Решение задачи на вероятность: выбор учеников

Tuyệt vời! Hãy cùng nhau giải quyết bài toán xác suất này.

Задание 12

Đề bài: Từ một lớp gồm 16 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Chọn ngẫu nhiên 5 học sinh tham gia đội Thanh niên xung kích. Tính xác suất chọn được 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ.

Phân tích:
Đây là bài toán tổ hợp và xác suất. Chúng ta cần tìm:
1. Không gian mẫu: Tổng số cách chọn 5 học sinh từ cả lớp.
2. Biến cố mong muốn: Số cách chọn 2 học sinh nam VÀ 3 học sinh nữ.
3. Xác suất: Tỷ lệ giữa số cách chọn của biến cố mong muốn và tổng số cách chọn trong không gian mẫu.

Các bước giải:

1. Tính tổng số học sinh trong lớp:
   Số học sinh nam: 16
   Số học sinh nữ: 18
   Tổng số học sinh: \(16 + 18 = 34\)

2. Tính số phần tử của không gian mẫu (tổng số cách chọn 5 học sinh từ 34 học sinh):
   Sử dụng tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\)
   Số cách chọn 5 học sinh từ 34 học sinh là \(C_{34}^5\).
   \(C_{34}^5 = \frac{34!}{5!(34-5)!} = \frac{34!}{5!29!} = \frac{34 \times 33 \times 32 \times 31 \times 30}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}\)
   \(C_{34}^5 = 34 \times 33 \times 8 \times 31 = 278256\)

3. Tính số phần tử của biến cố (chọn 2 học sinh nam VÀ 3 học sinh nữ):

   • Số cách chọn 2 học sinh nam từ 16 học sinh nam: \(C_{16}^2\)
     \(C_{16}^2 = \frac{16!}{2!(16-2)!} = \frac{16!}{2!14!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 8 \times 15 = 120\)
   • Số cách chọn 3 học sinh nữ từ 18 học sinh nữ: \(C_{18}^3\)
     \(C_{18}^3 = \frac{18!}{3!(18-3)!} = \frac{18!}{3!15!} = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 17 \times 16 = 816\)
   • Số cách chọn 2 nam VÀ 3 nữ là tích của hai kết quả trên (quy tắc nhân):
     \(N(A) = C_{16}^2 \times C_{18}^3 = 120 \times 816 = 97920\)

4. Tính xác suất của biến cố:
   Xác suất \(P(A) = \frac{\text{Số kết quả thuận lợi cho biến cố A}}{\text{Tổng số kết quả có thể xảy ra}}\)
   \(P(A) = \frac{N(A)}{C_{34}^5} = \frac{97920}{278256}\)

5. Rút gọn phân số:
   Ta có thể thấy rằng cả tử số và mẫu số đều chia hết cho 120.
   \(97920 / 120 = 816\)
   \(278256 / 120 = 2318.8\) (không chia hết)

   Kiểm tra lại các đáp án:
   A. \(\frac{120}{341}\)
   B. \(\frac{105}{341}\)
   C. \(\frac{91}{5797}\)
   D. \(\frac{21}{682}\)

   Hãy thử chia tử và mẫu của \(P(A) = \frac{97920}{278256}\) cho ước chung lớn nhất hoặc kiểm tra các đáp án.
   Nếu \(P(A) = \frac{120}{341}\): \(120 \times 278256 = 33390720\) và \(341 \times 97920 = 33390720\). Vậy đáp án A đúng.

   Để chắc chắn, ta có thể thử rút gọn phân số \(\frac{97920}{278256}\) bằng cách chia cho các ước chung.
   Chia cả tử và mẫu cho 24:
   \(97920 / 24 = 4080\)
   \(278256 / 24 = 11594\)
   Tiếp tục chia cho 2:
   \(4080 / 2 = 2040\)
   \(11594 / 2 = 5797\)
   Ta được \(\frac{2040}{5797}\). Phân số này không khớp với đáp án nào.

   Kiểm tra lại phép tính:
   \(C_{34}^5 = \frac{34 \times 33 \times 32 \times 31 \times 30}{120} = 34 \times 11 \times 8 \times 31 = 278256\). (Đúng)
   \(C_{16}^2 = 120\). (Đúng)
   \(C_{18}^3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{6} = 3 \times 17 \times 16 = 816\). (Đúng)
   \(N(A) = 120 \times 816 = 97920\). (Đúng)
   \(P(A) = \frac{97920}{278256}\)

   Rút gọn lại phân số \(\frac{97920}{278256}\) để khớp với đáp án A: \(\frac{120}{341}\)
   Ta cần kiểm tra xem \(\frac{97920}{278256} = \frac{120}{341}\) hay không.
   Thực hiện phép nhân chéo:
   \(97920 \times 341 = 33390720\)
   \(278256 \times 120 = 33390720\)
   Hai kết quả bằng nhau, do đó đáp án A là đúng.

Đáp án:
Xác suất chọn được 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ là \(\frac{120}{341}\).

Tuyệt vời! Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích các mệnh đề đúng sai cho Câu 1 và Câu 2.

Задание 1 (Phần II)

Đề bài: Gieo một con xúc xắc 6 mặt cân đối và đồng chất hai lần. Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Có 6 cách để hai lần gieo ra số chấm giống nhau.
b) Có 6 cách để gieo lần đầu ra mặt 6 chấm.
c) Có 12 cách để trong hai lần gieo xuất hiện đúng một lần mặt 1 chấm.
d) Có 33 cách để sau hai lần gieo được tổng số chấm không bé hơn 4.

Phân tích và giải:

Con xúc xắc có 6 mặt, được gieo 2 lần. Mỗi lần gieo có 6 kết quả có thể xảy ra.
Tổng số kết quả có thể xảy ra cho hai lần gieo là \(6 \times 6 = 36\).
Chúng ta có thể biểu diễn mỗi kết quả dưới dạng cặp số \((x, y)\), trong đó \(x\) là số chấm lần gieo thứ nhất và \(y\) là số chấm lần gieo thứ hai.

a) Có 6 cách để hai lần gieo ra số chấm giống nhau.
Để hai lần gieo ra số chấm giống nhau, ta cần có kết quả dạng \((k, k)\), với \(k\) là số chấm từ 1 đến 6.
Các cặp có thể là: (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6).
Có 6 cách.
Nhận định: ĐÚNG

b) Có 6 cách để gieo lần đầu ra mặt 6 chấm.
Nếu lần đầu ra mặt 6 chấm, kết quả có dạng \((6, y)\), với \(y\) là số chấm của lần gieo thứ hai (từ 1 đến 6).
Các cặp có thể là: (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6).
Có 6 cách.
Nhận định: ĐÚNG

c) Có 12 cách để trong hai lần gieo xuất hiện đúng một lần mặt 1 chấm.
Trường hợp này có hai khả năng:
* Lần đầu ra mặt 1 chấm, lần sau không ra mặt 1 chấm: \((1, y)\) với \(y \in \{2, 3, 4, 5, 6\}\). Có 5 cách.
* Lần đầu không ra mặt 1 chấm, lần sau ra mặt 1 chấm: \((x, 1)\) với \(x \in \{2, 3, 4, 5, 6\}\). Có 5 cách.
Tổng cộng có \(5 + 5 = 10\) cách.
Cách giải thích khác:
- Lần 1 là 1, lần 2 không phải 1: Có 1 cách cho lần 1 (là 1) và 5 cách cho lần 2 (không phải 1). Tổng 1 * 5 = 5 cách.
- Lần 1 không phải 1, lần 2 là 1: Có 5 cách cho lần 1 (không phải 1) và 1 cách cho lần 2 (là 1). Tổng 5 * 1 = 5 cách.
Tổng cộng: 5 + 5 = 10 cách.
Đề bài nói có 12 cách.
Nhận định: SAI

d) Có 33 cách để sau hai lần gieo được tổng số chấm không bé hơn 4.
"Không bé hơn 4" nghĩa là tổng số chấm \(\geq 4\).
Chúng ta sẽ đếm số trường hợp có tổng số chấm bé hơn 4 (tức là bằng 2 hoặc 3), sau đó lấy tổng số kết quả trừ đi.
* Tổng bằng 2: Chỉ có 1 cách là (1,1).
* Tổng bằng 3: Có 2 cách là (1,2) và (2,1).
Tổng số cách có tổng bé hơn 4 là \(1 + 2 = 3\) cách.
Tổng số kết quả có thể xảy ra là 36.
Số cách có tổng số chấm không bé hơn 4 là \(36 - 3 = 33\) cách.
Nhận định: ĐÚNG

Kết luận cho Câu 1:
Các mệnh đề đúng là: a, b, d.
Mệnh đề sai là: c.

Задание 2 (Phần II)

Đề bài: Kết quả đo chiều dài của một thửa đất là \(75,4m \pm 0,5m\) và đo chiều dài của một cây cầu là \(466,2m \pm 0,5m\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Đối với phép đo thửa đất, sai số tương đối không vượt quá \(0,663\%\).
b) Đối với phép đo thửa đất, có sai số tương đối: \(\frac{d}{a} = \frac{0,5}{75,4} = \frac{5}{754}\).
c) Đối với phép đo chiều dài cây cầu, có sai số tương đối lớn hơn \(\frac{5}{4662} \approx 0,107\%\).

Phân tích và giải:

Trong một phép đo có dạng \(a \pm d\), ta có:
* \(a\): giá trị đo được (giá trị trung tâm).
* \(d\): sai số tuyệt đối.
* Sai số tương đối: \(\delta = \frac{d}{a}\) (thường biểu diễn dưới dạng phần trăm).

a) Đối với phép đo thửa đất, sai số tương đối không vượt quá \(0,663\%\).
Phép đo thửa đất: \(a = 75,4m\), \(d = 0,5m\).
Sai số tương đối: \(\delta_{đất} = \frac{d}{a} = \frac{0,5}{75,4}\)
Tính giá trị: \(\frac{0,5}{75,4} \approx 0,006631...\)
Để chuyển sang phần trăm, ta nhân với 100: \(0,006631 \times 100\% \approx 0,6631... \%\)
Giá trị này không vượt quá \(0,663\%\).
Nhận định: ĐÚNG

b) Đối với phép đo thửa đất, có sai số tương đối: \(\frac{d}{a} = \frac{0,5}{75,4} = \frac{5}{754}\).
Phép đo thửa đất: \(a = 75,4m\), \(d = 0,5m\).
Sai số tương đối được tính là \(\frac{d}{a} = \frac{0,5}{75,4}\).
Chúng ta cần kiểm tra xem \(\frac{0,5}{75,4}\) có bằng \(\frac{5}{754}\) hay không.
\(\frac{0,5}{75,4} = \frac{0,5 \times 10}{75,4 \times 10} = \frac{5}{754}\).
Phép tính này đúng.
Nhận định: ĐÚNG

c) Đối với phép đo chiều dài cây cầu, có sai số tương đối lớn hơn \(\frac{5}{4662} \approx 0,107\%\).
Phép đo cây cầu: \(a = 466,2m\), \(d = 0,5m\).
Sai số tương đối: \(\delta_{cầu} = \frac{d}{a} = \frac{0,5}{466,2}\)
Tính giá trị: \(\frac{0,5}{466,2} \approx 0,001072...\)
Chuyển sang phần trăm: \(0,001072 \times 100\% \approx 0,1072... \%\)

Bây giờ ta so sánh \(\delta_{cầu}\) với giá trị đề cho: \(\frac{5}{4662} \approx 0,107\%\)
Ta cần so sánh \(0,1072... \%\) với \(0,107\%\).
Rõ ràng \(0,1072... \% > 0,107\%\).
Vậy sai số tương đối của phép đo cây cầu là lớn hơn giá trị \(\frac{5}{4662}\).
Nhận định: ĐÚNG

Kết luận cho Câu 2:
Các mệnh đề đúng là: a, b, c.

Xin lỗi bạn, có vẻ như tôi đã bỏ sót phần d) của Câu 2 trong phân tích trước. Hãy cùng xem xét lại.

Nhìn vào hình ảnh, phần Câu 2 chỉ có các mệnh đề a), b), và c). Không có mệnh đề d) nào được liệt kê cho Câu 2.

Có thể bạn đang nhầm lẫn với một câu hỏi khác hoặc một phần khác của đề bài. Nếu bạn có phần d) của Câu 2 hoặc bất kỳ câu hỏi nào khác, xin vui lòng cung cấp thêm thông tin để tôi có thể hỗ trợ bạn.

Cảm ơn bạn đã cung cấp hình ảnh rõ hơn. Bây giờ tôi đã thấy mệnh đề d) của Câu 2. Chúng ta sẽ phân tích nó.

Задание 2 (Phần II) - Mệnh đề d)

Đề bài: Phép đo cây cầu có độ chính xác cao hơn phép đo chiều dài của một thửa đất.

Để xác định mệnh đề này đúng hay sai, chúng ta cần so sánh sai số tương đối của hai phép đo. Phép đo nào có sai số tương đối nhỏ hơn thì có độ chính xác cao hơn.

Chúng ta đã tính toán ở trên:

• Phép đo thửa đất:
  Sai số tương đối: \(\delta_{đất} = \frac{0,5}{75,4} \approx 0,006631...\) hoặc \(0,6631... \%\)

• Phép đo cây cầu:
  Sai số tương đối: \(\delta_{cầu} = \frac{0,5}{466,2} \approx 0,001072...\) hoặc \(0,1072... \%\)

So sánh:
\(\delta_{cầu} \approx 0,1072... \%\)
\(\delta_{đất} \approx 0,6631... \%\)

Vì \(0,1072... \% < 0,6631... \%\), nên sai số tương đối của phép đo cây cầu nhỏ hơn sai số tương đối của phép đo thửa đất. Điều này có nghĩa là phép đo cây cầu có độ chính xác cao hơn.

Nhận định: ĐÚNG

Tổng kết lại Câu 2:
Tất cả các mệnh đề a), b), c), và d) của Câu 2 đều là ĐÚNG.