение:

     • Раскрываем скобки и упрощаем левую часть:
       \(\angle ac - \angle cb + \angle ac + \angle cb = 25^\circ + 180^\circ\)
     • Замечаем, что \(-\angle cb\) и \(+\angle cb\) взаимно уничтожаются:
       \(2\angle ac = 25^\circ + 180^\circ\)

  5. Получение 205°:

     • Складываем числа в правой части уравнения:
       \(2\angle ac = 205^\circ\)

  6. Нахождение \(\angle ac\):

     • Делим обе части уравнения на 2:
       \(\angle ac = \frac{205^\circ}{2} = 102.5^\circ\)

  7. Нахождение \(\angle cb\):

     • Теперь, когда мы знаем \(\angle ac\), мы можем найти \(\angle cb\), используя уравнение \(\angle ac + \angle cb = 180^\circ\):
       \(\angle cb = 180^\circ - \angle ac = 180^\circ - 102.5^\circ = 77.5^\circ\)

Таким образом, \(205^\circ\) получается в результате сложения правых частей уравнений \(25^\circ\) и \(180^\circ\) при решении системы уравнений для нахождения углов \(\angle ac\) и \(\angle cb\).