Решение задачи по стереометрии: нахождение координат вершин параллелепипеда

Здравствуйте! Рад помочь вам с этим заданием по стереометрии. Давайте разберем его по шагам.

Задание 1.10

Условие: Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) параллельны оси аппликат (рис. 1.9). \(AD = 3\), \(AB = 5\), \(AA_1 = 8\). Начало координат, точка \(O\), является серединой ребра \(DD_1\). Найдите координаты вершин параллелепипеда.

Пошаговое решение

Шаг 1: Анализ расположения параллелепипеда

Из рисунка и условия видно, что:
* Ребро \(AD\) лежит на оси \(Ox\).
* Ребро \(AB\) параллельно оси \(Oy\).
* Боковые ребра (\(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\), \(DD_1\)) параллельны оси \(Oz\) (оси аппликат).
* Точка \(O\) — начало координат \((0, 0, 0)\).
* Точка \(O\) является серединой ребра \(DD_1\).

Шаг 2: Определение координат точек D и D₁

Поскольку \(O(0, 0, 0)\) — середина ребра \(DD_1\), а само ребро параллельно оси \(Oz\), то точки \(D\) и \(D_1\) будут иметь координаты \((0, 0, z)\).

Длина ребра \(DD_1\) равна длине бокового ребра \(AA_1\), то есть \(DD_1 = 8\).
Точка \(O\) делит это ребро пополам, значит, расстояние от \(O\) до \(D\) и от \(O\) до \(D_1\) равно \(8 / 2 = 4\).

• Точка \(D\) находится ниже точки \(O\) на оси \(Oz\), поэтому её координата \(z\) будет отрицательной: \(z_D = -4\).
• Точка \(D_1\) находится выше точки \(O\) на оси \(Oz\), поэтому её координата \(z\) будет положительной: \(z_{D1} = 4\).

Таким образом, получаем координаты:
* \(D(0, 0, -4)\)
* \(D_1(0, 0, 4)\)

Шаг 3: Определение координат вершин нижнего основания (A, B, C)

Вершины \(A\), \(B\), \(C\) лежат в той же горизонтальной плоскости, что и точка \(D\). Это значит, что их аппликата (координата \(z\)) будет такой же, как у точки \(D\), то есть \(z = -4\).

1. Координаты точки A:
   Точка \(A\) лежит на оси \(Ox\) на расстоянии \(AD=3\) от точки \(D\). Так как \(D\) имеет координату \(x=0\), а \(A\) находится в отрицательном направлении оси \(Ox\) (судя по рисунку), то координата \(x\) точки \(A\) будет \(-3\).

   • \(x_A = -3\)
   • \(y_A = 0\) (лежит на оси \(Ox\))
   • \(z_A = -4\) (в одной плоскости с \(D\))
     Получаем: \(A(-3, 0, -4)\)

2. Координаты точки C:
   Ребро \(DC\) параллельно ребру \(AB\) и, следовательно, параллельно оси \(Oy\). Длина \(DC = AB = 5\). Точка \(C\) смещена от точки \(D\) вдоль оси \(Oy\) в положительном направлении.

   • \(x_C = 0\) (в одной плоскости с \(D\) относительно оси \(y\))
   • \(y_C = 5\)
   • \(z_C = -4\) (в одной плоскости с \(D\))
     Получаем: \(C(0, 5, -4)\)

3. Координаты точки B:
   Точку \(B\) можно найти, сместив точку \(A\) на вектор \(\vec{AB}\) или точку \(C\) на вектор \(\vec{CB}\). Вектор \(\vec{AB}\) имеет координаты \((0, 5, 0)\).

   • \(x_B = x_A + 0 = -3\)
   • \(y_B = y_A + 5 = 0 + 5 = 5\)
   • \(z_B = z_A + 0 = -4\)
     Получаем: \(B(-3, 5, -4)\)

Шаг 4: Определение координат вершин верхнего основания (A₁, B₁, C₁)

Вершины \(A_1\), \(B_1\), \(C_1\) лежат в той же горизонтальной плоскости, что и точка \(D_1\). Это значит, что их аппликата (координата \(z\)) будет такой же, как у точки \(D_1\), то есть \(z = 4\).

Координаты \(x\) и \(y\) у этих вершин будут такими же, как у соответствующих вершин нижнего основания (\(A\), \(B\), \(C\)).

1. Координаты точки A₁:
   \(x_{A1} = x_A = -3\), \(y_{A1} = y_A = 0\), \(z_{A1} = 4\).
   Получаем: \(A_1(-3, 0, 4)\)

2. Координаты точки B₁:
   \(x_{B1} = x_B = -3\), \(y_{B1} = y_B = 5\), \(z_{B1} = 4\).
   Получаем: \(B_1(-3, 5, 4)\)

3. Координаты точки C₁:
   \(x_{C1} = x_C = 0\), \(y_{C1} = y_C = 5\), \(z_{C1} = 4\).
   Получаем: \(C_1(0, 5, 4)\)

Окончательный ответ

Координаты вершин параллелепипеда:
* Нижнее основание:
* \(A(-3, 0, -4)\)
* \(B(-3, 5, -4)\)
* \(C(0, 5, -4)\)
* \(D(0, 0, -4)\)
* Верхнее основание:
* \(A_1(-3, 0, 4)\)
* \(B_1(-3, 5, 4)\)
* \(C_1(0, 5, 4)\)
* \(D_1(0, 0, 4)\)

Конечно! Давайте подробно разберем, что такое прямоугольная система координат в пространстве и как она используется для определения положения точек.

Теория: Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная (или декартова) система координат в пространстве — это способ однозначно определить положение любой точки в трехмерном пространстве с помощью трех чисел, называемых координатами.

1. Элементы системы координат

Она состоит из следующих элементов:

• Начало координат: Точка \(O\), которая является точкой отсчета. Её координаты всегда \((0, 0, 0)\).
• Координатные оси: Три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через начало координат.
  • Ось абсцисс (ось \(Ox\)): Обычно горизонтальная ось, направленная "на нас" или "вправо".
  • Ось ординат (ось \(Oy\)): Вторая горизонтальная ось, перпендикулярная оси \(Ox\).
  • Ось аппликат (ось \(Oz\)): Вертикальная ось, перпендикулярная обеим горизонтальным осям.
• Координатные плоскости: Три плоскости, которые проходят через пары координатных осей. Они делят все пространство на 8 частей (октантов).
  • Плоскость \(Oxy\): Проходит через оси \(Ox\) и \(Oy\). Все точки в этой плоскости имеют координату \(z=0\).
  • Плоскость \(Oxz\): Проходит через оси \(Ox\) и \(Oz\). Все точки в этой плоскости имеют координату \(y=0\).
  • Плоскость \(Oyz\): Проходит через оси \(Oy\) и \(Oz\). Все точки в этой плоскости имеют координату \(x=0\).

2. Определение координат точки

Чтобы найти координаты произвольной точки \(M\) в пространстве, нужно выполнить следующие шаги:

1. Проекция на плоскость: Из точки \(M\) опускаем перпендикуляр на плоскость \(Oxy\). Получаем точку \(M_{xy}\).
2. Проекции на оси: Из точки \(M_{xy}\) опускаем перпендикуляры на оси \(Ox\) и \(Oy\). Получаем точки \(M_x\) и \(M_y\).
3. Проекция на ось аппликат: Из точки \(M\) проводим прямую, параллельную отрезку \(OM_{xy}\), до пересечения с осью \(Oz\). Получаем точку \(M_z\).

Числовые значения на осях, соответствующие точкам \(M_x\), \(M_y\) и \(M_z\), и будут координатами точки \(M\).

• Абсцисса (\(x\)): Координата на оси \(Ox\). Показывает смещение точки вдоль оси \(Ox\) относительно начала координат.
• Ордината (\(y\)): Координата на оси \(Oy\). Показывает смещение точки вдоль оси \(Oy\).
• Аппликата (\(z\)): Координата на оси \(Oz\). Показывает смещение (высоту) точки вдоль оси \(Oz\).

Координаты точки записываются в скобках: \(M(x, y, z)\).

3. Применение к вашей задаче

Давайте посмотрим, как эти правила применялись в решении:

• Точка D(0, 0, -4):

  • \(x=0, y=0\): Это значит, что точка лежит на оси \(Oz\).
  • \(z=-4\): Она смещена на 4 единицы вниз от начала координат вдоль оси \(Oz\).

• Точка A(-3, 0, -4):

  • Сначала мысленно находим точку на оси \(Ox\) с координатой \(x=-3\) (смещение на 3 единицы в отрицательном направлении).
  • Координата \(y=0\) означает, что смещения вдоль оси \(Oy\) нет. Точка остается в плоскости \(Oxz\).
  • Координата \(z=-4\) означает, что из текущего положения точку нужно "опустить" на 4 единицы вниз параллельно оси \(Oz\).

• Точка C(0, 5, -4):

  • \(x=0\): смещения по \(Ox\) нет.
  • \(y=5\): смещаемся на 5 единиц в положительном направлении по оси \(Oy\).
  • \(z=-4\): "опускаем" точку на 4 единицы вниз.

Таким образом, зная координаты, мы можем точно представить положение любой точки в пространстве относительно выбранной системы координат.

Отличный выбор! Рассмотрение других примеров поможет закрепить понимание. Давайте разберем, как находить координаты вершин для куба и правильной пирамиды.

Примеры определения координат вершин

Пример 1: Куб

Условие: Дан куб \(OABC O_1A_1B_1C_1\) с ребром, равным 4. Вершина \(O\) находится в начале координат, а ребра \(OA\), \(OC\) и \(OO_1\) лежат на осях \(Ox\), \(Oy\) и \(Oz\) соответственно. Найдите координаты всех вершин куба.

Решение:

1. Анализ расположения:

   • Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
   • Одна вершина \(O\) находится в точке \((0, 0, 0)\).
   • Три ребра, выходящие из этой вершины, совпадают с положительными направлениями осей координат.

2. Координаты вершин нижнего основания (\(OABC\)):

   • Вершина O: Находится в начале координат.
     • \(O(0, 0, 0)\)
   • Вершина A: Лежит на оси \(Ox\) на расстоянии 4 от начала координат.
     • \(A(4, 0, 0)\)
   • Вершина C: Лежит на оси \(Oy\) на расстоянии 4 от начала координат.
     • \(C(0, 4, 0)\)
   • Вершина B: Лежит в плоскости \(Oxy\) и является четвертой вершиной квадрата \(OABC\). Её координаты равны смещениям по осям \(Ox\) и \(Oy\).
     • \(B(4, 4, 0)\)

3. Координаты вершин верхнего основания (\(O_1A_1B_1C_1\)):
   Верхнее основание находится в плоскости, параллельной \(Oxy\), на высоте, равной длине ребра, то есть \(z=4\). Координаты \(x\) и \(y\) у верхних вершин такие же, как у соответствующих нижних.

   • Вершина O₁: Лежит на оси \(Oz\) на расстоянии 4 от начала координат.
     • \(O_1(0, 0, 4)\)
   • Вершина A₁: Находится "над" точкой \(A\).
     • \(A_1(4, 0, 4)\)
   • Вершина C₁: Находится "над" точкой \(C\).
     • \(C_1(0, 4, 4)\)
   • Вершина B₁: Находится "над" точкой \(B\).
     • \(B_1(4, 4, 4)\)

Итог для куба:

• \(O(0, 0, 0)\), \(A(4, 0, 0)\), \(B(4, 4, 0)\), \(C(0, 4, 0)\)
• \(O_1(0, 0, 4)\), \(A_1(4, 0, 4)\), \(B_1(4, 4, 4)\), \(C_1(0, 4, 4)\)

Пример 2: Правильная четырехугольная пирамида

Условие: Дана правильная четырехугольная пирамида \(SABCD\). Её основание \(ABCD\) — квадрат, который лежит в плоскости \(Oxy\). Центр основания совпадает с началом координат \(O\). Сторона основания равна 6, а высота пирамиды \(SO\) равна 5. Ребро \(AD\) параллельно оси \(Ox\). Найдите координаты всех вершин пирамиды.

Решение:

1. Анализ расположения:

   • Основание (квадрат \(ABCD\)) лежит в плоскости \(Oxy\), значит, у всех его вершин координата \(z=0\).
   • Центр квадрата — точка \(O(0, 0, 0)\).
   • Высота \(SO\) лежит на оси \(Oz\).
   • Сторона квадрата \(AB = BC = CD = DA = 6\).

2. Координаты вершин основания (\(ABCD\)):
   Поскольку центр квадрата в начале координат, а стороны параллельны осям, вершины будут симметрично расположены относительно осей. Расстояние от центра до каждой стороны равно половине длины стороны: \(6 / 2 = 3\).

   • Вершина A: Находится в "левом нижнем" квадранте плоскости \(Oxy\). Смещена на -3 по \(Ox\) и на -3 по \(Oy\).
     • \(A(-3, -3, 0)\)
   • Вершина B: Находится в "правом нижнем" квадранте. Смещена на +3 по \(Ox\) и на -3 по \(Oy\).
     • \(B(3, -3, 0)\)
   • Вершина C: Находится в "правом верхнем" квадранте. Смещена на +3 по \(Ox\) и на +3 по \(Oy\).
     • \(C(3, 3, 0)\)
   • Вершина D: Находится в "левом верхнем" квадранте. Смещена на -3 по \(Ox\) и на +3 по \(Oy\).
     • \(D(-3, 3, 0)\)

3. Координаты вершины пирамиды (\(S\)):

   • Вершина \(S\) (апекс) лежит на оси \(Oz\) на высоте 5 от основания.
     • \(S(0, 0, 5)\)

Итог для пирамиды:

• \(A(-3, -3, 0)\), \(B(3, -3, 0)\), \(C(3, 3, 0)\), \(D(-3, 3, 0)\)
• \(S(0, 0, 5)\)