Решение уравнений с дробями и смешанными числами

Вот решение задач из варианта 2:

5. Решите уравнение:
1) \(x - 7\frac{1}{3} = 12\frac{5}{12}\)

Чтобы найти \(x\), нужно к \(12\frac{5}{12}\) прибавить \(7\frac{1}{3}\). Сначала приведем дробную часть к общему знаменателю: \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\).

\(x = 12\frac{5}{12} + 7\frac{4}{12} = (12 + 7) + (\frac{5}{12} + \frac{4}{12}) = 19 + \frac{9}{12} = 19\frac{3}{4}\)

Ответ: \(x = 19\frac{3}{4}\)

2) \((5\frac{7}{9} - x) + 2\frac{3}{4} = 3\frac{5}{12}\)

Сначала упростим выражение, перенеся \(2\frac{3}{4}\) в правую часть:
\(5\frac{7}{9} - x = 3\frac{5}{12} - 2\frac{3}{4}\)

Приведем дроби к общему знаменателю (36):
\(3\frac{5}{12} = 3\frac{15}{36}\)
\(2\frac{3}{4} = 2\frac{27}{36}\)

\(5\frac{7}{9} - x = 3\frac{15}{36} - 2\frac{27}{36}\)
\(5\frac{7}{9} - x = 1\frac{15}{36} - \frac{27}{36} = \frac{51}{36} - \frac{27}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\)

Теперь найдем \(x\):
\(x = 5\frac{7}{9} - \frac{2}{3}\)
\(x = 5\frac{7}{9} - \frac{6}{9} = 5\frac{1}{9}\)

Ответ: \(x = 5\frac{1}{9}\)

8. Задача про маляров:

Пусть вся работа (покраска забора) равна 1.
Первый маляр красит забор за 30 минут, значит, его производительность \(\frac{1}{30}\) (часть забора в минуту).
Второй маляр красит забор за 20 минут, значит, его производительность \(\frac{1}{20}\) (часть забора в минуту).

Первый маляр работал 13 минут, значит, он покрасил \(13 \cdot \frac{1}{30} = \frac{13}{30}\) забора.
Второй маляр работал 9 минут, значит, он покрасил \(9 \cdot \frac{1}{20} = \frac{9}{20}\) забора.

Вместе они покрасили \(\frac{13}{30} + \frac{9}{20} = \frac{26}{60} + \frac{27}{60} = \frac{53}{60}\) забора.

Осталось покрасить \(1 - \frac{53}{60} = \frac{60}{60} - \frac{53}{60} = \frac{7}{60}\) забора.

Ответ: Осталось покрасить \(\frac{7}{60}\) забора.

Конечно, давай разберем, как решать уравнения с дробями и смешанными числами.

Основные принципы

1. Приведение к общему знаменателю: Перед сложением или вычитанием дробей, их нужно привести к общему знаменателю.
2. Преобразование смешанных чисел: Смешанные числа (например, \(5\frac{7}{9}\)) удобно преобразовывать в неправильные дроби (например, \(\frac{52}{9}\)) для упрощения вычислений.
3. Изоляция переменной: Цель решения уравнения — изолировать переменную (например, \(x\)) на одной стороне уравнения.

Шаги решения уравнений с дробями и смешанными числами

Рассмотрим на примерах:

Пример 1: \(x - 7\frac{1}{3} = 12\frac{5}{12}\)

1. Преобразование смешанных чисел (необязательно, но может упростить):
   В данном случае можно оставить смешанные числа как есть.

2. Изоляция переменной:
   Чтобы найти \(x\), нужно к \(12\frac{5}{12}\) прибавить \(7\frac{1}{3}\):
   \(x = 12\frac{5}{12} + 7\frac{1}{3}\)

3. Приведение к общему знаменателю:
   Общий знаменатель для 12 и 3 — это 12. Значит, \(\frac{1}{3} = \frac{4}{12}\).

4. Сложение дробей:
   \(x = 12\frac{5}{12} + 7\frac{4}{12} = (12 + 7) + (\frac{5}{12} + \frac{4}{12}) = 19 + \frac{9}{12}\)

5. Упрощение дроби (если возможно):
   \(\frac{9}{12}\) можно упростить до \(\frac{3}{4}\).

6. Финальный ответ:
   \(x = 19\frac{3}{4}\)

Пример 2: \((5\frac{7}{9} - x) + 2\frac{3}{4} = 3\frac{5}{12}\)

1. Упрощение уравнения:
   Перенесем \(2\frac{3}{4}\) в правую часть:
   \(5\frac{7}{9} - x = 3\frac{5}{12} - 2\frac{3}{4}\)

2. Приведение к общему знаменателю:
   Общий знаменатель для 9, 12 и 4 — это 36.
   \(3\frac{5}{12} = 3\frac{15}{36}\)
   \(2\frac{3}{4} = 2\frac{27}{36}\)
   \(5\frac{7}{9} = 5\frac{28}{36}\)

3. Вычитание дробей:
   \(5\frac{28}{36} - x = 3\frac{15}{36} - 2\frac{27}{36}\)
   \(5\frac{28}{36} - x = 1\frac{15}{36} - \frac{27}{36} = \frac{51}{36} - \frac{27}{36} = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}\)

4. Изоляция переменной:
   \(x = 5\frac{7}{9} - \frac{2}{3}\)

5. Приведение к общему знаменателю:
   \(x = 5\frac{7}{9} - \frac{6}{9}\)

6. Вычитание дробей:
   \(x = 5\frac{1}{9}\)

Пример 3: Решить уравнение \(\frac{2}{5}x + \frac{1}{3} = \frac{7}{15}\)

1. Избавимся от дроби в левой части, вычтем \(\frac{1}{3}\) из обеих частей:
   \(\frac{2}{5}x = \frac{7}{15} - \frac{1}{3}\)

2. Приведем дроби к общему знаменателю (15):
   \(\frac{2}{5}x = \frac{7}{15} - \frac{5}{15}\)

3. Выполним вычитание:
   \(\frac{2}{5}x = \frac{2}{15}\)

4. Умножим обе части на \(\frac{5}{2}\) (обратное к \(\frac{2}{5}\)), чтобы найти \(x\):
   \(x = \frac{2}{15} \cdot \frac{5}{2}\)

5. Сократим дроби:
   \(x = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{1} = \frac{1}{3}\)

6. Финальный ответ:
   \(x = \frac{1}{3}\)

Советы

• Внимательность: Будьте внимательны при приведении к общему знаменателю и выполнении арифметических операций.
• Упрощение: Упрощайте дроби, когда это возможно, чтобы избежать больших чисел.
• Проверка: Подставляйте полученный ответ в исходное уравнение, чтобы убедиться в его правильности.