ГДЗ по фото — решение задач по фотографии онлайн

Photo
Homi

Задание 6

Василий Иванович выписывает на доску подряд натуральные числа: 12345678910111213...

Он заметил, что получившуюся запись можно разделить на три фрагмента так, что в каждом из них будет записано чётное число единиц, троек и восьмёрок. (Напомним, что 0 — тоже чётное число; так, например, в числе 555 чётное число шестёрок).

Василий Иванович внимательно посмотрел на доску и понял, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Какое число Василий Иванович написал последним?

Анализ:

Задача заключается в поиске такого числа, которое, будучи добавленным к последовательности натуральных чисел, позволит разделить всю получившуюся запись на три части. Каждая часть должна удовлетворять условию: количество единиц, троек и восьмёрок в этой части должно быть чётным.

Давайте проследим за последовательностью и условием:

  1. 123456789 - Первая часть.

    • Единицы: 1 (нечетное)
    • Тройки: 1 (нечетное)
    • Восьмерки: 1 (нечетное)
    • Условие не выполнено.

  2. 12345678910

    • Единицы: 2 (четное)
    • Тройки: 1 (нечетное)
    • Восьмерки: 1 (нечетное)
    • Условие не выполнено.

  3. 1234567891011

    • Единицы: 4 (четное)
    • Тройки: 1 (нечетное)
    • Восьмерки: 1 (нечетное)
    • Условие не выполнено.

  4. 123456789101112

    • Единицы: 4 (четное)
    • Тройки: 1 (нечетное)
    • Восьмерки: 1 (нечетное)
    • Условие не выполнено.

  5. 12345678910111213

    • Единицы: 4 (четное)
    • Тройки: 2 (четное)
    • Восьмерки: 1 (нечетное)
    • Условие не выполнено.

...

Нам нужно найти число, после которого запись можно разделить на три части, удовлетворяющие условию. Это означает, что до этого числа такое разделение было невозможно.

Рассмотрим, как меняется количество единиц, троек и восьмерок при добавлении новых чисел:

  • Числа, содержащие единицу: 1, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, ...
  • Числа, содержащие тройку: 3, 13, 23, 30-39, 43, ...
  • Числа, содержащие восьмерку: 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80-89, 98, ...

Задача намекает на то, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Это значит, что когда мы добавим последнее число, мы сможем найти разделение.

Давайте попробуем найти такое число, которое "завершит" условие для трех фрагментов.

Рассмотрим последовательность:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, ...

Попробуем найти число, которое сделает количество единиц, троек и восьмерок четным в какой-то момент.

Если мы остановимся на числе 28:
12345678910111213141516171819202122232425262728

  • Единицы: 1 (в 1), 10, 11 (2 раза), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21. Всего: 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13 (нечетное).
  • Тройки: 3, 13, 23. Всего: 3 (нечетное).
  • Восьмерки: 8, 18, 28. Всего: 3 (нечетное).

Это не подходит.

Задача сформулирована так, что после написания последнего числа, появляется возможность разделения.

Попробуем рассмотреть числа, которые при добавлении могут "сбалансировать" счетчики.

Рассмотрим число 30:
123456789101112131415161718192021222324252627282930

  • Единицы: 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21. Всего: 13.
  • Тройки: 3, 13, 23, 30. Всего: 4 (четное).
  • Восьмерки: 8, 18, 28. Всего: 3 (нечетное).

Не подходит.

Рассмотрим число 38:
...2829303132333435363738

  • Единицы: 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31. Всего: 13 + 1 = 14 (четное).
  • Тройки: 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33(2), 34, 35, 36, 37, 38. Всего: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14 (четное).
  • Восьмерки: 8, 18, 28, 38. Всего: 4 (четное).

Итак, после написания числа 38, мы имеем:
* Единицы: 14 (четное)
* Тройки: 14 (четное)
* Восьмерки: 4 (четное)

Теперь проверим, можно ли разделить эту последовательность (123...38) на три части, где в каждой части будет четное количество единиц, троек и восьмерок.

Последовательность: 1234567891011121314151617181920212223242526272829303132333435363738

Попробуем найти разделение.

Первая часть: 123456789101112131415161718
* Единицы: 1 (в 1), 10, 11 (2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. Всего: 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 11 (нечетное).
Это разделение не работает.

Задача говорит, что ранее такую операцию проделать было нельзя. Это означает, что до написания последнего числа, счетчики единиц, троек и восьмерок в любых трех частях не были бы все четными.

Давайте проанализируем, когда счетчики могут стать четными.
Счетчик единиц: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38.
Количество единиц (нарастающим итогом):
1 (в 1)
2 (в 1, 10)
4 (в 1, 10, 11(2))
5 (в 1, 10, 11(2), 12)
...
14 (в 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31). Это к числу 31.
15 (в 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 32)
16 (в 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 32, 33)
17 (в 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 32, 33, 34)
18 (в 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 32, 33, 34, 35)
19 (в 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 32, 33, 34, 35, 36)
20 (в 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37)
21 (в 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38). Это к числу 38.

Счетчик троек: 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33(2), 34, 35, 36, 37, 38.
Количество троек (нарастающим итогом):
1 (в 3)
2 (в 3, 13)
3 (в 3, 13, 23)
4 (в 3, 13, 23, 30)
...
14 (в 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33(2), 34, 35, 36, 37, 38). Это к числу 38.

Счетчик восьмерок: 8, 18, 28, 38.
Количество восьмерок (нарастающим итогом):
1 (в 8)
2 (в 8, 18)
3 (в 8, 18, 28)
4 (в 8, 18, 28, 38). Это к числу 38.

Итак, к числу 38, у нас есть:
* Единицы: 21 (нечетное)
* Тройки: 14 (четное)
* Восьмерки: 4 (четное)

Похоже, что я неправильно считал единицы. Давайте пересчитаем более внимательно.

Число 1: 1 (1 ед, 0 тр, 0 в)
Число 2: 2 (0 ед, 0 тр, 0 в)
Число 3: 3 (0 ед, 1 тр, 0 в)
...
Число 10: 10 (1 ед, 0 тр, 0 в)
Число 11: 11 (2 ед, 0 тр, 0 в)
Число 12: 12 (1 ед, 0 тр, 0 в)
Число 13: 13 (1 ед, 1 тр, 0 в)
...
Число 18: 18 (1 ед, 0 тр, 1 в)
...
Число 20: 20 (0 ед, 0 тр, 0 в)
Число 21: 21 (1 ед, 0 тр, 0 в)
...
Число 23: 23 (0 ед, 1 тр, 0 в)
...
Число 28: 28 (0 ед, 0 тр, 1 в)
...
Число 30: 30 (0 ед, 1 тр, 0 в)
...
Число 31: 31 (1 ед, 0 тр, 0 в)
...
Число 33: 33 (0 ед, 2 тр, 0 в)
...
Число 38: 38 (0 ед, 0 тр, 1 в)

Давайте посчитаем общее количество цифр к определенному числу.
Числа от 1 до 9: 9 цифр.
Числа от 10 до 99: 90 чисел * 2 цифры/число = 180 цифр.
Всего до 99: 9 + 180 = 189 цифр.

Рассмотрим число 28.
Последовательность: 12345678910111213141516171819202122232425262728
* Единицы: 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18. Всего: 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 11 (нечетное).
* Тройки: 3, 13, 23. Всего: 3 (нечетное).
* Восьмерки: 8, 18, 28. Всего: 3 (нечетное).

Рассмотрим число 38.
Последовательность: 123...3738
* Единицы: 1, 10, 11(2), 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31. Всего: 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 14 (четное).
* Тройки: 3, 13, 23, 30, 31, 32, 33(2), 34, 35, 36, 37. Всего: 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13 (нечетное).
* Восьмерки: 8, 18, 28, 38. Всего: 4 (четное).

Рассмотрим число 88.
В числах до 88:
* Единицы: 1, 10, 11(2), 12..18, 19, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81.
* 1-9: 1 (в 1)
* 10-19: 1 (в 10) + 2 (в 11) + 1 (в 12) ... + 1 (в 19) = 1 + 2 + 8 = 11
* 20-29: 1 (в 21)
* 30-39: 1 (в 31)
* 40-49: 1 (в 41)
* 50-59: 1 (в 51)
* 60-69: 1 (в 61)
* 70-79: 1 (в 71)
* 80-88: 1 (в 81)
Всего единиц: 1 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 19 (нечетное).

  • Тройки: 3, 13, 23, 30-39 (10 чисел, но 33 содержит две тройки, т.е. 11 троек), 43, 53, 63, 73, 83.

    • 3, 13, 23: 3 тройки.
    • 30-39: 1 (в 30) + 1 (в 31) + 1 (в 32) + 2 (в 33) + 1 (в 34) + 1 (в 35) + 1 (в 36) + 1 (в 37) + 1 (в 38) + 1 (в 39) = 11 троек.
    • 43, 53, 63, 73, 83: 5 троек.
      Всего троек: 3 + 11 + 5 = 19 (нечетное).

  • Восьмерки: 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80-88 (80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88 - 88 содержит две восьмерки).

    • 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78: 8 восьмерок.
    • 80-87: 1 восьмерка в каждом (80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87) = 8 восьмерок.
    • 88: 2 восьмерки.
      Всего восьмерок: 8 + 8 + 2 = 18 (четное).

По условию, ранее такую операцию проделать было нельзя. Это значит, что когда мы написали число 88, мы смогли разделить запись на три части, каждая из которых удовлетворяет условию.

Давайте проверим, что до числа 88, мы не могли этого сделать.
Например, если бы мы остановились на числе 78.
* Единицы: 1, 10, 11(2), 12..18, 19, 21, 31, 41, 51, 61, 71. Всего: 1 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 17 (нечетное).
* Тройки: 3, 13, 23, 30-39 (11 троек), 43, 53, 63, 73. Всего: 3 + 11 + 4 = 18 (четное).
* Восьмерки: 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78. Всего: 8 (четное).

В этом случае, единиц нечетное количество.

Итак, когда мы написали число 88, у нас получилось:
* Единицы: 19 (нечетное)
* Тройки: 19 (нечетное)
* Восьмерки: 18 (четное)

Похоже, я ошибаюсь в подсчете. Давайте использовать более систематический подход.

Задача: найти такое число N, что запись 123...N можно разделить на три части, в каждой из которых количество единиц, троек и восьмерок четное. И до этого числа N, такое разделение было невозможно.

Рассмотрим количество единиц, троек и восьмерок в числах:
* Числа с 1 единицей: 1, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81.
* Числа с 2 единицами: 11.
* Числа с 1 тройкой: 3, 13, 23, 30, 31, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 43, 53, 63, 73, 83.
* Числа с 2 тройками: 33.
* Числа с 1 восьмеркой: 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87.
* Числа с 2 восьмерками: 88.

Попробуем найти число, при котором счетчики станут четными.

Если последним числом было 88:
Общее количество единиц:
1 (в 1)
+ 1 (в 10)
+ 2 (в 11)
+ 1 (в 12) ... + 1 (в 19) = 8 * 1 = 8
+ 1 (в 21)
+ 1 (в 31)
+ 1 (в 41)
+ 1 (в 51)
+ 1 (в 61)
+ 1 (в 71)
+ 1 (в 81)
Всего единиц = 1 + 1 + 2 + 8 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 19 (нечетное).

Давайте пересчитаем по диапазонам:
0-9: 1 (в 1)
10-19: 1 (в 10) + 2 (в 11) + 8 * 1 (в 12-19) = 1 + 2 + 8 = 11
20-29: 1 (в 21)
30-39: 1 (в 31)
40-49: 1 (в 41)
50-59: 1 (в 51)
60-69: 1 (в 61)
70-79: 1 (в 71)
80-88: 1 (в 81)
Общее количество единиц до 88 = 1 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 19.

Общее количество троек до 88:
0-9: 1 (в 3)
10-19: 1 (в 13)
20-29: 1 (в 23)
30-39: 1 (в 30) + 1 (в 31) + 1 (в 32) + 2 (в 33) + 1 (в 34) + 1 (в 35) + 1 (в 36) + 1 (в 37) + 1 (в 38) + 1 (в 39) = 11
40-49: 1 (в 43)
50-59: 1 (в 53)
60-69: 1 (в 63)
70-79: 1 (в 73)
80-88: 1 (в 83)
Общее количество троек до 88 = 1 + 1 + 1 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 18. (четное)

Общее количество восьмерок до 88:
0-9: 1 (в 8)
10-19: 1 (в 18)
20-29: 1 (в 28)
30-39: 1 (в 38)
40-49: 1 (в 48)
50-59: 1 (в 58)
60-69: 1 (в 68)
70-79: 1 (в 78)
80-88: 1 (в 80) + 1 (в 81) + 1 (в 82) + 1 (в 83) + 1 (в 84) + 1 (в 85) + 1 (в 86) + 1 (в 87) + 2 (в 88) = 10
Всего восьмерок до 88 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 10 = 18. (четное)

Итак, при последнем написанном числе 88, у нас есть:
* Единицы: 19 (нечетное)
* Тройки: 18 (четное)
* Восьмерки: 18 (четное)

Это означает, что если мы остановимся на 88, то общее количество единиц нечетное, и мы не можем просто разделить на три части, где в каждой будет четное количество.

Задача звучит так: "Какое число Василий Иванович написал последним?"
Это число должно быть таким, что после его написания, запись можно разделить на три части, каждая из которых удовлетворяет условию. А до этого числа, такую операцию проделать было нельзя.

Рассмотрим число 98.
Единицы до 98: 19 (до 88) + 1 (в 91) = 20 (четное).
Тройки до 98: 18 (до 88) + 1 (в 93) = 19 (нечетное).
Восьмерки до 98: 18 (до 88) + 1 (в 98) = 19 (нечетное).

Рассмотрим число 188.
Единицы до 188:
1-99: 19 единиц.
100-109: 1 (в 100) + 1 (в 101) + 1 (в 102) ... + 1 (в 109) = 1 + 1 + 1*8 = 10.
110-119: 10 единиц (110, 111(2), 112..119).
120-129: 1 (в 121)
130-139: 1 (в 131)
140-149: 1 (в 141)
150-159: 1 (в 151)
160-169: 1 (в 161)
170-179: 1 (в 171)
180-188: 1 (в 181)
Всего единиц до 188 = 19 + 10 + 10 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 46 (четное).

Тройки до 188:
1-99: 18 троек.
100-109: 0 троек.
110-119: 0 троек.
120-129: 1 (в 123)
130-139: 1 (в 130) + 1 (в 131) + 1 (в 132) + 2 (в 133) + 1 (в 134) ... + 1 (в 139) = 11 троек.
140-149: 1 (в 143)
150-159: 1 (в 153)
160-169: 1 (в 163)
170-179: 1 (в 173)
180-188: 1 (в 183)
Всего троек до 188 = 18 + 0 + 0 + 1 + 11 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35 (нечетное).

Восьмерки до 188:
1-99: 18 восьмерок.
100-109: 1 (в 108)
110-119: 1 (в 118)
120-129: 1 (в 128)
130-139: 1 (в 138)
140-149: 1 (в 148)
150-159: 1 (в 158)
160-169: 1 (в 168)
170-179: 1 (в 178)
180-188: 1 (в 180) + 1 (в 181) ... + 1 (в 187) + 2 (в 188) = 9 восьмерок.
Всего восьмерок до 188 = 18 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 9 = 35 (нечетное).

Задача кажется сложной из-за необходимости перебора и точного подсчета.

Ключевая фраза: "Василий Иванович внимательно посмотрел на доску и понял, что ранее такую операцию проделать было нельзя."
Это означает, что именно после написания последнего числа, появилась возможность разделить запись на три части с четным количеством единиц, троек и восьмерок в каждой.

Давайте предположим, что последним числом было 188.
Тогда у нас есть:
* Единицы: 46 (четное)
* Тройки: 35 (нечетное)
* Восьмерки: 35 (нечетное)

Это не дает нам возможности разделить на три части с четным количеством каждого.

Переформулируем условие:
Пусть \(S\) - вся запись чисел от 1 до N.
\(S = S_1 + S_2 + S_3\), где \(S_1, S_2, S_3\) - три фрагмента.
Для каждого фрагмента \(S_i\):
Количество единиц в \(S_i\) - четное.
Количество троек в \(S_i\) - четное.
Количество восьмерок в \(S_i\) - четное.

Сумма количества единиц во всех трех фрагментах должна быть равна общему количеству единиц в \(S\).
Если в

Homi
Текст скопирован
Готово
Ошибка

Пожаловаться на контент

Выберите причину жалобы. Мы проверим информацию и примем меры.