Здравствуйте! Рад помочь вам с этим заданием по стереометрии. Давайте разберем его по шагам.

Задание 1.10

Условие: Боковые ребра прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ параллельны оси аппликат (рис. 1.9). $AD = 3$, $AB = 5$, $AA_1 = 8$. Начало координат, точка $O$, является серединой ребра $DD_1$. Найдите координаты вершин параллелепипеда.

Пошаговое решение

Шаг 1: Анализ расположения параллелепипеда

Из рисунка и условия видно, что:
* Ребро $AD$ лежит на оси $Ox$.
* Ребро $AB$ параллельно оси $Oy$.
* Боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$) параллельны оси $Oz$ (оси аппликат).
* Точка $O$ — начало координат $(0, 0, 0)$.
* Точка $O$ является серединой ребра $DD_1$.

Шаг 2: Определение координат точек D и D₁

Поскольку $O(0, 0, 0)$ — середина ребра $DD_1$, а само ребро параллельно оси $Oz$, то точки $D$ и $D_1$ будут иметь координаты $(0, 0, z)$.

Длина ребра $DD_1$ равна длине бокового ребра $AA_1$, то есть $DD_1 = 8$.
Точка $O$ делит это ребро пополам, значит, расстояние от $O$ до $D$ и от $O$ до $D_1$ равно $8 / 2 = 4$.

• Точка $D$ находится ниже точки $O$ на оси $Oz$, поэтому её координата $z$ будет отрицательной: $z_D = -4$.
• Точка $D_1$ находится выше точки $O$ на оси $Oz$, поэтому её координата $z$ будет положительной: $z_{D1} = 4$.

Таким образом, получаем координаты:
* $D(0, 0, -4)$
* $D_1(0, 0, 4)$

Шаг 3: Определение координат вершин нижнего основания (A, B, C)

Вершины $A$, $B$, $C$ лежат в той же горизонтальной плоскости, что и точка $D$. Это значит, что их аппликата (координата $z$) будет такой же, как у точки $D$, то есть $z = -4$.

1. Координаты точки A:
   Точка $A$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии $AD=3$ от точки $D$. Так как $D$ имеет координату $x=0$, а $A$ находится в отрицательном направлении оси $Ox$ (судя по рисунку), то координата $x$ точки $A$ будет $-3$.

   • $x_A = -3$
   • $y_A = 0$ (лежит на оси $Ox$)
   • $z_A = -4$ (в одной плоскости с $D$)
     Получаем: $A(-3, 0, -4)$

2. Координаты точки C:
   Ребро $DC$ параллельно ребру $AB$ и, следовательно, параллельно оси $Oy$. Длина $DC = AB = 5$. Точка $C$ смещена от точки $D$ вдоль оси $Oy$ в положительном направлении.

   • $x_C = 0$ (в одной плоскости с $D$ относительно оси $y$)
   • $y_C = 5$
   • $z_C = -4$ (в одной плоскости с $D$)
     Получаем: $C(0, 5, -4)$

3. Координаты точки B:
   Точку $B$ можно найти, сместив точку $A$ на вектор $\vec{AB}$ или точку $C$ на вектор $\vec{CB}$. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(0, 5, 0)$.

   • $x_B = x_A + 0 = -3$
   • $y_B = y_A + 5 = 0 + 5 = 5$
   • $z_B = z_A + 0 = -4$
     Получаем: $B(-3, 5, -4)$

Шаг 4: Определение координат вершин верхнего основания (A₁, B₁, C₁)

Вершины $A_1$, $B_1$, $C_1$ лежат в той же горизонтальной плоскости, что и точка $D_1$. Это значит, что их аппликата (координата $z$) будет такой же, как у точки $D_1$, то есть $z = 4$.

Координаты $x$ и $y$ у этих вершин будут такими же, как у соответствующих вершин нижнего основания ($A$, $B$, $C$).

1. Координаты точки A₁:
   $x_{A1} = x_A = -3$, $y_{A1} = y_A = 0$, $z_{A1} = 4$.
   Получаем: $A_1(-3, 0, 4)$

2. Координаты точки B₁:
   $x_{B1} = x_B = -3$, $y_{B1} = y_B = 5$, $z_{B1} = 4$.
   Получаем: $B_1(-3, 5, 4)$

3. Координаты точки C₁:
   $x_{C1} = x_C = 0$, $y_{C1} = y_C = 5$, $z_{C1} = 4$.
   Получаем: $C_1(0, 5, 4)$

Окончательный ответ

Координаты вершин параллелепипеда:
* Нижнее основание:
* $A(-3, 0, -4)$
* $B(-3, 5, -4)$
* $C(0, 5, -4)$
* $D(0, 0, -4)$
* Верхнее основание:
* $A_1(-3, 0, 4)$
* $B_1(-3, 5, 4)$
* $C_1(0, 5, 4)$
* $D_1(0, 0, 4)$

Конечно! Давайте подробно разберем, что такое прямоугольная система координат в пространстве и как она используется для определения положения точек.

Теория: Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная (или декартова) система координат в пространстве — это способ однозначно определить положение любой точки в трехмерном пространстве с помощью трех чисел, называемых координатами.

1. Элементы системы координат

Она состоит из следующих элементов:

• Начало координат: Точка $O$, которая является точкой отсчета. Её координаты всегда $(0, 0, 0)$.
• Координатные оси: Три взаимно перпендикулярные прямые, проходящие через начало координат.
  • Ось абсцисс (ось $Ox$): Обычно горизонтальная ось, направленная "на нас" или "вправо".
  • Ось ординат (ось $Oy$): Вторая горизонтальная ось, перпендикулярная оси $Ox$.
  • Ось аппликат (ось $Oz$): Вертикальная ось, перпендикулярная обеим горизонтальным осям.
• Координатные плоскости: Три плоскости, которые проходят через пары координатных осей. Они делят все пространство на 8 частей (октантов).
  • Плоскость $Oxy$: Проходит через оси $Ox$ и $Oy$. Все точки в этой плоскости имеют координату $z=0$.
  • Плоскость $Oxz$: Проходит через оси $Ox$ и $Oz$. Все точки в этой плоскости имеют координату $y=0$.
  • Плоскость $Oyz$: Проходит через оси $Oy$ и $Oz$. Все точки в этой плоскости имеют координату $x=0$.

2. Определение координат точки

Чтобы найти координаты произвольной точки $M$ в пространстве, нужно выполнить следующие шаги:

1. Проекция на плоскость: Из точки $M$ опускаем перпендикуляр на плоскость $Oxy$. Получаем точку $M_{xy}$.
2. Проекции на оси: Из точки $M_{xy}$ опускаем перпендикуляры на оси $Ox$ и $Oy$. Получаем точки $M_x$ и $M_y$.
3. Проекция на ось аппликат: Из точки $M$ проводим прямую, параллельную отрезку $OM_{xy}$, до пересечения с осью $Oz$. Получаем точку $M_z$.

Числовые значения на осях, соответствующие точкам $M_x$, $M_y$ и $M_z$, и будут координатами точки $M$.

• Абсцисса ($x$): Координата на оси $Ox$. Показывает смещение точки вдоль оси $Ox$ относительно начала координат.
• Ордината ($y$): Координата на оси $Oy$. Показывает смещение точки вдоль оси $Oy$.
• Аппликата ($z$): Координата на оси $Oz$. Показывает смещение (высоту) точки вдоль оси $Oz$.

Координаты точки записываются в скобках: $M(x, y, z)$.

3. Применение к вашей задаче

Давайте посмотрим, как эти правила применялись в решении:

• Точка D(0, 0, -4):

  • $x=0, y=0$: Это значит, что точка лежит на оси $Oz$.
  • $z=-4$: Она смещена на 4 единицы вниз от начала координат вдоль оси $Oz$.

• Точка A(-3, 0, -4):

  • Сначала мысленно находим точку на оси $Ox$ с координатой $x=-3$ (смещение на 3 единицы в отрицательном направлении).
  • Координата $y=0$ означает, что смещения вдоль оси $Oy$ нет. Точка остается в плоскости $Oxz$.
  • Координата $z=-4$ означает, что из текущего положения точку нужно "опустить" на 4 единицы вниз параллельно оси $Oz$.

• Точка C(0, 5, -4):

  • $x=0$: смещения по $Ox$ нет.
  • $y=5$: смещаемся на 5 единиц в положительном направлении по оси $Oy$.
  • $z=-4$: "опускаем" точку на 4 единицы вниз.

Таким образом, зная координаты, мы можем точно представить положение любой точки в пространстве относительно выбранной системы координат.

Отличный выбор! Рассмотрение других примеров поможет закрепить понимание. Давайте разберем, как находить координаты вершин для куба и правильной пирамиды.

Примеры определения координат вершин

Пример 1: Куб

Условие: Дан куб $OABC O_1A_1B_1C_1$ с ребром, равным 4. Вершина $O$ находится в начале координат, а ребра $OA$, $OC$ и $OO_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты всех вершин куба.

Решение:

1. Анализ расположения:

   • Куб — это прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны.
   • Одна вершина $O$ находится в точке $(0, 0, 0)$.
   • Три ребра, выходящие из этой вершины, совпадают с положительными направлениями осей координат.

2. Координаты вершин нижнего основания ($OABC$):

   • Вершина O: Находится в начале координат.
     • $O(0, 0, 0)$
   • Вершина A: Лежит на оси $Ox$ на расстоянии 4 от начала координат.
     • $A(4, 0, 0)$
   • Вершина C: Лежит на оси $Oy$ на расстоянии 4 от начала координат.
     • $C(0, 4, 0)$
   • Вершина B: Лежит в плоскости $Oxy$ и является четвертой вершиной квадрата $OABC$. Её координаты равны смещениям по осям $Ox$ и $Oy$.
     • $B(4, 4, 0)$

3. Координаты вершин верхнего основания ($O_1A_1B_1C_1$):
   Верхнее основание находится в плоскости, параллельной $Oxy$, на высоте, равной длине ребра, то есть $z=4$. Координаты $x$ и $y$ у верхних вершин такие же, как у соответствующих нижних.

   • Вершина O₁: Лежит на оси $Oz$ на расстоянии 4 от начала координат.
     • $O_1(0, 0, 4)$
   • Вершина A₁: Находится "над" точкой $A$.
     • $A_1(4, 0, 4)$
   • Вершина C₁: Находится "над" точкой $C$.
     • $C_1(0, 4, 4)$
   • Вершина B₁: Находится "над" точкой $B$.
     • $B_1(4, 4, 4)$

Итог для куба:

• $O(0, 0, 0)$, $A(4, 0, 0)$, $B(4, 4, 0)$, $C(0, 4, 0)$
• $O_1(0, 0, 4)$, $A_1(4, 0, 4)$, $B_1(4, 4, 4)$, $C_1(0, 4, 4)$

Пример 2: Правильная четырехугольная пирамида

Условие: Дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Её основание $ABCD$ — квадрат, который лежит в плоскости $Oxy$. Центр основания совпадает с началом координат $O$. Сторона основания равна 6, а высота пирамиды $SO$ равна 5. Ребро $AD$ параллельно оси $Ox$. Найдите координаты всех вершин пирамиды.

Решение:

1. Анализ расположения:

   • Основание (квадрат $ABCD$) лежит в плоскости $Oxy$, значит, у всех его вершин координата $z=0$.
   • Центр квадрата — точка $O(0, 0, 0)$.
   • Высота $SO$ лежит на оси $Oz$.
   • Сторона квадрата $AB = BC = CD = DA = 6$.

2. Координаты вершин основания ($ABCD$):
   Поскольку центр квадрата в начале координат, а стороны параллельны осям, вершины будут симметрично расположены относительно осей. Расстояние от центра до каждой стороны равно половине длины стороны: $6 / 2 = 3$.

   • Вершина A: Находится в "левом нижнем" квадранте плоскости $Oxy$. Смещена на -3 по $Ox$ и на -3 по $Oy$.
     • $A(-3, -3, 0)$
   • Вершина B: Находится в "правом нижнем" квадранте. Смещена на +3 по $Ox$ и на -3 по $Oy$.
     • $B(3, -3, 0)$
   • Вершина C: Находится в "правом верхнем" квадранте. Смещена на +3 по $Ox$ и на +3 по $Oy$.
     • $C(3, 3, 0)$
   • Вершина D: Находится в "левом верхнем" квадранте. Смещена на -3 по $Ox$ и на +3 по $Oy$.
     • $D(-3, 3, 0)$

3. Координаты вершины пирамиды ($S$):

   • Вершина $S$ (апекс) лежит на оси $Oz$ на высоте 5 от основания.
     • $S(0, 0, 5)$

Итог для пирамиды:

• $A(-3, -3, 0)$, $B(3, -3, 0)$, $C(3, 3, 0)$, $D(-3, 3, 0)$
• $S(0, 0, 5)$